Samenvatting Statistiek
geschreven door:
BlueMotion
De Marktplaats voor het Kopen en Verkopen van je Samenvattingen
Op Stuvia vind je het grootste aanbod aan samenvattingen en collegeaantekeningen. De
documenten zijn geschreven door jouw medestudenten, specifiek voor jouw opleiding!
www.stuvia.com
Dit document is auteursrechtelijk beschermd, het verspreiden van dit document is strafbaar.
, Stuvia.com - De Marktplaats voor het Kopen en Verkopen van je Samenvattingen
Hoorcollege 1 – Centrale limiet stelling en betrouwbaarheidsinterval
Statistiek in de wetenschap is een hulpmiddel wat altijd terugkomt. Er is statistiek nodig om
resultaten te beschrijven (beschrijvende statistiek) en statistiek die de resultaten verklaard
(verklarende statistiek). Wat er in de wetenschap namelijk altijd gebeurt, is dat er een willekeurige
steekproef genomen wordt waarmee de wetenschappers iets willen zeggen over de grotere
populatie. Van deze populatie kunnen we nooit alle gegevens verzamelen, omdat deze vaak oneindig
groot is. Om alles te meten zijn meestal niet de tijd en het geld beschikbaar. Daarnaast zijn het vaak
ook destructieve tests. Er wordt altijd een aselecte steekproef genomen. Dit betekend dat de
onderdelen niet bewust gekozen worden. Dit maakt de steekproef meestal representatief. Een
steekproef zal vandaag altijd anders zijn dan morgen, dit heet statistische inferentie. Steekproeven
worden zo groot mogelijk gemaakt, omdat er in een kleine steekproef meer ruis aanwezig kan zijn
dan in een grote steekproef. Er geldt dus dat hoe groter de steekproef, hoe beter het beeld van de
werkelijkheid.
Wanneer er wel waarden bekend zijn van de populatie, wat in sommige, zeldzame gevallen
voorkomt, worden de waarden gegeven met Griekse letters. De σ staat bijvoorbeeld voor de
standaarddeviatie en de μ voor het gemiddelde.
Wanneer er heel erg veel steekproeven van dezelfde grootte genomen worden uit een populatie die
rechts- of linksscheef verdeeld is en de steekproef gemiddelden worden uitgezet in een grafiek, zal
deze toch normaal verdeeld zijn. De centrale limietstelling zegt dat het gemiddelde van deze
waarden μ is en de standaarddeviatie ook die van de populatie. Er geldt nu wel dat hoe groter de
steekproef, hoe preciezer de meting. Dit is te zien aan een smallere grafiek. Het
steekproefgemiddelde wordt weergegeven met Ȳ.
De precisie kan uitgedrukt worden in een getal, namelijk de standaard fout van het gemiddelde (SE).
Bij een kleine steekproef is de SE dus groter dan bij een grote steekproef. De SE kan berekend
worden met behulp van de volgende formule:
√
Eigenlijk zou er op de plek van de s een σ moeten staan, maar deze is vrijwel nooit bekend, dus wordt
hij geschat door de standaarddeviatie van de steekproef. N is de grootte van de steekproef.
De SE kan vervolgens gebruikt worden om het 95% betrouwbaarheidsinterval (BI) te berekenen. De
BI geeft een gebied van waardes waarover met 95% zekerheid te zeggen is dat die de werkelijke
waarde bevat. Meestal wordt de 95% BI berekend, maar soms ook een ander percentage. Dit kan
gebruikt worden voor vrijwel alle waarden, zoals percentages, gemiddelden en standaarddeviaties.
Het betrouwbaarheidsinterval kan berekend worden doordat 95% van alle waarden tussen -2 en +2
keer de standaardfout vallen.
̅
Volgens de centrale limietstelling volgt de grafiek altijd een normale verdeling. Omdat σ en μ
⁄
√
̅
niet bekend zijn, wordt er dus gerekend met . Deze grafiek volgt een vorm die lijkt op de
⁄
√
normale verdeling, maar een net iets lagere top heeft en langere staarten. Dit wordt de t-verdeling
genoemd. De normale verdeling, die ook wel de z-verdeling wordt genoemd, is afhankelijk van n. De
t-verdeling is afhankelijk van n-1 vrijheidsgraden.
Een betrouwbaarheidsinterval wordt altijd uitgerekend met een t-waarde uit een t-tabel.
Soms worden er twee metingen op één persoon verricht. Bijvoorbeeld voor en na een behandeling.
Dit soort metingen worden gepaarde waarnemingen genoemd.
Dit document is auteursrechtelijk beschermd, het verspreiden van dit document is strafbaar.
geschreven door:
BlueMotion
De Marktplaats voor het Kopen en Verkopen van je Samenvattingen
Op Stuvia vind je het grootste aanbod aan samenvattingen en collegeaantekeningen. De
documenten zijn geschreven door jouw medestudenten, specifiek voor jouw opleiding!
www.stuvia.com
Dit document is auteursrechtelijk beschermd, het verspreiden van dit document is strafbaar.
, Stuvia.com - De Marktplaats voor het Kopen en Verkopen van je Samenvattingen
Hoorcollege 1 – Centrale limiet stelling en betrouwbaarheidsinterval
Statistiek in de wetenschap is een hulpmiddel wat altijd terugkomt. Er is statistiek nodig om
resultaten te beschrijven (beschrijvende statistiek) en statistiek die de resultaten verklaard
(verklarende statistiek). Wat er in de wetenschap namelijk altijd gebeurt, is dat er een willekeurige
steekproef genomen wordt waarmee de wetenschappers iets willen zeggen over de grotere
populatie. Van deze populatie kunnen we nooit alle gegevens verzamelen, omdat deze vaak oneindig
groot is. Om alles te meten zijn meestal niet de tijd en het geld beschikbaar. Daarnaast zijn het vaak
ook destructieve tests. Er wordt altijd een aselecte steekproef genomen. Dit betekend dat de
onderdelen niet bewust gekozen worden. Dit maakt de steekproef meestal representatief. Een
steekproef zal vandaag altijd anders zijn dan morgen, dit heet statistische inferentie. Steekproeven
worden zo groot mogelijk gemaakt, omdat er in een kleine steekproef meer ruis aanwezig kan zijn
dan in een grote steekproef. Er geldt dus dat hoe groter de steekproef, hoe beter het beeld van de
werkelijkheid.
Wanneer er wel waarden bekend zijn van de populatie, wat in sommige, zeldzame gevallen
voorkomt, worden de waarden gegeven met Griekse letters. De σ staat bijvoorbeeld voor de
standaarddeviatie en de μ voor het gemiddelde.
Wanneer er heel erg veel steekproeven van dezelfde grootte genomen worden uit een populatie die
rechts- of linksscheef verdeeld is en de steekproef gemiddelden worden uitgezet in een grafiek, zal
deze toch normaal verdeeld zijn. De centrale limietstelling zegt dat het gemiddelde van deze
waarden μ is en de standaarddeviatie ook die van de populatie. Er geldt nu wel dat hoe groter de
steekproef, hoe preciezer de meting. Dit is te zien aan een smallere grafiek. Het
steekproefgemiddelde wordt weergegeven met Ȳ.
De precisie kan uitgedrukt worden in een getal, namelijk de standaard fout van het gemiddelde (SE).
Bij een kleine steekproef is de SE dus groter dan bij een grote steekproef. De SE kan berekend
worden met behulp van de volgende formule:
√
Eigenlijk zou er op de plek van de s een σ moeten staan, maar deze is vrijwel nooit bekend, dus wordt
hij geschat door de standaarddeviatie van de steekproef. N is de grootte van de steekproef.
De SE kan vervolgens gebruikt worden om het 95% betrouwbaarheidsinterval (BI) te berekenen. De
BI geeft een gebied van waardes waarover met 95% zekerheid te zeggen is dat die de werkelijke
waarde bevat. Meestal wordt de 95% BI berekend, maar soms ook een ander percentage. Dit kan
gebruikt worden voor vrijwel alle waarden, zoals percentages, gemiddelden en standaarddeviaties.
Het betrouwbaarheidsinterval kan berekend worden doordat 95% van alle waarden tussen -2 en +2
keer de standaardfout vallen.
̅
Volgens de centrale limietstelling volgt de grafiek altijd een normale verdeling. Omdat σ en μ
⁄
√
̅
niet bekend zijn, wordt er dus gerekend met . Deze grafiek volgt een vorm die lijkt op de
⁄
√
normale verdeling, maar een net iets lagere top heeft en langere staarten. Dit wordt de t-verdeling
genoemd. De normale verdeling, die ook wel de z-verdeling wordt genoemd, is afhankelijk van n. De
t-verdeling is afhankelijk van n-1 vrijheidsgraden.
Een betrouwbaarheidsinterval wordt altijd uitgerekend met een t-waarde uit een t-tabel.
Soms worden er twee metingen op één persoon verricht. Bijvoorbeeld voor en na een behandeling.
Dit soort metingen worden gepaarde waarnemingen genoemd.
Dit document is auteursrechtelijk beschermd, het verspreiden van dit document is strafbaar.
