Zusammenfassung Mathe — Basis und Dimension eines Vektorraums

BASIS UND DIMENSION EINES VEKTORRAUMS


Vektorraum Dimension


ist ein nicht leerer Raum .
V Anzahl der
Richtungen/Achsen ,
mit denen sich alle Vektoren in I darstellen lassen.

mit Vektoren R dim (1R3) =
3
Anschauungsraum




Basis eines Vektorraums

IR
Jeder beliebige Vektor des kann als Linearkombination seiner Basis ( = Koordinatensystem" ,
von dem wir ausgehen) dargestellt werden.

Deshalb müssen die drei Basisvektoren linear unabhängig sein .




Standardbasis

Die Standardbasis von IR ist immer




= ei =, e =
G
1




daraus durch kombiniert werden können .
weil Multiplikation immer alle Vektoren




(1) g ist + 0 Striviale Lösung) .
1 g g Die Lösung r =
s = =




(II) 0 10 g D h .
die Vektoren sind linear unabhängig und stellen somit eine Basis des Radar.
.,


(III) g O 1 g




beliebige Basis


gegeben :
= 3 B =
Eb bi bi, ,
a
b =
8 ,
b = bi =
i

Aufgabe : 1 .
Ist Beine Basis des IR3 ?




r . b
,
+ s .


b + + b = 8


1 30 O


g 31 O r = s = + = 0


O O -
S O




↓b und b sind linear unabhängig ,
damit ist B eine Basis des IR.




.
2 Stellen Sie den Vektor bezüglich der Basis B als Linearkombination der Basisvektoren dar .




r . b
,
+ s .


b + + b =
a


1 3 O 1 + = -
1
; 5 = 1 ; 5 = -
2


g 31 2


O O -
S 3 a = -


26 + 162 -

16

.
3 Geben Sie die Koordinaten von bezüglich der Basis B an (as) .




a bezüglich der Standardbasis = ap = = r
,
s
,
+