Hoofdstuk 1: Eigenschappen van fluïda
Fluïdum
Vloeistof Vertoont scheidingsoppervlak Cohesiekrachten voldoende groot om stof bij elkaar te houden
Gas Vertoont geen scheidingsoppervlak Cohesiekrachten te klein om stof bijelkaar te houden
Voor onderzoek van fluïdum werken we met een dV = klein fluïdum deeltje dat net voldoende moleculen heeft zodat het nog dezelfde
eigenschappen van het fluïdum heeft, in alle beschouwde richtingen in de ruimte
Druk in Pascal = Pa = N/m²
Dichtheid = soortelijke masse 𝝆 in kg/m³
= hoeveelheid massa fluïdum per eenheid volume
Soortelijke gewicht 𝜸𝒔 in N/m³
= gewicht aan fluïdum per eenheid volume (gewicht = FG = m*g)
Viscositeit = stroperigheid van een vloeistof
→ deeltjes bewegen ten opzichte van elkaar, ene rapper dan anderen en schuren tegen elkaar → krijgt wrijving
→ hoe visceuser = meer stroperig, hoe meer inwendige wrijving = schuifspanningen
▪ W = 𝜏A = 𝜂ΔVΔ𝑧 A [N] = kracht die je op bovenste plaat uitoefent
▪ 𝜏 = 𝜂 ΔV/Δ𝑧 [Pa = N/m² ] = de schuifspanning = W/A
𝜼
▪ 𝝂=𝝆 [m²*s-1] = de kinematische viscositeitscoëfficiënt
▪ 𝜼 [Pa*s] = de dynamische viscositeitscoëfficient
,Oppervlaktespanning - wordt niet echt behandeld in deze cursus
gewoon belangrijk om te weten dat het GEEN SPANNING is want het staat in [Pa*m] terwijl spanning in Pa staat
= potentiële energie per eenheid van oppervlakte
De cappilair druk kan je ook gaan zien als de kracht/druk die je nodig hebt om
een vloeistof uit een bepaald ding te gaan verwijderen
→ bv spons helemaal uitknijpen, maar zit nog water in de poriën met een cappilair druk
→ moet die druk/kracht gaan uitoefenen om het eruit te krijgen
Hydrofiel versus hydrofoob gedrag adhv cohesiekracht + adhesiekracht
▪ Water aan de rand in een proefbuis (hydrofiel)
o Rood = aantrekkingskracht andere waterdeeltjes = cohesiekracht
o Zwart = aantrekkingskracht van glas = adhesiekracht
o Groen = resulterende → water zal zich loodrecht op de kracht gaan richten → krult op tegen glas
o Minder hoge oppervlaktespanning
▪ Kwik aan de rand in een proefbuis (hydrofoob)
o Kwik delen zullen veel harder trekken
o Daarom zal resulterende in de vloeistof liggen → kwik zal loodrecht daarip gaan richten → komt bol te staan
o Krijgt zeer grote oppervlaktespanning, hydrofoob = grote cohesiekracht
Belangrijke bevindingen
▪ Eenheden zijn belangrijk op het examen!
o 1 keer vergeten = door de vingers gezien
o 2 keer = -1 punt
o 3 of meer = -2 punt (dus kunt in totaal 2 punten verliezen over het examen als je 3 of meer keer ze vergeet)
▪ Vloeistoffen zijn onsamendrukbaar in onze berekeningen
▪ Gassen zijn onsamendrukbaar bij kleine snelheden (100 m/s) → zie later
▪ Viscositeit
o Bij een vloeistof
▪ Daalt bij hogere temperatuur = minder stroperig → gaan meer bewegen en verder van elkaar
▪ Stijgt bij lagere temperatuur → koude vloeistof: moleculen dichter bij elkaar → meer wrijving
o Bij een gas
▪ Omgekeerde redenering!
▪ Opwarming → bewegen nog meer en botsen nog meer → stroperigheid (van het gas) neemt toe
▪ Druk en spanning staan beide in Pascal [Pa] maar er is een belzngrijk verschil tussen beide
o Druk = scalair, overal gelijk
▪ p = F/A
▪ hoeveel kracht per m² in alle richtingen
o Spanning
▪ 𝜎 = normaalspanning = kracht loodrecht op vlak per m² [Pa]
▪ 𝜏 = schuifspanning = kracht parallel aan dat vlak per m² omwille van wrijving [Pa]
,Hoofdstuk 2: Fluïda in rust
In dit hoofdstuk leren we berekenen wat de kracht is die een dam moet zetten om water tegen te houden
Wanneer zijn fluïda in rust = hydrostatisch evenwicht
▪ In absolute rust ten opzichte van de Aarde
▪ Bij eenparige rechtlijnige versnelling
▪ Bij constante hoeksnelheid → deeltje staan stil t.o.v. elkaar
Welke eigenschappen hebben fluïda in rust
▪ Er zijn geen schuifspanningen aanwezig want ze staan stil t.o.v. elkaar dus ze wrijven ook niet tegen elkaar
o 𝜏 = 0 want de snelheid in een bepaalde richting = 0
o Enkel een normale spanning aanwezig, namelijk de druk
▪ De druk p op een gegeven punt is in alle richtingen gelijk
▪ Hydrostatische wet
o p(z) = p0 + 𝜌gh
▪ Archimedeskracht: een stilstaand fluïudm oefent op een odnergedopeld object een opwaarse kracht uit
o Fopwaarts = 𝜌Vverplaatstg
Atmosfeerdruk patm = 1013.25 hPa
In oefeningen zal er “bij standaardatmosfeer” staan → weten dat het atmosfeerdruk is
▪ Absolute druk = druk ten opzichte van vacuüm = 0 Pa
▪ Relatieve druk = druk ten opzichte van de heersende atmosfeerdruk (referentiepunt 0 = atmsofeerdruk)
o p > 0 = overdruk → bij 2 Pa overdruk = patm + 2Pa
o p < 0 = onderdruk
Meestal wordt relatieve druk gebruikt, maar enkele voorbeelden waar je absolute druk moet gebruiken!
Basisvergelijkingen van de hydrostatica (fluïdum in rust!!!) → volgende zaken gelden dus voor de hydrostatica
Wet van pascal + afleiding
= in fluïdum in rust is de druk in een punt is onafhankelijk van de richting overal gelijk
px = py = pz = p
Evenwichtsvergelijkingen van Euler + afleiding
Totale differentiaal 𝒅𝒑 van de drukfunctie 𝒑(𝒙, 𝒚, 𝒛) = druk die van de x, y en z richting afhangt + afleiding
,Hydrostatische wet (opgelet, geldt allemaal voor stilstaand fluïdum) + afleiding
Afgeleid uit het feit dat de zwaartekracht de enige uitwendige kracht is FU = (0, 0, -g)
Gevolg: 𝑝 = −𝜌𝑔𝑧 + 𝐶 𝑐𝑡𝑒 → dus in horizontaal vlak (z constant) is de druk constant
𝑝
𝛥 (𝑧 + )=0 of uit
𝜌⋅𝑔
𝑧 = plaatshoogte
𝑝
= drukhoogte
𝜌⋅𝑔
𝑝
𝑧− = piëzometrische hoogte
𝜌⋅𝑔
▪ Hydrostatische druk = druk in punt P (B) met druk in A gekend → oplossen van hydrostatische wet
o Met A en P in de vloeistof
▪ 𝑝𝑃 = 𝑝𝐴 + 𝜌𝑔ℎ = F*A
o Met A aan het oppervlak dus pA = p0 (want werken met relatieve druk dus p0 = 0)
▪ 𝑝𝑃 = 𝜌𝑔ℎ
▪ Hydrostatische drukkracht = kracht die druk op bodemoppervlak uitoefent
o F = pP*A
Drukmeting via piëzometrische stijgbuis
→ maakt gebruik van hydrostatische wet
Stijgbuis = piëzometer
▪ Open piëzometrische stijgbuis
Je kan de druk in punt M bepalen via de hoogte afgelezen in de stijgbuis
→ de stijghoogte is gelijk aan de drukhoogte op punt M
Bovenaan staat de buis open in verbinding met de atmosfeer
𝑝
o ℎ = 𝜌⋅𝑔 = drukhoogte
o Uit hydrostatische tussen punt M en A bovenaan de buis
𝑝𝑀 − 𝑝𝐴 = 𝜌𝑔ℎ → 𝑝𝑀 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ = hydrostatische druk, patm valt weg bij relatieve druk
o We maken dus gebruik van het feit dat bovenaan de buis atmosfeerdruk geldt
o Het vat zit op overdruk en daarom zal het in het kleine buisje stijgen
Enkele nadelen: kan dit niet met een gas doen want is open stijgbuis en zou zo ontsnappen + lange buis nodig bij hoge druk
, 10,33m waterkolom = de kracht (druk) die de lucht op ons uitoefent, alsof er een 10,33m waterlijn op ons zou staan
Water in proefbuis doen en dan in vloeistof recht steken (opening onderwater houden)
Bovenaan wordt een vacuüm gecreëerd = 0 Pa
Hydrostatische wet toepassen op wateroppervlak (patm) en vaccuum
Kan hieruit berekenen dat h = 10,33m = drukhoogte = m waterkolom
▪ U-vormige stijgbuis
Het vat bevindt zich op overdruk in in de U-buis steken we een vloeistof
met een grotere dichtheid (dan moet je enkel h2 aflezen, anders 2 aflezingen → 2 kans op fout)
Dan gaan we het hoogteverschil meten tussen punt A en de stijgbuis (h2 - h1), we doen dit zo
Pak 2 punten A en B op dezelfde hoogte, best op de scheidingslijn pakken van de fluïda = minder rekenwerk
Druk in punt A = punt B: 𝑝𝐴 = 𝑝𝐵 → vanhieruit vertrekken om formule op te stellen
Want druk blijft gelijk in horizontaal vlak in hydrostatica binnen eenzelfde vloeistof
Druk in A = druk in punt M + de druk van h1 meter vloeistofkolom = 𝑝𝑀 + 𝜌1 ℎ1 𝑔
Druk in B = alles wat er boven B gebeurd = druk aan oppervlak + h2 meter vloeistofkolom = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌2 ℎ2 𝑔
▪ Differentiaal-manometer
= meet het drukverschil tussen 2 vaten (M en N)
Opnieuw 2 punten A en B op zelfde hoogte binnen zelfde vloeistof pakken
Zodat de druk in beide punten weer gelijk is
We kiezen de manometer vloeistof zo dat de dichtheid weer veel hoger licht
dan in de twee vatenvloeistoffen zodat je maar 1 h moet aflezen
Druk in A = druk in M + h1 meter vloeistofkolom = 𝑝𝑀 + 𝜌1 ℎ1 𝑔
Druk in B = druk in N + h1 meter vloeistofkolom + h meter vloeistofkolom
= 𝑝𝑁 + 𝜌2 ℎ2 𝑔 +𝜌ℎ𝑔
Toepassingen hydrostatische wet
Communicerende vaten
2 verbonden vaten met dezelfde vloeistof
𝑝
Alle punten binnen eenzelfde vloeistof hebben dezelfde piëzometrische hoogte z + 𝜌 = constante
Dus tussen 2 punten A en B kan je het volgende opstellen
→ je kan zo het hoogteverschil bepalen tussen 2 punten
,Drukkracht op een vlakke wand Fhyd
Zien als wat is de minimale druk die je op de “deur” moet tegenduwen
zodat hij niet opengaat (zelfde als hhydr)
→ resulterende drukkracht van vloeistof op deur bepalen = Fhydr
Hoe opstelling tekenen met gegeven figuur
▪ Vloeistofoppervlak en schuine wand doortekenen → snijpunt O
▪ Dan een k-as tekenen parallel met de schuine wand
▪ Loodrecht op de k-as teken je de x-as door het snijpunt O
▪ Dan de deur in het nieuwe assenstelsel voorstellen
= loodrecht van deur op de schuine wand lijnen trekken
Gegevens van de tekening
▪ Druk in een punt in de vloeistof = pO + 𝜌𝑔ℎ met h de diepte van dat punt, als er atmosfeerdruk is: p0 = 0 (werken relatief)
▪ Druk bovenaan de wand is minder dan onderaan de wand → druk neemt dus lineair toe met de diepte (h enige dat varieert)
▪ Om de drukkracht op de wand te bepalen kan je dus niet p*Awand doen want p is niet over heel de wand gelijk (niet zelfde hoogte)
▪ Zal de resulterende kracht op de schuine wand (deur) moeten bepalen
In oefeningen
▪ Beschouw een punt P, een klein oppervlakte dA van de deur zodanig klein dat de druk wel constant is
o Kan dan 𝑑𝐹ℎ𝑦𝑑𝑟 = 𝑝𝑃 ∗ 𝑑𝐴 = (𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ) ∗ 𝑑𝐴 doen
o Deze staat loodrecht op de wand en is naar de deur toegericht
▪ Aangezien de wand vlak is (recht dus) zal elke dF in dezelfde richting wijzen
o Kan alle dFhydr integreren over de deur
o Fhyd,0 is de kracht dat de druk boven het fluïdumoppervlak op de deur (A) uitoefent (door de lucht)
o Fhyd,v is de kracht dat de druk in het fluïdum op de deur uitoefent, de hydrostatische drukkrachten van vloeistof op A
, ▪ Nu beschouwen we het volume tussen de deur en het wateroppervlak
▪ Inhoud afgeknotte kegel = Agrondvlak*hzwaartepunt = A*hG
▪ G = zwaartepunt (ook visualiseren op deur via loodrechte lijn + in het midden)
▪ 𝒑𝑮 = druk op het zwaartepunt van de deur = druk door vloeistof + lucht erboven
Opgelet! De resulterende kracht op de deur grijpt niet aan in het zwaartepunt, geïllustreerd met dit voorbeeld:
We moeten dus nog het aangrijpingspunt M vinden dat onder het zwaartepunt zal liggen
Dit vinden we via de momentenvergelijking
= de moment van een kracht rond een as = kracht * krachtarm
▪ De krachtarm staat loodrecht op de kracht !!! (elk jaar fout op examen)
▪ Krachtarm = loodrechte afstand van een punt tot de werklijn
▪ Goniometrie dus nodig om de krachtarm (lengte) te bepalen
Rond de k-as
Rond de x-as
We willen M dus weten
Nu de momentvergelijkingen oplossen
▪ Eerst voor G om de coördinaten van G te bepalen
, ▪ Dan voor M’ hetzelfde maar moet je via traagheidsproducten Ixk doen
o Dit zal op het formularium staan, dus gewoon I12 en I11 invullen
Nu hebben we alles en kunnen we M(xM, kM) bepalen
Opletten voor het soort vraagstukken op het examen, stel dat je de druk in een vat op een deur aan de zijkant moet bepalen, dan zit aan
de buitenkant van die deur ook een atmosfeerdruk, dus de kracht die je moet gebruiken zodat de deur niet opengaat is enkel 𝐹ℎ𝑦𝑑,𝑣 en
dus niet Fhyd,,0
want op de deur heb je dus Fhyd dat druk = Fhyd,v + Fhyd,0, met Fhyd,0 de kracht van de atmosfeer, MAAR buiten aan de deur heb je ook de
atmosfeer die met kracht Fhyd,0 duwt, dus moet met kracht Fhyd,v duwen zodat de deur niet opgenaat
→ Dus als je de resulterende kracht op de deur moet bevalen enkel Fhyd,v doen
Drukkracht op een gebogen wand (dam)
Hier hetzelfde eerst, we delen de wand op in dA’s waar p constant is en dFhyd = pP*dA
▪ Probleem is nu dat alle dFhyd’s niet meer in dezelfde richting wijzen
dus je kan niet meer de resulterende berekenen door ze allemaal op te tellen
▪ Daarom ontbinden we de elementaire drukkracht dFhyd in componenten
Nu voor Fhyd,x en Fhyd,y beide het aangrijpingspunt M bepalen (zoals hierboven, nu 2 keer doen)
Fhydr,h zien als het gewicht van de vloeistofkolom tussen het oppervlak en het vlak = de inhoud tussen vlak A en het oppervlak
Fhydr,h = gewicht van vloeistof die in een volume zit dat boven gekromde oppervlak zit tot aan het oppervlak
→ ook het aangrijpingspunt van Fhyd,h bepalen via volgende formules
,*Opletten! Het volume tussen A en het oppervlak is niet noodzakkelijk volledig gevuld met water
Fhyd,h = het gewicht van de vloeistofkolom tussen A en het oppervlak die daar zou kunnen zitten, er zit niet perse overal water
Maar je moet toch alles erboven als inhoud pakken, ookal zou er geen water zitten
Kracht op gebogen wand in oefeningen
▪ Veel te veel werk, dus je zal nooit de vraag krijgen, bereken de resulterende kracht op de wand, of geef het aangrijpingspunt
▪ Wel kleinere vragen bv bereken de x, y en z component van de hydrostatische kracht
▪ Kijken of je bij het gegeven oppervlak al een component kan uitschakelen omdat de resulterende daar 0 is door symmetrie
▪ Voor de horizontale componenten (x en y)
o Projecteer het oppervlak en bereken de oppervlakte (geprojecteerde oppervlakten zijn vlak!)
o hG = hoogte van het zwaartepunt, kan je uit het formularium halen
o Dan:
▪ Voor de verticale component (z)
o Projecteer het oppervlak op het wateroppervlak en bereken de inhoud V
o Niet panikeren van “ik kan deze driedubbele integraal niet berekenen”, denk na bv
o Dan:
De wet van Archimedes
We bepalen de resulterende kracht op een ondergedompeld lichaam
De x en y componenten van Fhydr = 0 want de druk langst alle kanten is gelijk
FA = de verticale component = Fhydr2 - Fhydr1
• Fhydr2 is positief want staat naar boven gericht
• De drukkracht onderaan is groter dan bovenaan want druk neemt toe met diepte
= opwaartse stuwkracht FA (dat object weer naar boven duwt)
• FA = 𝝆gV kan hieruit geconcludeerd worden = de archimedeskracht
= het gewicht dat je zou nodig hebben mocht de bol volledig gevuld zijn met de beschouwde vloeistof (dichtheid rho)
In oefeningen: bepalen of een voorwerp zal zinken
▪ Boot zinkt als de archimedeskracht FA kleiner is dan het gewicht van de boot (opwaartse kracht kleiner dan gewicht FG)
▪ !!opgelet V in FA is het volume van het voorwerp dat onder het wateroppervlak zit = dus waar vloeistof normaal in de plaats zou
zitten*
Maximale archimedeskracht = kracht wanneer de boot volledig ondergedompeld is
• Boeit niet als je nog dieper gaat want V blijft constant (ondergedompeld volume)
• De druk neemt wel toe naargelang je dieper gaat, maar dat doet het ook boven het object dan
• !!belangrijk is dat V het ondergedompelde volume is, en niet het watervolume er ook boven zoals hiernaast
berekening volume voor Fhydr,h bij een gebogen wand
Werkelijke archimedeskracht = kracht met ondergedompeld volume
Opgelet! Het is niet omdat de archimedeskracht < het gewicht dat de boot recht blijft (zal wel niet zinken)
Dit komt omdat de archimedeskracht aangrijpt in het middelpunt terwijl de zwaartekracht aangrijpt in het zwaartepunt
→ als deze twee niet aligneren krijg je een krachtenkoppel en kantelt de boot
, Belangrijke bevindingen
▪ V = snelheid en V = volume dus opletten!!
▪ Absolute druk kan nooit negatief zijn, terwijl relatieve druk dat wel kan zijn (onderdruk)
▪ Eigenschap dat we continu gebruiken: de waarde op een 2de punt x + dx bepalen via een gekend punt x adhv de eerste term van
de taylorexpanisie
▪ Aannames die we doen in de hydrostatica:
o Vloeistoffen zijn onsamendrukbaar → 𝜌 = constant
▪ bij gassen is 𝜌 niet constant want ze zijn samendrukbaar → hangt af van de druk
• Hoe harder je druk (hoge p), hoe hoger de dichtheid
• Daarom voor gassen relatie tussen dichtheid, druk en temperatuur
De ideale gaswet: 𝑝𝑉 = 𝜌𝑛𝑇 → zie afleiding (niet te kennen maar wel in oef kunnen toepassen)
• Hieruit volgt dat voor de verandering van druk in de z-richting voor een gas het volgende geldt
→ ook hier is de druk constant in horizontaal vlak (en R* = R/Mg)
o Zwaartekracht is de enige uitwendige kracht FU = (X, Y, Z) = (0, 0, -g)
▪ Gevolg: 𝑝 = −𝜌𝑔𝑧 + 𝐶 𝑐𝑡𝑒
▪ Dus in een horizontaal vlak (z constant) is de druk p constant (want g en 𝜌 zijn ook constant), dus de druk op
2 punten in dezelfde vloeistof! Op gelijke hoogte is dezelfde
▪ Afleiding → hydrostatische wet
▪ p = F*A dus F = p/A
▪ We gebruikgen g = 9,81!
▪ Bij een gaslaag mag de druk op verschillende hoogtes dezelfde genomen worden mits het hoogte verschil klein is
dus niet aan de voet en top van een berg bv
▪ Punten binnen eenzelfde vloeistof op dezelfde hoogte hebben dezelfde druk
want 𝑝 = −𝜌𝑔𝑧 + 𝐶 𝑐𝑡𝑒 → z constant
𝑝
▪ Alle punten binnen eenzelfde vloeistof hebben dezelfde piëzometrische hoogte z + = constante
𝜌
Als ze dan nog eens op dezelfde hoogte liggen is hun z gelijk en bijgevolg ook hun p = zelfde druk in die punten
▪ Opletten! Hoogte is eigenlijk hoogte
VAN DAT FLUÏDUM
Druk in A = 𝑝𝐴 = 𝑝𝐶 + 𝑝𝐷 + 𝑔ℎ𝜌
met h = 0,7 + 1,2!!!!
▪ OP HET EXAMEN PAS OP HET EINDE
EINDE DE EENHEID TOEVOEGEN, NIET IN
DE TUSSENSTAPPEN, MAAR NIET VERGETEN
▪ Veel gemaakte fouten bij druk op gebogen wand bepalen
o Het oppervlak op de horizontale componenten projecteren (x, y) geeft een vlak! (bol → cirkel)
o De geprojecteerde oppervlakten moeten in contact staan met de vloeistof!
o Om de nettokracht te bepalen moet je de som van de + en - gerichte krachten nemen
Fluïdum
Vloeistof Vertoont scheidingsoppervlak Cohesiekrachten voldoende groot om stof bij elkaar te houden
Gas Vertoont geen scheidingsoppervlak Cohesiekrachten te klein om stof bijelkaar te houden
Voor onderzoek van fluïdum werken we met een dV = klein fluïdum deeltje dat net voldoende moleculen heeft zodat het nog dezelfde
eigenschappen van het fluïdum heeft, in alle beschouwde richtingen in de ruimte
Druk in Pascal = Pa = N/m²
Dichtheid = soortelijke masse 𝝆 in kg/m³
= hoeveelheid massa fluïdum per eenheid volume
Soortelijke gewicht 𝜸𝒔 in N/m³
= gewicht aan fluïdum per eenheid volume (gewicht = FG = m*g)
Viscositeit = stroperigheid van een vloeistof
→ deeltjes bewegen ten opzichte van elkaar, ene rapper dan anderen en schuren tegen elkaar → krijgt wrijving
→ hoe visceuser = meer stroperig, hoe meer inwendige wrijving = schuifspanningen
▪ W = 𝜏A = 𝜂ΔVΔ𝑧 A [N] = kracht die je op bovenste plaat uitoefent
▪ 𝜏 = 𝜂 ΔV/Δ𝑧 [Pa = N/m² ] = de schuifspanning = W/A
𝜼
▪ 𝝂=𝝆 [m²*s-1] = de kinematische viscositeitscoëfficiënt
▪ 𝜼 [Pa*s] = de dynamische viscositeitscoëfficient
,Oppervlaktespanning - wordt niet echt behandeld in deze cursus
gewoon belangrijk om te weten dat het GEEN SPANNING is want het staat in [Pa*m] terwijl spanning in Pa staat
= potentiële energie per eenheid van oppervlakte
De cappilair druk kan je ook gaan zien als de kracht/druk die je nodig hebt om
een vloeistof uit een bepaald ding te gaan verwijderen
→ bv spons helemaal uitknijpen, maar zit nog water in de poriën met een cappilair druk
→ moet die druk/kracht gaan uitoefenen om het eruit te krijgen
Hydrofiel versus hydrofoob gedrag adhv cohesiekracht + adhesiekracht
▪ Water aan de rand in een proefbuis (hydrofiel)
o Rood = aantrekkingskracht andere waterdeeltjes = cohesiekracht
o Zwart = aantrekkingskracht van glas = adhesiekracht
o Groen = resulterende → water zal zich loodrecht op de kracht gaan richten → krult op tegen glas
o Minder hoge oppervlaktespanning
▪ Kwik aan de rand in een proefbuis (hydrofoob)
o Kwik delen zullen veel harder trekken
o Daarom zal resulterende in de vloeistof liggen → kwik zal loodrecht daarip gaan richten → komt bol te staan
o Krijgt zeer grote oppervlaktespanning, hydrofoob = grote cohesiekracht
Belangrijke bevindingen
▪ Eenheden zijn belangrijk op het examen!
o 1 keer vergeten = door de vingers gezien
o 2 keer = -1 punt
o 3 of meer = -2 punt (dus kunt in totaal 2 punten verliezen over het examen als je 3 of meer keer ze vergeet)
▪ Vloeistoffen zijn onsamendrukbaar in onze berekeningen
▪ Gassen zijn onsamendrukbaar bij kleine snelheden (100 m/s) → zie later
▪ Viscositeit
o Bij een vloeistof
▪ Daalt bij hogere temperatuur = minder stroperig → gaan meer bewegen en verder van elkaar
▪ Stijgt bij lagere temperatuur → koude vloeistof: moleculen dichter bij elkaar → meer wrijving
o Bij een gas
▪ Omgekeerde redenering!
▪ Opwarming → bewegen nog meer en botsen nog meer → stroperigheid (van het gas) neemt toe
▪ Druk en spanning staan beide in Pascal [Pa] maar er is een belzngrijk verschil tussen beide
o Druk = scalair, overal gelijk
▪ p = F/A
▪ hoeveel kracht per m² in alle richtingen
o Spanning
▪ 𝜎 = normaalspanning = kracht loodrecht op vlak per m² [Pa]
▪ 𝜏 = schuifspanning = kracht parallel aan dat vlak per m² omwille van wrijving [Pa]
,Hoofdstuk 2: Fluïda in rust
In dit hoofdstuk leren we berekenen wat de kracht is die een dam moet zetten om water tegen te houden
Wanneer zijn fluïda in rust = hydrostatisch evenwicht
▪ In absolute rust ten opzichte van de Aarde
▪ Bij eenparige rechtlijnige versnelling
▪ Bij constante hoeksnelheid → deeltje staan stil t.o.v. elkaar
Welke eigenschappen hebben fluïda in rust
▪ Er zijn geen schuifspanningen aanwezig want ze staan stil t.o.v. elkaar dus ze wrijven ook niet tegen elkaar
o 𝜏 = 0 want de snelheid in een bepaalde richting = 0
o Enkel een normale spanning aanwezig, namelijk de druk
▪ De druk p op een gegeven punt is in alle richtingen gelijk
▪ Hydrostatische wet
o p(z) = p0 + 𝜌gh
▪ Archimedeskracht: een stilstaand fluïudm oefent op een odnergedopeld object een opwaarse kracht uit
o Fopwaarts = 𝜌Vverplaatstg
Atmosfeerdruk patm = 1013.25 hPa
In oefeningen zal er “bij standaardatmosfeer” staan → weten dat het atmosfeerdruk is
▪ Absolute druk = druk ten opzichte van vacuüm = 0 Pa
▪ Relatieve druk = druk ten opzichte van de heersende atmosfeerdruk (referentiepunt 0 = atmsofeerdruk)
o p > 0 = overdruk → bij 2 Pa overdruk = patm + 2Pa
o p < 0 = onderdruk
Meestal wordt relatieve druk gebruikt, maar enkele voorbeelden waar je absolute druk moet gebruiken!
Basisvergelijkingen van de hydrostatica (fluïdum in rust!!!) → volgende zaken gelden dus voor de hydrostatica
Wet van pascal + afleiding
= in fluïdum in rust is de druk in een punt is onafhankelijk van de richting overal gelijk
px = py = pz = p
Evenwichtsvergelijkingen van Euler + afleiding
Totale differentiaal 𝒅𝒑 van de drukfunctie 𝒑(𝒙, 𝒚, 𝒛) = druk die van de x, y en z richting afhangt + afleiding
,Hydrostatische wet (opgelet, geldt allemaal voor stilstaand fluïdum) + afleiding
Afgeleid uit het feit dat de zwaartekracht de enige uitwendige kracht is FU = (0, 0, -g)
Gevolg: 𝑝 = −𝜌𝑔𝑧 + 𝐶 𝑐𝑡𝑒 → dus in horizontaal vlak (z constant) is de druk constant
𝑝
𝛥 (𝑧 + )=0 of uit
𝜌⋅𝑔
𝑧 = plaatshoogte
𝑝
= drukhoogte
𝜌⋅𝑔
𝑝
𝑧− = piëzometrische hoogte
𝜌⋅𝑔
▪ Hydrostatische druk = druk in punt P (B) met druk in A gekend → oplossen van hydrostatische wet
o Met A en P in de vloeistof
▪ 𝑝𝑃 = 𝑝𝐴 + 𝜌𝑔ℎ = F*A
o Met A aan het oppervlak dus pA = p0 (want werken met relatieve druk dus p0 = 0)
▪ 𝑝𝑃 = 𝜌𝑔ℎ
▪ Hydrostatische drukkracht = kracht die druk op bodemoppervlak uitoefent
o F = pP*A
Drukmeting via piëzometrische stijgbuis
→ maakt gebruik van hydrostatische wet
Stijgbuis = piëzometer
▪ Open piëzometrische stijgbuis
Je kan de druk in punt M bepalen via de hoogte afgelezen in de stijgbuis
→ de stijghoogte is gelijk aan de drukhoogte op punt M
Bovenaan staat de buis open in verbinding met de atmosfeer
𝑝
o ℎ = 𝜌⋅𝑔 = drukhoogte
o Uit hydrostatische tussen punt M en A bovenaan de buis
𝑝𝑀 − 𝑝𝐴 = 𝜌𝑔ℎ → 𝑝𝑀 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ = hydrostatische druk, patm valt weg bij relatieve druk
o We maken dus gebruik van het feit dat bovenaan de buis atmosfeerdruk geldt
o Het vat zit op overdruk en daarom zal het in het kleine buisje stijgen
Enkele nadelen: kan dit niet met een gas doen want is open stijgbuis en zou zo ontsnappen + lange buis nodig bij hoge druk
, 10,33m waterkolom = de kracht (druk) die de lucht op ons uitoefent, alsof er een 10,33m waterlijn op ons zou staan
Water in proefbuis doen en dan in vloeistof recht steken (opening onderwater houden)
Bovenaan wordt een vacuüm gecreëerd = 0 Pa
Hydrostatische wet toepassen op wateroppervlak (patm) en vaccuum
Kan hieruit berekenen dat h = 10,33m = drukhoogte = m waterkolom
▪ U-vormige stijgbuis
Het vat bevindt zich op overdruk in in de U-buis steken we een vloeistof
met een grotere dichtheid (dan moet je enkel h2 aflezen, anders 2 aflezingen → 2 kans op fout)
Dan gaan we het hoogteverschil meten tussen punt A en de stijgbuis (h2 - h1), we doen dit zo
Pak 2 punten A en B op dezelfde hoogte, best op de scheidingslijn pakken van de fluïda = minder rekenwerk
Druk in punt A = punt B: 𝑝𝐴 = 𝑝𝐵 → vanhieruit vertrekken om formule op te stellen
Want druk blijft gelijk in horizontaal vlak in hydrostatica binnen eenzelfde vloeistof
Druk in A = druk in punt M + de druk van h1 meter vloeistofkolom = 𝑝𝑀 + 𝜌1 ℎ1 𝑔
Druk in B = alles wat er boven B gebeurd = druk aan oppervlak + h2 meter vloeistofkolom = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌2 ℎ2 𝑔
▪ Differentiaal-manometer
= meet het drukverschil tussen 2 vaten (M en N)
Opnieuw 2 punten A en B op zelfde hoogte binnen zelfde vloeistof pakken
Zodat de druk in beide punten weer gelijk is
We kiezen de manometer vloeistof zo dat de dichtheid weer veel hoger licht
dan in de twee vatenvloeistoffen zodat je maar 1 h moet aflezen
Druk in A = druk in M + h1 meter vloeistofkolom = 𝑝𝑀 + 𝜌1 ℎ1 𝑔
Druk in B = druk in N + h1 meter vloeistofkolom + h meter vloeistofkolom
= 𝑝𝑁 + 𝜌2 ℎ2 𝑔 +𝜌ℎ𝑔
Toepassingen hydrostatische wet
Communicerende vaten
2 verbonden vaten met dezelfde vloeistof
𝑝
Alle punten binnen eenzelfde vloeistof hebben dezelfde piëzometrische hoogte z + 𝜌 = constante
Dus tussen 2 punten A en B kan je het volgende opstellen
→ je kan zo het hoogteverschil bepalen tussen 2 punten
,Drukkracht op een vlakke wand Fhyd
Zien als wat is de minimale druk die je op de “deur” moet tegenduwen
zodat hij niet opengaat (zelfde als hhydr)
→ resulterende drukkracht van vloeistof op deur bepalen = Fhydr
Hoe opstelling tekenen met gegeven figuur
▪ Vloeistofoppervlak en schuine wand doortekenen → snijpunt O
▪ Dan een k-as tekenen parallel met de schuine wand
▪ Loodrecht op de k-as teken je de x-as door het snijpunt O
▪ Dan de deur in het nieuwe assenstelsel voorstellen
= loodrecht van deur op de schuine wand lijnen trekken
Gegevens van de tekening
▪ Druk in een punt in de vloeistof = pO + 𝜌𝑔ℎ met h de diepte van dat punt, als er atmosfeerdruk is: p0 = 0 (werken relatief)
▪ Druk bovenaan de wand is minder dan onderaan de wand → druk neemt dus lineair toe met de diepte (h enige dat varieert)
▪ Om de drukkracht op de wand te bepalen kan je dus niet p*Awand doen want p is niet over heel de wand gelijk (niet zelfde hoogte)
▪ Zal de resulterende kracht op de schuine wand (deur) moeten bepalen
In oefeningen
▪ Beschouw een punt P, een klein oppervlakte dA van de deur zodanig klein dat de druk wel constant is
o Kan dan 𝑑𝐹ℎ𝑦𝑑𝑟 = 𝑝𝑃 ∗ 𝑑𝐴 = (𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ) ∗ 𝑑𝐴 doen
o Deze staat loodrecht op de wand en is naar de deur toegericht
▪ Aangezien de wand vlak is (recht dus) zal elke dF in dezelfde richting wijzen
o Kan alle dFhydr integreren over de deur
o Fhyd,0 is de kracht dat de druk boven het fluïdumoppervlak op de deur (A) uitoefent (door de lucht)
o Fhyd,v is de kracht dat de druk in het fluïdum op de deur uitoefent, de hydrostatische drukkrachten van vloeistof op A
, ▪ Nu beschouwen we het volume tussen de deur en het wateroppervlak
▪ Inhoud afgeknotte kegel = Agrondvlak*hzwaartepunt = A*hG
▪ G = zwaartepunt (ook visualiseren op deur via loodrechte lijn + in het midden)
▪ 𝒑𝑮 = druk op het zwaartepunt van de deur = druk door vloeistof + lucht erboven
Opgelet! De resulterende kracht op de deur grijpt niet aan in het zwaartepunt, geïllustreerd met dit voorbeeld:
We moeten dus nog het aangrijpingspunt M vinden dat onder het zwaartepunt zal liggen
Dit vinden we via de momentenvergelijking
= de moment van een kracht rond een as = kracht * krachtarm
▪ De krachtarm staat loodrecht op de kracht !!! (elk jaar fout op examen)
▪ Krachtarm = loodrechte afstand van een punt tot de werklijn
▪ Goniometrie dus nodig om de krachtarm (lengte) te bepalen
Rond de k-as
Rond de x-as
We willen M dus weten
Nu de momentvergelijkingen oplossen
▪ Eerst voor G om de coördinaten van G te bepalen
, ▪ Dan voor M’ hetzelfde maar moet je via traagheidsproducten Ixk doen
o Dit zal op het formularium staan, dus gewoon I12 en I11 invullen
Nu hebben we alles en kunnen we M(xM, kM) bepalen
Opletten voor het soort vraagstukken op het examen, stel dat je de druk in een vat op een deur aan de zijkant moet bepalen, dan zit aan
de buitenkant van die deur ook een atmosfeerdruk, dus de kracht die je moet gebruiken zodat de deur niet opengaat is enkel 𝐹ℎ𝑦𝑑,𝑣 en
dus niet Fhyd,,0
want op de deur heb je dus Fhyd dat druk = Fhyd,v + Fhyd,0, met Fhyd,0 de kracht van de atmosfeer, MAAR buiten aan de deur heb je ook de
atmosfeer die met kracht Fhyd,0 duwt, dus moet met kracht Fhyd,v duwen zodat de deur niet opgenaat
→ Dus als je de resulterende kracht op de deur moet bevalen enkel Fhyd,v doen
Drukkracht op een gebogen wand (dam)
Hier hetzelfde eerst, we delen de wand op in dA’s waar p constant is en dFhyd = pP*dA
▪ Probleem is nu dat alle dFhyd’s niet meer in dezelfde richting wijzen
dus je kan niet meer de resulterende berekenen door ze allemaal op te tellen
▪ Daarom ontbinden we de elementaire drukkracht dFhyd in componenten
Nu voor Fhyd,x en Fhyd,y beide het aangrijpingspunt M bepalen (zoals hierboven, nu 2 keer doen)
Fhydr,h zien als het gewicht van de vloeistofkolom tussen het oppervlak en het vlak = de inhoud tussen vlak A en het oppervlak
Fhydr,h = gewicht van vloeistof die in een volume zit dat boven gekromde oppervlak zit tot aan het oppervlak
→ ook het aangrijpingspunt van Fhyd,h bepalen via volgende formules
,*Opletten! Het volume tussen A en het oppervlak is niet noodzakkelijk volledig gevuld met water
Fhyd,h = het gewicht van de vloeistofkolom tussen A en het oppervlak die daar zou kunnen zitten, er zit niet perse overal water
Maar je moet toch alles erboven als inhoud pakken, ookal zou er geen water zitten
Kracht op gebogen wand in oefeningen
▪ Veel te veel werk, dus je zal nooit de vraag krijgen, bereken de resulterende kracht op de wand, of geef het aangrijpingspunt
▪ Wel kleinere vragen bv bereken de x, y en z component van de hydrostatische kracht
▪ Kijken of je bij het gegeven oppervlak al een component kan uitschakelen omdat de resulterende daar 0 is door symmetrie
▪ Voor de horizontale componenten (x en y)
o Projecteer het oppervlak en bereken de oppervlakte (geprojecteerde oppervlakten zijn vlak!)
o hG = hoogte van het zwaartepunt, kan je uit het formularium halen
o Dan:
▪ Voor de verticale component (z)
o Projecteer het oppervlak op het wateroppervlak en bereken de inhoud V
o Niet panikeren van “ik kan deze driedubbele integraal niet berekenen”, denk na bv
o Dan:
De wet van Archimedes
We bepalen de resulterende kracht op een ondergedompeld lichaam
De x en y componenten van Fhydr = 0 want de druk langst alle kanten is gelijk
FA = de verticale component = Fhydr2 - Fhydr1
• Fhydr2 is positief want staat naar boven gericht
• De drukkracht onderaan is groter dan bovenaan want druk neemt toe met diepte
= opwaartse stuwkracht FA (dat object weer naar boven duwt)
• FA = 𝝆gV kan hieruit geconcludeerd worden = de archimedeskracht
= het gewicht dat je zou nodig hebben mocht de bol volledig gevuld zijn met de beschouwde vloeistof (dichtheid rho)
In oefeningen: bepalen of een voorwerp zal zinken
▪ Boot zinkt als de archimedeskracht FA kleiner is dan het gewicht van de boot (opwaartse kracht kleiner dan gewicht FG)
▪ !!opgelet V in FA is het volume van het voorwerp dat onder het wateroppervlak zit = dus waar vloeistof normaal in de plaats zou
zitten*
Maximale archimedeskracht = kracht wanneer de boot volledig ondergedompeld is
• Boeit niet als je nog dieper gaat want V blijft constant (ondergedompeld volume)
• De druk neemt wel toe naargelang je dieper gaat, maar dat doet het ook boven het object dan
• !!belangrijk is dat V het ondergedompelde volume is, en niet het watervolume er ook boven zoals hiernaast
berekening volume voor Fhydr,h bij een gebogen wand
Werkelijke archimedeskracht = kracht met ondergedompeld volume
Opgelet! Het is niet omdat de archimedeskracht < het gewicht dat de boot recht blijft (zal wel niet zinken)
Dit komt omdat de archimedeskracht aangrijpt in het middelpunt terwijl de zwaartekracht aangrijpt in het zwaartepunt
→ als deze twee niet aligneren krijg je een krachtenkoppel en kantelt de boot
, Belangrijke bevindingen
▪ V = snelheid en V = volume dus opletten!!
▪ Absolute druk kan nooit negatief zijn, terwijl relatieve druk dat wel kan zijn (onderdruk)
▪ Eigenschap dat we continu gebruiken: de waarde op een 2de punt x + dx bepalen via een gekend punt x adhv de eerste term van
de taylorexpanisie
▪ Aannames die we doen in de hydrostatica:
o Vloeistoffen zijn onsamendrukbaar → 𝜌 = constant
▪ bij gassen is 𝜌 niet constant want ze zijn samendrukbaar → hangt af van de druk
• Hoe harder je druk (hoge p), hoe hoger de dichtheid
• Daarom voor gassen relatie tussen dichtheid, druk en temperatuur
De ideale gaswet: 𝑝𝑉 = 𝜌𝑛𝑇 → zie afleiding (niet te kennen maar wel in oef kunnen toepassen)
• Hieruit volgt dat voor de verandering van druk in de z-richting voor een gas het volgende geldt
→ ook hier is de druk constant in horizontaal vlak (en R* = R/Mg)
o Zwaartekracht is de enige uitwendige kracht FU = (X, Y, Z) = (0, 0, -g)
▪ Gevolg: 𝑝 = −𝜌𝑔𝑧 + 𝐶 𝑐𝑡𝑒
▪ Dus in een horizontaal vlak (z constant) is de druk p constant (want g en 𝜌 zijn ook constant), dus de druk op
2 punten in dezelfde vloeistof! Op gelijke hoogte is dezelfde
▪ Afleiding → hydrostatische wet
▪ p = F*A dus F = p/A
▪ We gebruikgen g = 9,81!
▪ Bij een gaslaag mag de druk op verschillende hoogtes dezelfde genomen worden mits het hoogte verschil klein is
dus niet aan de voet en top van een berg bv
▪ Punten binnen eenzelfde vloeistof op dezelfde hoogte hebben dezelfde druk
want 𝑝 = −𝜌𝑔𝑧 + 𝐶 𝑐𝑡𝑒 → z constant
𝑝
▪ Alle punten binnen eenzelfde vloeistof hebben dezelfde piëzometrische hoogte z + = constante
𝜌
Als ze dan nog eens op dezelfde hoogte liggen is hun z gelijk en bijgevolg ook hun p = zelfde druk in die punten
▪ Opletten! Hoogte is eigenlijk hoogte
VAN DAT FLUÏDUM
Druk in A = 𝑝𝐴 = 𝑝𝐶 + 𝑝𝐷 + 𝑔ℎ𝜌
met h = 0,7 + 1,2!!!!
▪ OP HET EXAMEN PAS OP HET EINDE
EINDE DE EENHEID TOEVOEGEN, NIET IN
DE TUSSENSTAPPEN, MAAR NIET VERGETEN
▪ Veel gemaakte fouten bij druk op gebogen wand bepalen
o Het oppervlak op de horizontale componenten projecteren (x, y) geeft een vlak! (bol → cirkel)
o De geprojecteerde oppervlakten moeten in contact staan met de vloeistof!
o Om de nettokracht te bepalen moet je de som van de + en - gerichte krachten nemen
