Abstandsformel im Raum
A(an(a = (az) ; B(b + /b2/b3) 2 . 2 .
2 /
Gegenseitige Lage von 2 Geraden
Anwendung Schattenwurf :
d (AiB) =
(b1 -
ank + (b2 -
az) + (bs -
as) Lös : Geradengleichungen
①
Lagebeziehungen Paarweise überprüfen ② Gleichsetzen+ Kollisionskurs =
B (LGS)
eines Punktes einem Punkt
Spiegelungen an
>
-
9 und h
0A =
0A + 2 .
AP überprüfung der Parallelität Kosinusformel des Skalarproduktes
Geradengleichung aufstellen & r
↑
= 2 richtungsvektoren auf Kolliniarität prüfen
(Punkt) 2 (a) + . = 11 .
151 cos u
Bsp : m =
-
2
m
·
↳ Punkt OA
=
gespiegelter
nicht Lösbar
=> nicht Kollinear
multiplizieren zweier Vektoren , die in einem
=> gXh Bestimmten Winkel zueinander stehen
② überprüfen ob 90h sich schneiden Koordinaten form
↳
LGS
a1 31
entweder =
gnhWas abetabase
by
B
Orthogonal wenn =
0
oder = gnk =
[ Leere Menge
=>
g und k sind windschief ! Kosinusformel
Formel für Längeneinheiten .
COS j =
wenn => hIlk 11 .
151
T
Y al = + + y+ z m = =...
(E] Punktprobe , um zu Beweisen ob Winkel zwischen zwei Vektoren
Z
hak identisch sind. B
a =
(i) , ( &)
>
Stützpunkt der einen Geraden ges : j
-
andere
Lös : cos v
=
Vektorzüge in die Gerade einsetzen.
Skalarprodukt
Verhältnis 4: 3 (4 + 3 =
7 = =
r) =>
Stützpunkt von hin k cosp = (i) .
(2) =
3 .
6 + 1 .
2 + 4 . 1
/
Si si-
=+ EB
Mamm
Parametisierten Punkt als Gerade Darstellen oder
Umgekehrt !
Anzahl Teilungen wird durch das Verhältnis = 18 + 2 + 4 = 24 Icos) (
bestimmt.
-
9 + 1 + 16 36 + 4 + 1 26 . 41
Punktprobe
r =
cosi) 4) .
↓ Ortsvektor (Stützpunkt . 2 3
2 . . Spurpunkte von Geraden
(* ) ( ( (EB)
richtung Vektorielle Parametergleichung
= + +r .
umformen
↳
9 vektor
4
(P) =
( ...
) muss gleich sein Ei = + r
. -
↑ (H)fehe e
dann gilt Peg
: allg .
Ebenenvektor
:Stützvektor
2 .
2 .
Lagebeziehungen ~
Gleichung aufstellen
.
2 2 .
1 . Punkt/Gerade und Punkt/Strecke -QSxy = z= 0 Sx = y =
04Syz = X =
0 : Richtungsvektoren
①Geradengleichung S :
Ebenenparameter
② Punktprobe Reflektion an einer Koordinatenebene BE : = (3) + r .
(2) +s .
(2)
③ Lage auf der Strecke AB ①Geradengleichung Lichtstrahl
(0 cr <1) g
: X =
(Pu) + r .
(t) C
A Die dreipunkte Gleichung einer Ebene
= PEB ↓ : = + r(5 -a) (E-â)
Liegt E +
P :
r = -
1 vor A ② Geradengleichung refl Lichtstrahl
.
s .
Q :
r =
0. 5 Liegt auf der Strecke AB g
:= (Pink ( +
XB
R :
V =E liegt nicht auf der Strecke AB zwischen 142 ändert sich NUR das vorzeichen der E := (8) + r .
() ( + s Dreipunktgleich, i n
↓
E : =
(8) + w .
(3) + s
.
() Parametergleichung
z-Komponente und der jeweilige Startpunkt
Die Normalengleichung einer Ebene
Zusatz Reflektion der Xz-Ebene :
:
E :
[ * -*] .
n =
0
2 Spurpunkt der X2-Ebene ermitteln
~
Normalenvektor
Beliebiger Stützvektor
3 neuen
Richtungsrektor des reflektierten Ebenenpunkt E
Lichtstrahls ermitteln
A(an(a = (az) ; B(b + /b2/b3) 2 . 2 .
2 /
Gegenseitige Lage von 2 Geraden
Anwendung Schattenwurf :
d (AiB) =
(b1 -
ank + (b2 -
az) + (bs -
as) Lös : Geradengleichungen
①
Lagebeziehungen Paarweise überprüfen ② Gleichsetzen+ Kollisionskurs =
B (LGS)
eines Punktes einem Punkt
Spiegelungen an
>
-
9 und h
0A =
0A + 2 .
AP überprüfung der Parallelität Kosinusformel des Skalarproduktes
Geradengleichung aufstellen & r
↑
= 2 richtungsvektoren auf Kolliniarität prüfen
(Punkt) 2 (a) + . = 11 .
151 cos u
Bsp : m =
-
2
m
·
↳ Punkt OA
=
gespiegelter
nicht Lösbar
=> nicht Kollinear
multiplizieren zweier Vektoren , die in einem
=> gXh Bestimmten Winkel zueinander stehen
② überprüfen ob 90h sich schneiden Koordinaten form
↳
LGS
a1 31
entweder =
gnhWas abetabase
by
B
Orthogonal wenn =
0
oder = gnk =
[ Leere Menge
=>
g und k sind windschief ! Kosinusformel
Formel für Längeneinheiten .
COS j =
wenn => hIlk 11 .
151
T
Y al = + + y+ z m = =...
(E] Punktprobe , um zu Beweisen ob Winkel zwischen zwei Vektoren
Z
hak identisch sind. B
a =
(i) , ( &)
>
Stützpunkt der einen Geraden ges : j
-
andere
Lös : cos v
=
Vektorzüge in die Gerade einsetzen.
Skalarprodukt
Verhältnis 4: 3 (4 + 3 =
7 = =
r) =>
Stützpunkt von hin k cosp = (i) .
(2) =
3 .
6 + 1 .
2 + 4 . 1
/
Si si-
=+ EB
Mamm
Parametisierten Punkt als Gerade Darstellen oder
Umgekehrt !
Anzahl Teilungen wird durch das Verhältnis = 18 + 2 + 4 = 24 Icos) (
bestimmt.
-
9 + 1 + 16 36 + 4 + 1 26 . 41
Punktprobe
r =
cosi) 4) .
↓ Ortsvektor (Stützpunkt . 2 3
2 . . Spurpunkte von Geraden
(* ) ( ( (EB)
richtung Vektorielle Parametergleichung
= + +r .
umformen
↳
9 vektor
4
(P) =
( ...
) muss gleich sein Ei = + r
. -
↑ (H)fehe e
dann gilt Peg
: allg .
Ebenenvektor
:Stützvektor
2 .
2 .
Lagebeziehungen ~
Gleichung aufstellen
.
2 2 .
1 . Punkt/Gerade und Punkt/Strecke -QSxy = z= 0 Sx = y =
04Syz = X =
0 : Richtungsvektoren
①Geradengleichung S :
Ebenenparameter
② Punktprobe Reflektion an einer Koordinatenebene BE : = (3) + r .
(2) +s .
(2)
③ Lage auf der Strecke AB ①Geradengleichung Lichtstrahl
(0 cr <1) g
: X =
(Pu) + r .
(t) C
A Die dreipunkte Gleichung einer Ebene
= PEB ↓ : = + r(5 -a) (E-â)
Liegt E +
P :
r = -
1 vor A ② Geradengleichung refl Lichtstrahl
.
s .
Q :
r =
0. 5 Liegt auf der Strecke AB g
:= (Pink ( +
XB
R :
V =E liegt nicht auf der Strecke AB zwischen 142 ändert sich NUR das vorzeichen der E := (8) + r .
() ( + s Dreipunktgleich, i n
↓
E : =
(8) + w .
(3) + s
.
() Parametergleichung
z-Komponente und der jeweilige Startpunkt
Die Normalengleichung einer Ebene
Zusatz Reflektion der Xz-Ebene :
:
E :
[ * -*] .
n =
0
2 Spurpunkt der X2-Ebene ermitteln
~
Normalenvektor
Beliebiger Stützvektor
3 neuen
Richtungsrektor des reflektierten Ebenenpunkt E
Lichtstrahls ermitteln
