Samenvatting, Stappenplan en Formuleblad
Vak: Dynamica (WB1135)
10 maart 2025
Inhoudsopgave
1 Samenvatting 1
1.1 Inleiding en wiskundige basis (H2–H3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Kinematica van een puntmassa (H5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Kinetica van een puntmassa (H6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Vrije trillingen van een puntmassa (H13.1-13.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Gedempte en aangedreven trillingen (H13.3-13.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Arbeid en energie (puntmassa’s) (H7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Impuls en stoot (puntmassa’s) (H8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.8 Overzicht strategie voor puntmassa-problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.9 Kinematica van een star lichaam (H9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.10 Kinetica van een star lichaam (H10: wetten van Euler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.11 Arbeid en energie (star lichaam) (H11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.12 Impulsmoment en stootmoment (star lichaam) (H12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.13 Trillingen van starre lichamen (H13 uitgebreid) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.14 Overzicht strategie voor star-lichaam problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Stappenplan 15
3 Formuleblad 18
1 Samenvatting
1.1 Inleiding en wiskundige basis (H2–H3)
In dynamica beschrijven we bewegingen van lichamen in de tijd, binnen een gekozen referentiesysteem. In
dit vak nemen we meestal een inertieel referentiesysteem (IRS) aan: een niet-versneld assenstelsel (bijv.
stilstaande wereld met x, y-assen) waarin de wetten van Newton direct geldig zijn. Coördinaten kunnen
Cartesisch zijn (x, y) of bijvoorbeeld polair/cilindrisch (ρ, ϕ) afhankelijk van het probleem.
Vectornotatie: Positie, snelheid en versnelling worden uitgedrukt als vectoren. Bijvoorbeeld de positie
van een punt A: rA (t) = x(t) i + y(t) j in x, y-assentelsel. De eenheidsvectoren i, j (of ı̂, ȷ̂) zijn constant in
een inertieel assenstelsel. In roterende coördinaten (zoals polair) veranderen de lokale eenheidsvectoren in
de tijd, wat extra termen oplevert bij differentiëren (zie kinematica puntmassa).
We passen wiskundige technieken toe zoals differentieren (om van positie naar snelheid/versnelling
te gaan) en integreren (om uit versnelling terug naar positie te komen, of om bewegingvergelijkingen
op te lossen). Bij ingewikkelde bewegingen die niet analytisch oplosbaar zijn, gebruiken we numerieke
methodes. Een voorbeeld is de Eulermethode voor het iteratief oplossen van bewegingsvergelijkingen:
vanaf bekende toestand (x(t), v(t)) na een kleine tijdstap ∆t benaderen we v(t + ∆t) ≈ v(t) + a(t) ∆t en
x(t + ∆t) ≈ x(t) + v(t) ∆t. Dit is een eenvoudige integratietechniek om trajecten te voorspellen wanneer a(t)
bekend is.
1
, **Veelvoorkomende valkuilen:** Bij vectoren in polaire of roterende coördinaten vergeet men soms de
veranderingen van de eenheidsvectoren mee te nemen. In inertiële frames is dat niet nodig. Zorg verder
altijd voor consistente eenheden (bijv. SI-eenheden: m, s, kg, N).
1.2 Kinematica van een puntmassa (H5)
De kinematica beschrijft de beweging zónder te kijken naar de oorzaken (krachten). Een puntmassa is een
object waarvan de afmetingen verwaarloosbaar zijn, zodat alle massa in één punt zit. De beweging wordt
gegeven door de positievector r(t) als functie van de tijd t.
De snelheidsvector is de eerste afgeleide: v(t) = dr dt , en de versnellingsvector de tweede afgeleide:
d2 r
a(t) = dv
dt = dt2 . In een vast (x, y)-assenstelsel betekent dit v = ẋ i + ẏ j en a = ẍ i + ÿ j (punten boven de
variabelen geven tijdafgeleiden aan). Deze componentgewijze differentiatie is geldig omdat i, j constant zijn.
In pool- of cilindercoördinaten (in het vlak vaak aangeduid met (ρ, ϕ) waarbij ρ de afstand tot de
oorsprong is en ϕ de hoek) veranderen de lokale basisvectoren ρ̂, ϕ̂ mee met de draaiing. Voor de snelheid
en versnelling van een puntmassa A geldt:
vA = ρ̇A ρ̂ + ρA ϕ̇A ϕ̂,
aA = (ρ̈A − ρA ϕ̇2A ) ρ̂ + (ρA ϕ̈A + 2ρ̇A ϕ̇A ) ϕ̂.
d d
Deze bekende formule komt tot stand door de eenheidsvectoren te differentiëren: dt ρ̂ = ϕ̇ ϕ̂ en dt ϕ̂ = −ϕ̇ ρ̂.
Een alternatieve beschrijving voor kromlijnige beweging is via baancoördinaten langs het traject
(normaal-tangentieel): de snelheid v = ∥v∥ en richting langs de baan t̂ (raaksrichting) en normaalrich-
ting n̂ (wijst naar het middelpunt van kromming). Versnelling heeft componenten at langs de baan en an
2
normaal erop. Er geldt at = v̇ (verandering in grootte van de snelheid) en an = vR waarbij R de lokale krom-
testraal is. De versnelling a = at t̂ + an n̂. Vaak is an = v 2 /ρ (hier niet te verwarren ρ met poolcoördinaat,
in dit geval de kromtestraal). Deze formulering is handig om bijv. de centripetale versnelling in een bocht
te identificeren.
Naast het differentiëren van gegeven bewegingsfuncties, komt het ook voor dat men relaties tussen bewe-
gingsgrootheden heeft via verbindingsvergelijkingen. Bijvoorbeeld als twee puntmassa’s verbonden zijn
met een stang of touw, of als een wiel rolt zonder te slippen, leggen geometrische constraints een relatie
tussen coördinaten. Zo betekent “rol zonder slip” dat de afgelegde weg van het contactpunt gelijk is aan
de omtrekrotatie: vtrans = ωR (translatiesnelheid is hoeksnelheid maal straal). Zulke vergelijkingen (H5.2)
worden gebruikt om onafhankelijke coördinaten te bepalen.
**Voorbeeld (kinematica puntmassa):** Een racewagen A rijdt in het x-y vlak over een horizontale
spiraalvormige baan. De baan is in polaire coördinaten gegeven door ρA = R0 (1 + ϕA ) (een spiraal die steeds
verder van de oorsprong af draait als ϕ toeneemt), en zA = 0 (vlakke baan). De hoekpositie ϕA (t) neemt
toe terwijl de auto versnelt. Stel dat de hoeksnelheid toeneemt lineair in de tijd: ϕ̈A (t) = c0 t (rad/s2 ) met
beginvoorwaarden ϕA (0) = 0, ϕ̇A (0) = 0. We kunnen dan:
Rt Rt
• ϕA (t) bepalen door tweemaal te integreren: ϕ̇A (t) = 0 c0 τ dτ = 21 c0 t2 ; vervolgens ϕA (t) = 0 12 c0 τ 2 dτ =
1 3
6 c0 t .
• De radiale afstand ρA (t) = R0 (1 + ϕA (t)) = R0 1 + 16 c0 t3 . Vervolgens zijn de radiale snelheid en
versnelling: ρ̇A (t) = R0 · 21 c0 t2 , ρ̈A (t) = R0 c0 t. De hoeksnelheid en -versnelling hebben we: ϕ̇A (t) =
1 2
2 c0 t , ϕ̈A (t) = c0 t.
• Met de polaire formule berekenen we de versnelling:
aA,ρ (t) = ρ̈A − ρA ϕ̇2A , aA,ϕ (t) = ρA ϕ̈A + 2ρ̇A ϕ̇A .
Ingevuld wordt dat hier:
2
1 1 2
aA,ρ (t) = R0 c0 t − R0 1 + c0 t3 c0 t ,
6 2
2
,
1 1 1 2
aA,ϕ (t) = R0 1 + c0 t3 c0 t + 2 R0 c0 t2 c0 t .
6 2 2
We kunnen de uitdrukkingen vereenvoudigen. Een interessante vraag is: op welk tijdstip t = tc > 0
wordt de radiale versnelling aA,ρ nul? Dat betekent dat de centripetale term ρϕ̇2 gelijk wordt aan
de uitwaartse term ρ̈. Hier moeten we aA,ρ (tc ) = 0 oplossen; analytisch is dat een hogeregraads
vergelijking, maar conceptueel betekent het dat vanaf tc de auto zo snel draait dat hij net niet meer
verder van O af hoeft te bewegen om de kromming bij te houden.
**Veelvoorkomende valkuilen:** In kinematica vergeet men soms randvoorwaarden of integratieconstan-
ten bij integreren (zoals beginpositie of -snelheid). Controleer je oplossingen door t = 0 in te vullen. Bij
polaire formules wordt regelmatig het − ρϕ̇2 -term verkeerd van teken genomen of de Coriolis-term 2ρ̇ϕ̇ over
het hoofd gezien. Ook is het belangrijk een consistent assenstelsel te kiezen en daarbij te blijven (niet
halverwege x, y en ρ, ϕ door elkaar halen zonder transformatie).
1.3 Kinetica van een puntmassa (H6)
De kinetica behandelt de krachten die op een lichaam werken en de effecte daarvan op de beweging. Voor
een puntmassa geldt de Tweede Wet van Newton:
X
F = ma.
De som van alle werkende krachten (vectorieelP opgeteld) is
Pgelijk aan de massa m maal de versnelling
a van de puntmassa. In componenten: Fx = max en Fy = may in een vlakprobleem. Dit is de
bewegingsvergelijking (EOM) van de puntmassa.
Om dit praktisch toe te passen, tekenen we eerst een vrije-lichaam-diagram (free-body diagram) van
de puntmassa: teken het punt en alle krachten die erop aangrijpen, met hun richtingen. Typische krachten
2
zijn zwaartekracht Fg = mg (met g meestal 9, 81 m/s omlaag gericht), normaal- of ondersteuningskrachten
(loodrecht op oppervlakken), wrijvingskrachten (evenwijdig aan oppervlakken, Fw = µN in grootte bij
coulombwrijving), veerkrachten P (Fv = k∆x in de veerrichting), enz. Nadat alle relevante krachten zijn
geı̈nventariseerd, stellen we F = ma op in elke onafhankelijke richting. Vaak kiezen we assen langs de
bewegingsrichting (bijv. langs een helling of langs een touw) zodat één vergelijking direct de versnelling langs
die as geeft.
De bewegingsvergelijking kan een differentiaalvergelijking zijn als de kracht afhangt van de positie of
snelheid. Bijvoorbeeld een luchtweerstand Flucht = cd v 2 leidt tot mẍ = −cd ẋ2 die we moeten oplossen voor
x(t). In eenvoudiger gevallen is a constant en integreren we direct (met de formule x(t) = x0 + v0 t + 12 at2
enz.). H6.5-6.11 behandelde technieken om zulke EOM’s op te stellen en op te lossen.
Bij sommige problemen is het assenstelsel zelf bewegend of roterend. In een niet-inertieel referentie-
systeem (bijv. een trein die versnelt of een draaiend platform) gelden schijnkrachten. Voor een waarnemer
in zo’n versnellend systeem lijkt het namelijk of Newton niet klopt tenzij men aanvullende (fictieve) krach-
ten invoert: bij lineaire versnelling een fictieve tegenverkracht −maframe , en bij rotatie de Corioliskracht
2mΩ × vrel en centrifugale kracht mΩ × (Ω × r). In deze cursus is meestal het standpunt: werk in een in-
ertieel stelsel (zoals de grond) zodat je deze fictieve krachten niet hoeft te gebruiken. Als het probleem toch
gedeeltelijk vanuit een bewegend stelsel bekeken wordt (zie bijv. het voorbeeld hieronder), kun je gebruik
maken van relatieve P snelheid/versnellingformules, maar uiteindelijk moet je voor de dynamica een inertieel
stelsel kiezen om F = ma toe te passen.
**Voorbeeld:** Een bal A beweegt over het dek van een schip (punt B is een punt op het schip, bijv.
het beginpunt). Voor de kapitein op het schip (niet-inertieel, roterend met de aardrotatie van het schip of
draaiing van het schip) heeft de bal een bepaalde relatieve snelheid (vA )xyz . Voor de havenmeester op de kade
(inertieel stelsel XYZ) heeft de bal een absolute snelheid vA . Er geldt bijvoorbeeld vA = vB +Ω×(rA −rB ),
waarbij Ω de hoeksnelheidvector is van het bewegende dek (Ω = dϕschip /dt in k-richting). Dit is een van
de relatieve bewegingsformules (hier zonder Coriolis omdat aA,rel = 0 gegeven was en Ω constant). Als we
de dynamica van de bal willen bepalen (bijv. welke krachten nodig P zijn voor een bepaalde baan), is het
eenvoudiger vanuit de kade (IRS) te redeneren, zodat we direct F = ma kunnen toepassen op de bal.
**Veelvoorkomende valkuilen:** Vergeet niet om alle krachten in het vrije-lichaam-diagram op te nemen.
Reaktiekrachten bij verbindingen (zoals spankracht in een touw, normaalkracht op een steunpunt) zijn vaak
3
, onbekend en moeten als onbekende in de vergelijkingen. Bepaal de richting van wrijving correct (tegen de
bewegingsrichting in). Pas op met tekenkeuze: als je a als positieve richting naar rechts neemt, moet een
kracht die naar links werkt negatief in de vergelijking. Werk consequent met een assenstelsel. Tot slot:
Newton’s wet geldt alleen direct in inertiële stelsels. Als een opgave in een roterend of versnellend stelsel
zich afspeelt, moet je óf corrigeren met fictieve krachten, óf (aan te raden) de beweging eerst herleiden tot
een inertieel stelsel.
1.4 Vrije trillingen van een puntmassa (H13.1-13.2)
Een trilling is een beweging rond een evenwichtsstand. Bij vrije trillingen is er na een beginuitwijking
geen voortdurende aandrijving; de beweging wordt bepaald door de begincondities en de eigen dynamica van
het systeem. We beschouwen eerst een ongedempte, vrije trilling van een puntmassa.
Neem een puntmassa m die met een veer (veerconstante k) verbonden is aan een vast punt en kan
bewegen zonder wrijving. De evenwichtspositie is waar de veerkracht k∆x precies in evenwicht is met
eventuele andere krachten (bijv. zwaartekracht, hoewel vaak horizontale opstelling wordt genomen zonder
zwaartekrachtwerking in de bewegingsrichting). Verplaats de massa een stukje x uit evenwichtP en laat los:
de massa gaat harmonisch trillen. De bewegingsvergelijking komt uit Newton of energie: F = mẍ. Hier
is de enige kracht (terug naar evenwicht) de veerkracht F = −kx (negatief want tegengesteld aan uitwijking
richting). Dus mẍ + kx = 0. Dit is de differentiaalvergelijking van een harmonische oscillator. q
k
De oplossing is een harmonische functie: x(t) = A cos(ωn t) + B sin(ωn t), waarbij ωn = m de
natuurlijke hoekfrequentie (in rad/s) is. Men schrijft de oplossing ook vaak als x(t) = C cos(ωn t − ϕ) of
x(t) = X0 cos(ωn t + φ), met X0 de amplitude en φ een faseverschuiving, afhankelijk van beginvoorwaarden.
De bijbehorende trillingperiode is T = ω2πn en frequentie f = T1 = ω2πn .
De snelheid en versnelling zijn eveneens sinusvormig, bijvoorbeeld v(t) = −ωn X0 sin(ωn t + φ) en a(t) =
−ωn2 X0 cos(ωn t + φ). We zien dat de versnelling altijd evenredig is met de uitwijking maar tegengesteld,
zoals ook in de EOM zichtbaar was.
In meer algemeenheid: elke vrije ongedempte trilling van een lineair systeem (puntmassa met lineaire
veer) is harmonisch met de eigenfrequentie ωn . De amplitude hangt af van de beginuitwijking en -snelheid,
maar de frequentie niet (voor lineaire systemen is de frequentie onafhankelijk van amplitudes, in tegenstelling
tot bijv. grote hoeken van een slinger die niet meer lineair is).
**Veelvoorkomende valkuilen:** Zorg dat je de uitwijking x meet vanaf de juiste evenwichtspositie. Als
de evenwichtsstand niet bij x = 0 ligt, moet je een variabeleverandering doen (xrel = x − xevenwicht ) zodat de
EOM de juiste vorm mẍrel + kxrel = 0 krijgt. Vergeet niet dat ωn in rad/s is; om naar Hz om te zetten moet
je delen door 2π. Ten slotte, wees bewust dat deze formules gelden voor kleine lineaire trillingen. Voorbeeld:
een pendel p(zwaaiende massa aan een touw) gedraagt zich alleen voor kleine hoeken als mθ̈ + (mg/L)θ = 0
(dus ωn = g/L); bij grotere hoeken is de beweging niet meer precies sinusvormig en ω hangt dan wel van
amplitude af.
1.5 Gedempte en aangedreven trillingen (H13.3-13.4)
In realiteit is er vaak demping aanwezig (energieverlies door wrijving, luchtweerstand, enz.), en kunnen
trillingen ook aangedreven worden door een externe periodieke kracht. De algemene EOM voor een lineair
gedempte trilling met externe kracht is:
mẍ + cẋ + kx = F0 cos(ωin t),
waar c de dempingsconstante is (in Ns/m) en F0 cos(ωin t) een harmonische aandrijfkracht met amplitude F0
en frequentie ωin .
**Vrij gedempt (geen aandrijving):** √ de EOM mẍ + cẋ + kx = 0 heeft karakteristieke vergelijking
−c± c2 −4mk
2
mr + cr + k = 0 met oplossingen r = 2m . Definieer de dempingsratio ζ = 2√cmk en natuurlijke
p
frequentie ωn = k/m zoals ongedempt geval. Dan krijgen we drie regimes: - Onderkritisch gedempt (ζ < 1,
√ p
dus c < 2 mk): er ontstaan twee complexe oplossingen r = −ζωn ± i ωd , met ωd = ωn 1 − ζ 2 de gedempte
trillingsfrequentie. De oplossing in de tijd is een gedempte trilling:
x(t) = X0 e−ζωn t cos(ωd t + φ).
4
Vak: Dynamica (WB1135)
10 maart 2025
Inhoudsopgave
1 Samenvatting 1
1.1 Inleiding en wiskundige basis (H2–H3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Kinematica van een puntmassa (H5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Kinetica van een puntmassa (H6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Vrije trillingen van een puntmassa (H13.1-13.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Gedempte en aangedreven trillingen (H13.3-13.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Arbeid en energie (puntmassa’s) (H7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Impuls en stoot (puntmassa’s) (H8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.8 Overzicht strategie voor puntmassa-problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.9 Kinematica van een star lichaam (H9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.10 Kinetica van een star lichaam (H10: wetten van Euler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.11 Arbeid en energie (star lichaam) (H11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.12 Impulsmoment en stootmoment (star lichaam) (H12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.13 Trillingen van starre lichamen (H13 uitgebreid) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.14 Overzicht strategie voor star-lichaam problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Stappenplan 15
3 Formuleblad 18
1 Samenvatting
1.1 Inleiding en wiskundige basis (H2–H3)
In dynamica beschrijven we bewegingen van lichamen in de tijd, binnen een gekozen referentiesysteem. In
dit vak nemen we meestal een inertieel referentiesysteem (IRS) aan: een niet-versneld assenstelsel (bijv.
stilstaande wereld met x, y-assen) waarin de wetten van Newton direct geldig zijn. Coördinaten kunnen
Cartesisch zijn (x, y) of bijvoorbeeld polair/cilindrisch (ρ, ϕ) afhankelijk van het probleem.
Vectornotatie: Positie, snelheid en versnelling worden uitgedrukt als vectoren. Bijvoorbeeld de positie
van een punt A: rA (t) = x(t) i + y(t) j in x, y-assentelsel. De eenheidsvectoren i, j (of ı̂, ȷ̂) zijn constant in
een inertieel assenstelsel. In roterende coördinaten (zoals polair) veranderen de lokale eenheidsvectoren in
de tijd, wat extra termen oplevert bij differentiëren (zie kinematica puntmassa).
We passen wiskundige technieken toe zoals differentieren (om van positie naar snelheid/versnelling
te gaan) en integreren (om uit versnelling terug naar positie te komen, of om bewegingvergelijkingen
op te lossen). Bij ingewikkelde bewegingen die niet analytisch oplosbaar zijn, gebruiken we numerieke
methodes. Een voorbeeld is de Eulermethode voor het iteratief oplossen van bewegingsvergelijkingen:
vanaf bekende toestand (x(t), v(t)) na een kleine tijdstap ∆t benaderen we v(t + ∆t) ≈ v(t) + a(t) ∆t en
x(t + ∆t) ≈ x(t) + v(t) ∆t. Dit is een eenvoudige integratietechniek om trajecten te voorspellen wanneer a(t)
bekend is.
1
, **Veelvoorkomende valkuilen:** Bij vectoren in polaire of roterende coördinaten vergeet men soms de
veranderingen van de eenheidsvectoren mee te nemen. In inertiële frames is dat niet nodig. Zorg verder
altijd voor consistente eenheden (bijv. SI-eenheden: m, s, kg, N).
1.2 Kinematica van een puntmassa (H5)
De kinematica beschrijft de beweging zónder te kijken naar de oorzaken (krachten). Een puntmassa is een
object waarvan de afmetingen verwaarloosbaar zijn, zodat alle massa in één punt zit. De beweging wordt
gegeven door de positievector r(t) als functie van de tijd t.
De snelheidsvector is de eerste afgeleide: v(t) = dr dt , en de versnellingsvector de tweede afgeleide:
d2 r
a(t) = dv
dt = dt2 . In een vast (x, y)-assenstelsel betekent dit v = ẋ i + ẏ j en a = ẍ i + ÿ j (punten boven de
variabelen geven tijdafgeleiden aan). Deze componentgewijze differentiatie is geldig omdat i, j constant zijn.
In pool- of cilindercoördinaten (in het vlak vaak aangeduid met (ρ, ϕ) waarbij ρ de afstand tot de
oorsprong is en ϕ de hoek) veranderen de lokale basisvectoren ρ̂, ϕ̂ mee met de draaiing. Voor de snelheid
en versnelling van een puntmassa A geldt:
vA = ρ̇A ρ̂ + ρA ϕ̇A ϕ̂,
aA = (ρ̈A − ρA ϕ̇2A ) ρ̂ + (ρA ϕ̈A + 2ρ̇A ϕ̇A ) ϕ̂.
d d
Deze bekende formule komt tot stand door de eenheidsvectoren te differentiëren: dt ρ̂ = ϕ̇ ϕ̂ en dt ϕ̂ = −ϕ̇ ρ̂.
Een alternatieve beschrijving voor kromlijnige beweging is via baancoördinaten langs het traject
(normaal-tangentieel): de snelheid v = ∥v∥ en richting langs de baan t̂ (raaksrichting) en normaalrich-
ting n̂ (wijst naar het middelpunt van kromming). Versnelling heeft componenten at langs de baan en an
2
normaal erop. Er geldt at = v̇ (verandering in grootte van de snelheid) en an = vR waarbij R de lokale krom-
testraal is. De versnelling a = at t̂ + an n̂. Vaak is an = v 2 /ρ (hier niet te verwarren ρ met poolcoördinaat,
in dit geval de kromtestraal). Deze formulering is handig om bijv. de centripetale versnelling in een bocht
te identificeren.
Naast het differentiëren van gegeven bewegingsfuncties, komt het ook voor dat men relaties tussen bewe-
gingsgrootheden heeft via verbindingsvergelijkingen. Bijvoorbeeld als twee puntmassa’s verbonden zijn
met een stang of touw, of als een wiel rolt zonder te slippen, leggen geometrische constraints een relatie
tussen coördinaten. Zo betekent “rol zonder slip” dat de afgelegde weg van het contactpunt gelijk is aan
de omtrekrotatie: vtrans = ωR (translatiesnelheid is hoeksnelheid maal straal). Zulke vergelijkingen (H5.2)
worden gebruikt om onafhankelijke coördinaten te bepalen.
**Voorbeeld (kinematica puntmassa):** Een racewagen A rijdt in het x-y vlak over een horizontale
spiraalvormige baan. De baan is in polaire coördinaten gegeven door ρA = R0 (1 + ϕA ) (een spiraal die steeds
verder van de oorsprong af draait als ϕ toeneemt), en zA = 0 (vlakke baan). De hoekpositie ϕA (t) neemt
toe terwijl de auto versnelt. Stel dat de hoeksnelheid toeneemt lineair in de tijd: ϕ̈A (t) = c0 t (rad/s2 ) met
beginvoorwaarden ϕA (0) = 0, ϕ̇A (0) = 0. We kunnen dan:
Rt Rt
• ϕA (t) bepalen door tweemaal te integreren: ϕ̇A (t) = 0 c0 τ dτ = 21 c0 t2 ; vervolgens ϕA (t) = 0 12 c0 τ 2 dτ =
1 3
6 c0 t .
• De radiale afstand ρA (t) = R0 (1 + ϕA (t)) = R0 1 + 16 c0 t3 . Vervolgens zijn de radiale snelheid en
versnelling: ρ̇A (t) = R0 · 21 c0 t2 , ρ̈A (t) = R0 c0 t. De hoeksnelheid en -versnelling hebben we: ϕ̇A (t) =
1 2
2 c0 t , ϕ̈A (t) = c0 t.
• Met de polaire formule berekenen we de versnelling:
aA,ρ (t) = ρ̈A − ρA ϕ̇2A , aA,ϕ (t) = ρA ϕ̈A + 2ρ̇A ϕ̇A .
Ingevuld wordt dat hier:
2
1 1 2
aA,ρ (t) = R0 c0 t − R0 1 + c0 t3 c0 t ,
6 2
2
,
1 1 1 2
aA,ϕ (t) = R0 1 + c0 t3 c0 t + 2 R0 c0 t2 c0 t .
6 2 2
We kunnen de uitdrukkingen vereenvoudigen. Een interessante vraag is: op welk tijdstip t = tc > 0
wordt de radiale versnelling aA,ρ nul? Dat betekent dat de centripetale term ρϕ̇2 gelijk wordt aan
de uitwaartse term ρ̈. Hier moeten we aA,ρ (tc ) = 0 oplossen; analytisch is dat een hogeregraads
vergelijking, maar conceptueel betekent het dat vanaf tc de auto zo snel draait dat hij net niet meer
verder van O af hoeft te bewegen om de kromming bij te houden.
**Veelvoorkomende valkuilen:** In kinematica vergeet men soms randvoorwaarden of integratieconstan-
ten bij integreren (zoals beginpositie of -snelheid). Controleer je oplossingen door t = 0 in te vullen. Bij
polaire formules wordt regelmatig het − ρϕ̇2 -term verkeerd van teken genomen of de Coriolis-term 2ρ̇ϕ̇ over
het hoofd gezien. Ook is het belangrijk een consistent assenstelsel te kiezen en daarbij te blijven (niet
halverwege x, y en ρ, ϕ door elkaar halen zonder transformatie).
1.3 Kinetica van een puntmassa (H6)
De kinetica behandelt de krachten die op een lichaam werken en de effecte daarvan op de beweging. Voor
een puntmassa geldt de Tweede Wet van Newton:
X
F = ma.
De som van alle werkende krachten (vectorieelP opgeteld) is
Pgelijk aan de massa m maal de versnelling
a van de puntmassa. In componenten: Fx = max en Fy = may in een vlakprobleem. Dit is de
bewegingsvergelijking (EOM) van de puntmassa.
Om dit praktisch toe te passen, tekenen we eerst een vrije-lichaam-diagram (free-body diagram) van
de puntmassa: teken het punt en alle krachten die erop aangrijpen, met hun richtingen. Typische krachten
2
zijn zwaartekracht Fg = mg (met g meestal 9, 81 m/s omlaag gericht), normaal- of ondersteuningskrachten
(loodrecht op oppervlakken), wrijvingskrachten (evenwijdig aan oppervlakken, Fw = µN in grootte bij
coulombwrijving), veerkrachten P (Fv = k∆x in de veerrichting), enz. Nadat alle relevante krachten zijn
geı̈nventariseerd, stellen we F = ma op in elke onafhankelijke richting. Vaak kiezen we assen langs de
bewegingsrichting (bijv. langs een helling of langs een touw) zodat één vergelijking direct de versnelling langs
die as geeft.
De bewegingsvergelijking kan een differentiaalvergelijking zijn als de kracht afhangt van de positie of
snelheid. Bijvoorbeeld een luchtweerstand Flucht = cd v 2 leidt tot mẍ = −cd ẋ2 die we moeten oplossen voor
x(t). In eenvoudiger gevallen is a constant en integreren we direct (met de formule x(t) = x0 + v0 t + 12 at2
enz.). H6.5-6.11 behandelde technieken om zulke EOM’s op te stellen en op te lossen.
Bij sommige problemen is het assenstelsel zelf bewegend of roterend. In een niet-inertieel referentie-
systeem (bijv. een trein die versnelt of een draaiend platform) gelden schijnkrachten. Voor een waarnemer
in zo’n versnellend systeem lijkt het namelijk of Newton niet klopt tenzij men aanvullende (fictieve) krach-
ten invoert: bij lineaire versnelling een fictieve tegenverkracht −maframe , en bij rotatie de Corioliskracht
2mΩ × vrel en centrifugale kracht mΩ × (Ω × r). In deze cursus is meestal het standpunt: werk in een in-
ertieel stelsel (zoals de grond) zodat je deze fictieve krachten niet hoeft te gebruiken. Als het probleem toch
gedeeltelijk vanuit een bewegend stelsel bekeken wordt (zie bijv. het voorbeeld hieronder), kun je gebruik
maken van relatieve P snelheid/versnellingformules, maar uiteindelijk moet je voor de dynamica een inertieel
stelsel kiezen om F = ma toe te passen.
**Voorbeeld:** Een bal A beweegt over het dek van een schip (punt B is een punt op het schip, bijv.
het beginpunt). Voor de kapitein op het schip (niet-inertieel, roterend met de aardrotatie van het schip of
draaiing van het schip) heeft de bal een bepaalde relatieve snelheid (vA )xyz . Voor de havenmeester op de kade
(inertieel stelsel XYZ) heeft de bal een absolute snelheid vA . Er geldt bijvoorbeeld vA = vB +Ω×(rA −rB ),
waarbij Ω de hoeksnelheidvector is van het bewegende dek (Ω = dϕschip /dt in k-richting). Dit is een van
de relatieve bewegingsformules (hier zonder Coriolis omdat aA,rel = 0 gegeven was en Ω constant). Als we
de dynamica van de bal willen bepalen (bijv. welke krachten nodig P zijn voor een bepaalde baan), is het
eenvoudiger vanuit de kade (IRS) te redeneren, zodat we direct F = ma kunnen toepassen op de bal.
**Veelvoorkomende valkuilen:** Vergeet niet om alle krachten in het vrije-lichaam-diagram op te nemen.
Reaktiekrachten bij verbindingen (zoals spankracht in een touw, normaalkracht op een steunpunt) zijn vaak
3
, onbekend en moeten als onbekende in de vergelijkingen. Bepaal de richting van wrijving correct (tegen de
bewegingsrichting in). Pas op met tekenkeuze: als je a als positieve richting naar rechts neemt, moet een
kracht die naar links werkt negatief in de vergelijking. Werk consequent met een assenstelsel. Tot slot:
Newton’s wet geldt alleen direct in inertiële stelsels. Als een opgave in een roterend of versnellend stelsel
zich afspeelt, moet je óf corrigeren met fictieve krachten, óf (aan te raden) de beweging eerst herleiden tot
een inertieel stelsel.
1.4 Vrije trillingen van een puntmassa (H13.1-13.2)
Een trilling is een beweging rond een evenwichtsstand. Bij vrije trillingen is er na een beginuitwijking
geen voortdurende aandrijving; de beweging wordt bepaald door de begincondities en de eigen dynamica van
het systeem. We beschouwen eerst een ongedempte, vrije trilling van een puntmassa.
Neem een puntmassa m die met een veer (veerconstante k) verbonden is aan een vast punt en kan
bewegen zonder wrijving. De evenwichtspositie is waar de veerkracht k∆x precies in evenwicht is met
eventuele andere krachten (bijv. zwaartekracht, hoewel vaak horizontale opstelling wordt genomen zonder
zwaartekrachtwerking in de bewegingsrichting). Verplaats de massa een stukje x uit evenwichtP en laat los:
de massa gaat harmonisch trillen. De bewegingsvergelijking komt uit Newton of energie: F = mẍ. Hier
is de enige kracht (terug naar evenwicht) de veerkracht F = −kx (negatief want tegengesteld aan uitwijking
richting). Dus mẍ + kx = 0. Dit is de differentiaalvergelijking van een harmonische oscillator. q
k
De oplossing is een harmonische functie: x(t) = A cos(ωn t) + B sin(ωn t), waarbij ωn = m de
natuurlijke hoekfrequentie (in rad/s) is. Men schrijft de oplossing ook vaak als x(t) = C cos(ωn t − ϕ) of
x(t) = X0 cos(ωn t + φ), met X0 de amplitude en φ een faseverschuiving, afhankelijk van beginvoorwaarden.
De bijbehorende trillingperiode is T = ω2πn en frequentie f = T1 = ω2πn .
De snelheid en versnelling zijn eveneens sinusvormig, bijvoorbeeld v(t) = −ωn X0 sin(ωn t + φ) en a(t) =
−ωn2 X0 cos(ωn t + φ). We zien dat de versnelling altijd evenredig is met de uitwijking maar tegengesteld,
zoals ook in de EOM zichtbaar was.
In meer algemeenheid: elke vrije ongedempte trilling van een lineair systeem (puntmassa met lineaire
veer) is harmonisch met de eigenfrequentie ωn . De amplitude hangt af van de beginuitwijking en -snelheid,
maar de frequentie niet (voor lineaire systemen is de frequentie onafhankelijk van amplitudes, in tegenstelling
tot bijv. grote hoeken van een slinger die niet meer lineair is).
**Veelvoorkomende valkuilen:** Zorg dat je de uitwijking x meet vanaf de juiste evenwichtspositie. Als
de evenwichtsstand niet bij x = 0 ligt, moet je een variabeleverandering doen (xrel = x − xevenwicht ) zodat de
EOM de juiste vorm mẍrel + kxrel = 0 krijgt. Vergeet niet dat ωn in rad/s is; om naar Hz om te zetten moet
je delen door 2π. Ten slotte, wees bewust dat deze formules gelden voor kleine lineaire trillingen. Voorbeeld:
een pendel p(zwaaiende massa aan een touw) gedraagt zich alleen voor kleine hoeken als mθ̈ + (mg/L)θ = 0
(dus ωn = g/L); bij grotere hoeken is de beweging niet meer precies sinusvormig en ω hangt dan wel van
amplitude af.
1.5 Gedempte en aangedreven trillingen (H13.3-13.4)
In realiteit is er vaak demping aanwezig (energieverlies door wrijving, luchtweerstand, enz.), en kunnen
trillingen ook aangedreven worden door een externe periodieke kracht. De algemene EOM voor een lineair
gedempte trilling met externe kracht is:
mẍ + cẋ + kx = F0 cos(ωin t),
waar c de dempingsconstante is (in Ns/m) en F0 cos(ωin t) een harmonische aandrijfkracht met amplitude F0
en frequentie ωin .
**Vrij gedempt (geen aandrijving):** √ de EOM mẍ + cẋ + kx = 0 heeft karakteristieke vergelijking
−c± c2 −4mk
2
mr + cr + k = 0 met oplossingen r = 2m . Definieer de dempingsratio ζ = 2√cmk en natuurlijke
p
frequentie ωn = k/m zoals ongedempt geval. Dan krijgen we drie regimes: - Onderkritisch gedempt (ζ < 1,
√ p
dus c < 2 mk): er ontstaan twee complexe oplossingen r = −ζωn ± i ωd , met ωd = ωn 1 − ζ 2 de gedempte
trillingsfrequentie. De oplossing in de tijd is een gedempte trilling:
x(t) = X0 e−ζωn t cos(ωd t + φ).
4
