Signalen en Systemen 2 samenvatting 2de Bach 2de semester
Inhoud
Hfst 1
1. Wat is een signaal ........................................................................................................................... 2
1.1 Definitie ..................................................................................................................................... 2
1.2 Classificatie en eigenschappen.................................................................................................. 2
1.3 Basissignalen ............................................................................................................................ 3
1.4 Bewerkingen op signalen ........................................................................................................... 3
2. Wat is een systeem ......................................................................................................................... 4
2.1 Definitie ..................................................................................................................................... 4
2.2 Classificatie en eigenschappen van systemen ........................................................................... 4
Hfst 2
2.1 Inleiding ......................................................................................................................................... 6
2.2 Impulsantwoord en convolutie ....................................................................................................... 6
2.3 Relatie impulsantwoord en stabiliteit.............................................................................................. 7
2.4 Relatie impulsantwoord en stapantwoord ...................................................................................... 7
Simulatie van dynamische systemen in discrete tijd ............................................................................ 7
Hfst 4
4.1 Inleiding ......................................................................................................................................... 8
4.2 Definities ....................................................................................................................................... 8
4.3 Convergentiegebied ...................................................................................................................... 9
4.4 Voorbeelden en eigenschappen .................................................................................................... 9
4.5 Inverse Z-transformatie ................................................................................................................. 9
4.6 De systeemfunctie ....................................................................................................................... 10
4.7 Relatie tussen de systeemfunctie en de differentievergelijking .................................................... 10
4.8 Relatie tussen z en s ................................................................................................................... 11
4.9 De unilaterale Z-transformatie ..................................................................................................... 11
Hfst 6
6.1 Fourieranalyse van periodieke signalen in discrete tijd (DTFS) ................................................... 12
6.2 Fourieranalyse van niet-periodieke signalen in discrete tijd (DTFT) ............................................. 13
6.3 Fourieranalyse van systemen in discrete tijd (frequentieantwoord) .............................................. 13
Hfst 7
7.1 Inleiding ....................................................................................................................................... 14
7.2 Het concept ‘toestand’ ................................................................................................................. 14
7.3 Schrijfwijze voor discrete LTI-systemen....................................................................................... 14
7.4 Schrijfwijze voor continue LTI-systemen...................................................................................... 15
7.5 Oplossingen van de toestandsvergelijkingen in discrete tijd ........................................................ 16
7.6 Oplossingen van analyse in het toestandsdomein in continue tijd ............................................... 16
7.7 Enkele praktische toepassingsvoorbeelden ................................................................................. 17
Hfst 8
8.1 Inleiding ....................................................................................................................................... 18
8.2 Stochastische processen............................................................................................................. 18
8.3 Statistiek van stochastische processen ....................................................................................... 19
8.4 Tijdsinvariantie van random signalen (stationaire signalen) ......................................................... 20
8.5 Tijdsgemiddelden en ergodiciteit ................................................................................................. 20
Samenvatting termen ........................................................................................................................ 22
Een hele hoop vragen en antwoorden ........................................................................................... 23
Multiple choice ............................................................................................................................... 23
Open vragen .................................................................................................................................. 27
Bissers - 2019 1ste zit .............................................................................................................. 27
Processie van Echternach .......................................................................................................... 28
DFT van éénmalige sequentie zoeken ....................................................................................... 30
Pretparkkaartjes 2014-2015 ..................................................................................................... 31
Verkoop handboek SISY 2011-2012 ........................................................................................ 33
Proefmuizen 2007-2008 .......................................................................................................... 34
X[n] {0 2 0 2 0 2} gegeven 2013-2014 a) x[n] = [(-1)n+1] * u[n] ............................................... 35
Overige open vragen .................................................................................................................. 36
Formularium sisy2 ............................................................................................................................. 38
1
,Signalen en Systemen 2 samenvatting 2de Bach 2de semester
Hoofdstuk 1 (deel discrete signalen):
Definities en Classificaties van Signalen en Systemen
1. Wat is een signaal
1.1 Definitie
Voorbeelden: wisselspanningssignaal, geluidssignaal, hartslag, informatieoverdracht, …
‘Alles in functie van iets’
Een signaal is een functie die het verloop van een verschijnsel (b.v. een fysieke grootheid of een
variabele) voorstelt, gerelateerd aan een (of meerdere) onafhankelijke variabele(n) (b.v. tijd, ruimte,
frequentie, ...). Deze functie bevat informatie over de aard en/of het gedrag van het verschijnsel.
In deze cursus worden alleen 1-dimensionale signalen behandeld: functies met 1 onafhankelijke
variabele.
1.2 Classificatie en eigenschappen
Soorten signalen:
Continu/discreet, analoog/digitaal, reëel/complex, (niet-)periodiek, even/oneven,
deterministisch/random, energiesignaal/vermogenssignaal
Continu signaal: x(t) is continu als de onafhankelijke variabele een continue veranderlijke is.
Discreet signaal: x[n] is discreet als de onafhankelijke variabele een discrete veranderlijke is.
Bv. door sampling (n is een geheel getal, t een reëel getal)
Analoog signaal: de signaalwaarde is een reëel getal binnen een interval [a,b] (a en b kunnen ∞ zijn)
Digitaal signaal: de signaalwaarde is een geheel getal.
Continu-discreet en analoog-digitaal niet verwarren! Continu = horizontale as, analoog = verticale
Reëel signaal: de signaalwaarde is een reëel getal
Complex signaal: de signaalwaarde is een complex getal:
j² = -1
Deterministisch s: waarden zijn volledig gekend voor elke waarde van de onafhankelijke veranderlijke
Random signaal: (=stochastisch) Verloop niet op voorhand gekend: kan alleen statisch beschreven
worden. Bv. ruis.
Even signaal: x(t) = x(-t) spiegelbaar rond verticale as
Oneven signaal: x(t) = - x(-t) spiegelbaar rond de oorsprong
: elk signaal x() kan geschreven worden als som
van een even en een oneven signaal
Periodiek signaal: x(t) = x(t+T), ∀t
Niet-periodiek s: Geen periode te vinden, bv. door de som van sommige(!) 2 periodieke signalen.
Opdat de som van 2 periodieke signalen ook periodiek is moet T1/T2 rationaal zijn. Periode is KGV.
Merk op: som van 2 discrete periodieke functies zal altijd periodiek zijn (verhouding altijd rationaal).
en enkel dan periodiek
2
, Signalen en Systemen 2 samenvatting 2de Bach 2de semester
Energie en vermogen in discrete tijd:
De energie = opp onder grafiek Vermogen = gemiddelde van gekwadrateerd signaal
Energiesignaal: het signaal heeft een eindige energie: (0<E<+∞)
Vermogenssignaal: het signaal heeft een eindig vermogen: (0<P<+∞)
Het vermogen van een energiesignaal bedraagt 0. De energie van een vermogenssignaal is +∞.
Periodieke signalen worden vermogenssignalen genoemd als de energie per periode eindig is
(vermogen berekend per periode.)
Een signaal kan ook noch energiesignaal, noch vermogenssignaal zijn.
1.3 Basissignalen
Eenheidsstapfunctie/Heaviside-functie
In discrete tijd is u[0] gedefinieerd, in continue tijd is u(0) niet gedefinieerd!
Eenheidsimpulsfunctie/Diracfunctie/Dirac-impuls/deltafunctie
! dus niet oneindig op n=0, zoals in continue tijd bij t=0 wel is
Voorbeelden van andere signalen in discrete tijd
Complex exponentieel: x[n] = 𝑒 = cos Ω0n + j sin Ω0n (periodiek als Ω0/2π = rationaal)
Sinusoïdaal: x[n]= A cos(Ω0n + ϴ)
1.4 Bewerkingen op signalen
Bewerkingen op signalen (op de afhankelijke veranderlijke)
Amplitudeschaling y[n] = c x[n]
Sommeren
Vermenigvuldigen
Afleiden
Integreren
Bewerkingen op de onafhankelijke veranderlijke (n of t)
Tijdsschaling: y[n] = x[a*n] (a<1: horizontale uitrekking, a>1: inkrimping, compressie)
Reflectie: y[n]= x[-n] (spiegelen om verticale as)
Tijdverschuiving: y[n] = x[n-n0] (n0>0: naar rechts)
Voorbeeld: x(2-t) = x(-(t-2)): Eerst spiegelen, dan verschuiven naar rechts!
3
Inhoud
Hfst 1
1. Wat is een signaal ........................................................................................................................... 2
1.1 Definitie ..................................................................................................................................... 2
1.2 Classificatie en eigenschappen.................................................................................................. 2
1.3 Basissignalen ............................................................................................................................ 3
1.4 Bewerkingen op signalen ........................................................................................................... 3
2. Wat is een systeem ......................................................................................................................... 4
2.1 Definitie ..................................................................................................................................... 4
2.2 Classificatie en eigenschappen van systemen ........................................................................... 4
Hfst 2
2.1 Inleiding ......................................................................................................................................... 6
2.2 Impulsantwoord en convolutie ....................................................................................................... 6
2.3 Relatie impulsantwoord en stabiliteit.............................................................................................. 7
2.4 Relatie impulsantwoord en stapantwoord ...................................................................................... 7
Simulatie van dynamische systemen in discrete tijd ............................................................................ 7
Hfst 4
4.1 Inleiding ......................................................................................................................................... 8
4.2 Definities ....................................................................................................................................... 8
4.3 Convergentiegebied ...................................................................................................................... 9
4.4 Voorbeelden en eigenschappen .................................................................................................... 9
4.5 Inverse Z-transformatie ................................................................................................................. 9
4.6 De systeemfunctie ....................................................................................................................... 10
4.7 Relatie tussen de systeemfunctie en de differentievergelijking .................................................... 10
4.8 Relatie tussen z en s ................................................................................................................... 11
4.9 De unilaterale Z-transformatie ..................................................................................................... 11
Hfst 6
6.1 Fourieranalyse van periodieke signalen in discrete tijd (DTFS) ................................................... 12
6.2 Fourieranalyse van niet-periodieke signalen in discrete tijd (DTFT) ............................................. 13
6.3 Fourieranalyse van systemen in discrete tijd (frequentieantwoord) .............................................. 13
Hfst 7
7.1 Inleiding ....................................................................................................................................... 14
7.2 Het concept ‘toestand’ ................................................................................................................. 14
7.3 Schrijfwijze voor discrete LTI-systemen....................................................................................... 14
7.4 Schrijfwijze voor continue LTI-systemen...................................................................................... 15
7.5 Oplossingen van de toestandsvergelijkingen in discrete tijd ........................................................ 16
7.6 Oplossingen van analyse in het toestandsdomein in continue tijd ............................................... 16
7.7 Enkele praktische toepassingsvoorbeelden ................................................................................. 17
Hfst 8
8.1 Inleiding ....................................................................................................................................... 18
8.2 Stochastische processen............................................................................................................. 18
8.3 Statistiek van stochastische processen ....................................................................................... 19
8.4 Tijdsinvariantie van random signalen (stationaire signalen) ......................................................... 20
8.5 Tijdsgemiddelden en ergodiciteit ................................................................................................. 20
Samenvatting termen ........................................................................................................................ 22
Een hele hoop vragen en antwoorden ........................................................................................... 23
Multiple choice ............................................................................................................................... 23
Open vragen .................................................................................................................................. 27
Bissers - 2019 1ste zit .............................................................................................................. 27
Processie van Echternach .......................................................................................................... 28
DFT van éénmalige sequentie zoeken ....................................................................................... 30
Pretparkkaartjes 2014-2015 ..................................................................................................... 31
Verkoop handboek SISY 2011-2012 ........................................................................................ 33
Proefmuizen 2007-2008 .......................................................................................................... 34
X[n] {0 2 0 2 0 2} gegeven 2013-2014 a) x[n] = [(-1)n+1] * u[n] ............................................... 35
Overige open vragen .................................................................................................................. 36
Formularium sisy2 ............................................................................................................................. 38
1
,Signalen en Systemen 2 samenvatting 2de Bach 2de semester
Hoofdstuk 1 (deel discrete signalen):
Definities en Classificaties van Signalen en Systemen
1. Wat is een signaal
1.1 Definitie
Voorbeelden: wisselspanningssignaal, geluidssignaal, hartslag, informatieoverdracht, …
‘Alles in functie van iets’
Een signaal is een functie die het verloop van een verschijnsel (b.v. een fysieke grootheid of een
variabele) voorstelt, gerelateerd aan een (of meerdere) onafhankelijke variabele(n) (b.v. tijd, ruimte,
frequentie, ...). Deze functie bevat informatie over de aard en/of het gedrag van het verschijnsel.
In deze cursus worden alleen 1-dimensionale signalen behandeld: functies met 1 onafhankelijke
variabele.
1.2 Classificatie en eigenschappen
Soorten signalen:
Continu/discreet, analoog/digitaal, reëel/complex, (niet-)periodiek, even/oneven,
deterministisch/random, energiesignaal/vermogenssignaal
Continu signaal: x(t) is continu als de onafhankelijke variabele een continue veranderlijke is.
Discreet signaal: x[n] is discreet als de onafhankelijke variabele een discrete veranderlijke is.
Bv. door sampling (n is een geheel getal, t een reëel getal)
Analoog signaal: de signaalwaarde is een reëel getal binnen een interval [a,b] (a en b kunnen ∞ zijn)
Digitaal signaal: de signaalwaarde is een geheel getal.
Continu-discreet en analoog-digitaal niet verwarren! Continu = horizontale as, analoog = verticale
Reëel signaal: de signaalwaarde is een reëel getal
Complex signaal: de signaalwaarde is een complex getal:
j² = -1
Deterministisch s: waarden zijn volledig gekend voor elke waarde van de onafhankelijke veranderlijke
Random signaal: (=stochastisch) Verloop niet op voorhand gekend: kan alleen statisch beschreven
worden. Bv. ruis.
Even signaal: x(t) = x(-t) spiegelbaar rond verticale as
Oneven signaal: x(t) = - x(-t) spiegelbaar rond de oorsprong
: elk signaal x() kan geschreven worden als som
van een even en een oneven signaal
Periodiek signaal: x(t) = x(t+T), ∀t
Niet-periodiek s: Geen periode te vinden, bv. door de som van sommige(!) 2 periodieke signalen.
Opdat de som van 2 periodieke signalen ook periodiek is moet T1/T2 rationaal zijn. Periode is KGV.
Merk op: som van 2 discrete periodieke functies zal altijd periodiek zijn (verhouding altijd rationaal).
en enkel dan periodiek
2
, Signalen en Systemen 2 samenvatting 2de Bach 2de semester
Energie en vermogen in discrete tijd:
De energie = opp onder grafiek Vermogen = gemiddelde van gekwadrateerd signaal
Energiesignaal: het signaal heeft een eindige energie: (0<E<+∞)
Vermogenssignaal: het signaal heeft een eindig vermogen: (0<P<+∞)
Het vermogen van een energiesignaal bedraagt 0. De energie van een vermogenssignaal is +∞.
Periodieke signalen worden vermogenssignalen genoemd als de energie per periode eindig is
(vermogen berekend per periode.)
Een signaal kan ook noch energiesignaal, noch vermogenssignaal zijn.
1.3 Basissignalen
Eenheidsstapfunctie/Heaviside-functie
In discrete tijd is u[0] gedefinieerd, in continue tijd is u(0) niet gedefinieerd!
Eenheidsimpulsfunctie/Diracfunctie/Dirac-impuls/deltafunctie
! dus niet oneindig op n=0, zoals in continue tijd bij t=0 wel is
Voorbeelden van andere signalen in discrete tijd
Complex exponentieel: x[n] = 𝑒 = cos Ω0n + j sin Ω0n (periodiek als Ω0/2π = rationaal)
Sinusoïdaal: x[n]= A cos(Ω0n + ϴ)
1.4 Bewerkingen op signalen
Bewerkingen op signalen (op de afhankelijke veranderlijke)
Amplitudeschaling y[n] = c x[n]
Sommeren
Vermenigvuldigen
Afleiden
Integreren
Bewerkingen op de onafhankelijke veranderlijke (n of t)
Tijdsschaling: y[n] = x[a*n] (a<1: horizontale uitrekking, a>1: inkrimping, compressie)
Reflectie: y[n]= x[-n] (spiegelen om verticale as)
Tijdverschuiving: y[n] = x[n-n0] (n0>0: naar rechts)
Voorbeeld: x(2-t) = x(-(t-2)): Eerst spiegelen, dan verschuiven naar rechts!
3
