2 .
Die Kor
per Axiom
I .
Axiome der Addition
CAD Fier alle IR
Assoziativgesetz : x,y, z E
gilt
( X t
y) t 2 =
X t Cy t 2)
(A. 2) kommutativgesetz : Fir alle x , y E IR gilt
X t
y y t x
=
(A -
3) Existence der Null : Es
gibt eine Zahl O E IR , so dass
X t O = x Air alle X EIR
CA .
4) Existent des Negatives : Zu
jedem X EIR existiert eine Zahl -
X E IR ,
so dass
X t C
-
x ) =
O
II. Axiome der Multiplication
( M 1) .
Assoziativgesetz : Fitr alle x
, y, z E IR
gilt
(Xy) 2 =
X (yz)
(M .
2) Kommutativgesetz : Fier alle x
, y E IR
gilt
xy
=
y x
( M 3) Existent E ins Es ein Element I EIR l F O
-
der :
gibt , ,
so class
X I . =
x fir alle X E IR
(M 4) Existence des Inverses Zu jedem EIR
- '
E IR
: X Mit x to
gibt es ein x so dass
.
,
I
XX I
-
=
Ill .
Distributingesetz
(D) Fiir alle x
, y ,
2 E IR
gilt Xcyt 2) =
xytxz
, 3.
Anordnwngs Axiome
-
Anordnungs -
Axiome : In IR sind gewisse Element Als positiv Ausgleich net (x > o), so class folgende Axiom erhiutsind
(O D -
Triano tomie : Fir
je
des x
gilt genome eine der drei Beziehungen
X > 0 X =
O -
X > O
, ,
( O 2) Addition
.
Abgeschwssenheit gegeniiber
x > O und y > o x t
y > o
( O 3)
-
Abgeschwssenheit gegen iiber Multiplication
X > O und > O > 0
y xy
Definition :( Groper -
and Kleiner -
Relational) Fir reel le Zahler x , y detiniert man
x >
y x y > O
: -
X C
y > o
:
x
y
-
X 3 x > coder y
y y x
: =
x E
y
: x s
y oder x =
Y
Peano Axiom
-
(P D .
X * y V Cx) t v Cy) , d. h . Zwei verschiedene Element von N haben Auch verschiedene Nach folger
(P 2) O E V) H hat
.
v
,
d h - .
Kein Element von O als NaOh
folger
(P -
3) Inductions Axiom -
Sei M CH eine Teil
menge mit folgender Eigen Schatten
i) O E M
it) M vcx) M Dann M N
X E E
gilt
=
Satz l Der Absolut Betray IR hat folgender
:
in
Eigenschatten
-
a) Es ist 1×130 fir alle X E IR und
1×1 = 0 ⇐ x =
O
b) Multiple Kali Vita't
'
Ix yl =
txt .
ly I fir alle X , y EIR
c) Dreiedcs Ungleichung -
Ix t
yl E 1×1 t ly I fiir alle x, y EIR
Archi Medi sche Axiom :( Arch) Zu zwei reellen Zahler > O existent eine natiirliche Zahl mit
je x, y n nx > y
-
Satz 2 : ( Bernoulli scene
Unguichung) Sei x 3 I damn gilt
-
,
(I -
XY 3 It nx fir alle n E IN
Die Kor
per Axiom
I .
Axiome der Addition
CAD Fier alle IR
Assoziativgesetz : x,y, z E
gilt
( X t
y) t 2 =
X t Cy t 2)
(A. 2) kommutativgesetz : Fir alle x , y E IR gilt
X t
y y t x
=
(A -
3) Existence der Null : Es
gibt eine Zahl O E IR , so dass
X t O = x Air alle X EIR
CA .
4) Existent des Negatives : Zu
jedem X EIR existiert eine Zahl -
X E IR ,
so dass
X t C
-
x ) =
O
II. Axiome der Multiplication
( M 1) .
Assoziativgesetz : Fitr alle x
, y, z E IR
gilt
(Xy) 2 =
X (yz)
(M .
2) Kommutativgesetz : Fier alle x
, y E IR
gilt
xy
=
y x
( M 3) Existent E ins Es ein Element I EIR l F O
-
der :
gibt , ,
so class
X I . =
x fir alle X E IR
(M 4) Existence des Inverses Zu jedem EIR
- '
E IR
: X Mit x to
gibt es ein x so dass
.
,
I
XX I
-
=
Ill .
Distributingesetz
(D) Fiir alle x
, y ,
2 E IR
gilt Xcyt 2) =
xytxz
, 3.
Anordnwngs Axiome
-
Anordnungs -
Axiome : In IR sind gewisse Element Als positiv Ausgleich net (x > o), so class folgende Axiom erhiutsind
(O D -
Triano tomie : Fir
je
des x
gilt genome eine der drei Beziehungen
X > 0 X =
O -
X > O
, ,
( O 2) Addition
.
Abgeschwssenheit gegeniiber
x > O und y > o x t
y > o
( O 3)
-
Abgeschwssenheit gegen iiber Multiplication
X > O und > O > 0
y xy
Definition :( Groper -
and Kleiner -
Relational) Fir reel le Zahler x , y detiniert man
x >
y x y > O
: -
X C
y > o
:
x
y
-
X 3 x > coder y
y y x
: =
x E
y
: x s
y oder x =
Y
Peano Axiom
-
(P D .
X * y V Cx) t v Cy) , d. h . Zwei verschiedene Element von N haben Auch verschiedene Nach folger
(P 2) O E V) H hat
.
v
,
d h - .
Kein Element von O als NaOh
folger
(P -
3) Inductions Axiom -
Sei M CH eine Teil
menge mit folgender Eigen Schatten
i) O E M
it) M vcx) M Dann M N
X E E
gilt
=
Satz l Der Absolut Betray IR hat folgender
:
in
Eigenschatten
-
a) Es ist 1×130 fir alle X E IR und
1×1 = 0 ⇐ x =
O
b) Multiple Kali Vita't
'
Ix yl =
txt .
ly I fir alle X , y EIR
c) Dreiedcs Ungleichung -
Ix t
yl E 1×1 t ly I fiir alle x, y EIR
Archi Medi sche Axiom :( Arch) Zu zwei reellen Zahler > O existent eine natiirliche Zahl mit
je x, y n nx > y
-
Satz 2 : ( Bernoulli scene
Unguichung) Sei x 3 I damn gilt
-
,
(I -
XY 3 It nx fir alle n E IN
