WPO – Assistent Femke Legroux & Idhuna Degryse
STATISTIEK III: UNIVARIATE DATA-ANALYSE
1. Z-TOETS & POWER
1.1 Significantietoetsen
4 stappen:
Formuleer de hypothesen:
1. § Nulhypothese (𝐻! )
§ Alternatieve hypothese (𝐻" )
2. Bereken de toetsingsgrootheid
Bereken de p-waarde (overschrijdingskans) voor de data
9 p-waarde
3. = het percentage dat onder de nulhypothese een minstens zo extreme waarde aanneemt als de
geobserveerde waarde.
!!! Tabel A voor Z
4. Formuleer de conclusie (APA-style!)
1.1.1 Formuleer de 𝑯𝟎 en 𝑯𝑨
𝐻! : 𝜇 = 𝜇! → geen effect/toeval
𝐻" : 𝜇 < 𝜇! → minder/kleiner
𝐻" : 𝜇 > 𝜇! → meer/hoger
𝐻" : 𝜇 ≠ 𝜇! → verschillend van; hier moet je nog iets mee doen!
1.1.2 Bereken de toetsingsgrootheid
%̅ ( )!
Bv. 𝑧 = "
√$
1.1.3 Bereken p (overschrijdingskans) voor de data
!!! In functie van de hypothesen (kijk naar het teken).
§ Als 𝐻" : 𝜇 < 𝜇! : 𝑃[𝑧 < 𝑧*+,-./-0 ] → tabel J
§ Als 𝐻" : 𝜇 > 𝜇! : 𝑃[𝑧 > 𝑧*+,-./-0 ] → (1 – tabel)
§ Als 𝐻" : 𝜇 ≠ 𝜇! : 2 × 𝑃[𝑧 > |𝑧*+,-./-0 |] → 2 ∙ (1 − |tabel|)
1.1.4 Formuleer de conclusie (APA-style!)
§ Als p ≤ 𝛼 dan 𝐻! verwerpen (V)(VOLDOENDE bewijs tegen 𝐻! ).
“Er is VOLDOENDE bewijs/evidentie om te stellen dat … (𝐻% in eigen woorden)(𝑧 = 𝑧&'()*+), ; 𝑝 = 𝑝&'()*+), ).”
§ Als p > 𝛼 dan 𝐻! niet verwerpen (A)(ONVOLDOENDE bewijs tegen 𝐻! ).
“Er is ONVOLDOENDE bewijs/evidentie om te stellen dat … (𝐻% in eigen woorden)(𝑧 = 𝑧&'()*+), ; 𝑝 = 𝑝&'()*+), ).”
1
,!!! 𝛼 wordt altijd gegeven in de opgave.
1.2 Kritische Z-waarden
2-
Meest gebruikte waarden voor 𝑧 ∗ ;= 3
<
9 !!! Tabel D onderaan (ofwel af te leiden uit Tabel A).
1.3 Inleidende oefening
Oefening 3
Hoewel geweten is dat het intelligentiequotiënt (IQ) in de populatie normaal verdeeld is met μ = 100 en σ = 15,
zijn Jeroen en Alyson ervan overtuigd dat hun psychologiestudenten slimmer zijn. Ze nemen elk bij een
steekproef van 25 tweede BA psychologiestudenten aan de VUB intelligentietesten af. Jeroen bekomt een
gemiddelde van 106; Alyson bekomt een gemiddelde van 102. Gebruik 𝛼 = 5%.
A. Welke conclusie trekt Jeroen over de intelligentiescores van de studenten uit de tweede BA psychologie aan
de VUB?
Gegeven:
N(𝜇, 𝜎) = (100, 15) n = 25
𝑥?4 = 106 𝛼 = 5% = 0.05
Hypotheses:
𝐻! : 𝜇 = 100
𝐻" : 𝜇 > 100
Oplossing:
𝑥?4 − 𝜇 106 − 100
𝑧= 𝜎 = =2
15
√𝑛 √25
𝑝 = 𝑃(𝑍 ≥ 𝑧) = 𝑃(𝑍 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) = 1 − 0.9772 = 0.0228
𝑝 = 0.0228 < 𝛼 = 0.05
Conclusie:
Er is VOLDOENDE evidentie om te stellen dat de 2e BA psychologiestudenten aan de VUB hogere
intelligentiescores behalen dan de populatie (𝑧 = 2 ; 𝑝 = 0.0228).
2
,B. Welke conclusie trekt Alyson over de intelligentiescores van de studenten uit de tweede BA psychologie aan
de VUB?
Gegeven:
N(𝜇, 𝜎) = (100, 15) n = 25
𝑥
NNN
" = 102 𝛼 = 5% = 0.05
Hypotheses:
𝐻! : 𝜇 = 100
𝐻" : 𝜇 > 100
Oplossing:
NNN
𝑥" − 𝜇 102 − 100
𝑧= 𝜎 = = 0.67
15
√𝑛 √25
𝑝 = 𝑃(𝑍 ≥ 𝑧) = 𝑃(𝑍 ≥ 0.67) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 0.67) = 1 − 0.7486 = 0.2514
𝑝 = 0.2514 > 𝛼 = 0.05
Conclusie:
Er is ONVOLDOENDE evidentie om te stellen dat de 2e BA psychologiestudenten aan de VUB hogere
intelligentiescores behalen dan de populatie (𝑧 = 0.67 ; 𝑝 = 0.2514).
C. Bedenk 2 redenen waarom de conclusies van Jeroen en Alyson niet in overeenstemming zijn.
Jeroen Alyson
Gegeven: N(100, 15), n = 25, 𝑥?4 = 106 Gegeven: N(100, 15), n = 25, NNN
𝑥" = 102
Hypotheses: Hypotheses:
𝐻! : 𝜇 = 100 𝐻! : 𝜇 = 100
𝐻" : 𝜇 > 100 𝐻" : 𝜇 > 100
Oplossing: Oplossing:
𝑧=2 𝑧 = 0.67
𝑝 = 0.0228 < 𝛼 = 0.05 𝑝 = 0.2514 > 𝛼 = 0.05
Conclusie: Conclusie:
Er is VOLDOENDE evidentie om te stellen dat 2e Er is ONVOLDOENDE evidentie om te stellen dat 2e
BA psychologiestudenten aan de VUB hogere BA psychologiestudenten aan de VUB hogere
intelligentiescores behalen dan de populatie. intelligentiescores behalen dan de populatie.
Jeroen heeft per toeval een effect. OF Alyson heeft pech.
3
, Oefening 1
Vanuit een bezorgdheid dat de gemeenschapsscholen in Brussel lager scoren op de PISA testen in
vergelijking met het populatiegemiddelde, wordt een steekproef van 50 leerlingen uit Brusselse scholen
genomen om deze hypothese na te gaan. Hun gemiddelde score op de PISA toets is 470. Indien
je weet dat PISA scores normaal verdeeld zijn met 𝜇 = 500en 𝜎 = 100, is de bezorgdheid dat Brusselse
leerlingen in gemeenschapsscholen lager scoren dan het populatiegemiddelde terecht? (𝛼 = 1%)
Zelf maken!
CONCLUSIE: Er is geen evidentie om te veronderstellen dat Brusselse scholen slechter presteren (z = −2.12;
p = 0.017; eenzijdig).
Oefening 2
In het kader van een onderzoek rond de invloed van tegenslagen op het zelfvertrouwen, meet een
psycholoog het zelfvertrouwen van een aselecte steekproef van 35 personen die recent een ernstige
tegenslag hebben meegemaakt (bv. ontslag). De psycholoog vindt een gemiddelde van 46.1 op de
zelfvertrouwenschaal in deze steekproef. Uit eerder populatieonderzoek bij personen die niet recent een
tegenslag meemaakten, bleek dat zelfvertrouwenscores normal verdeeld zijn met 𝜇 = 50 en 𝜎 = 10. Wijkt de
gemiddelde score van zelfvertrouwen uit de steekproef “mensen met recente tegenslag” significant af van
het populatiegemiddelde van mensen zonder recente tegenslag? (𝛼 = 2%)
Zelf maken!
CONCLUSIE: Er is geen evidentie om te veronderstellen dat recente tegenslag leidt tot minder zelfvertrouwen
(z = −2.31; p = 0.021).
4
STATISTIEK III: UNIVARIATE DATA-ANALYSE
1. Z-TOETS & POWER
1.1 Significantietoetsen
4 stappen:
Formuleer de hypothesen:
1. § Nulhypothese (𝐻! )
§ Alternatieve hypothese (𝐻" )
2. Bereken de toetsingsgrootheid
Bereken de p-waarde (overschrijdingskans) voor de data
9 p-waarde
3. = het percentage dat onder de nulhypothese een minstens zo extreme waarde aanneemt als de
geobserveerde waarde.
!!! Tabel A voor Z
4. Formuleer de conclusie (APA-style!)
1.1.1 Formuleer de 𝑯𝟎 en 𝑯𝑨
𝐻! : 𝜇 = 𝜇! → geen effect/toeval
𝐻" : 𝜇 < 𝜇! → minder/kleiner
𝐻" : 𝜇 > 𝜇! → meer/hoger
𝐻" : 𝜇 ≠ 𝜇! → verschillend van; hier moet je nog iets mee doen!
1.1.2 Bereken de toetsingsgrootheid
%̅ ( )!
Bv. 𝑧 = "
√$
1.1.3 Bereken p (overschrijdingskans) voor de data
!!! In functie van de hypothesen (kijk naar het teken).
§ Als 𝐻" : 𝜇 < 𝜇! : 𝑃[𝑧 < 𝑧*+,-./-0 ] → tabel J
§ Als 𝐻" : 𝜇 > 𝜇! : 𝑃[𝑧 > 𝑧*+,-./-0 ] → (1 – tabel)
§ Als 𝐻" : 𝜇 ≠ 𝜇! : 2 × 𝑃[𝑧 > |𝑧*+,-./-0 |] → 2 ∙ (1 − |tabel|)
1.1.4 Formuleer de conclusie (APA-style!)
§ Als p ≤ 𝛼 dan 𝐻! verwerpen (V)(VOLDOENDE bewijs tegen 𝐻! ).
“Er is VOLDOENDE bewijs/evidentie om te stellen dat … (𝐻% in eigen woorden)(𝑧 = 𝑧&'()*+), ; 𝑝 = 𝑝&'()*+), ).”
§ Als p > 𝛼 dan 𝐻! niet verwerpen (A)(ONVOLDOENDE bewijs tegen 𝐻! ).
“Er is ONVOLDOENDE bewijs/evidentie om te stellen dat … (𝐻% in eigen woorden)(𝑧 = 𝑧&'()*+), ; 𝑝 = 𝑝&'()*+), ).”
1
,!!! 𝛼 wordt altijd gegeven in de opgave.
1.2 Kritische Z-waarden
2-
Meest gebruikte waarden voor 𝑧 ∗ ;= 3
<
9 !!! Tabel D onderaan (ofwel af te leiden uit Tabel A).
1.3 Inleidende oefening
Oefening 3
Hoewel geweten is dat het intelligentiequotiënt (IQ) in de populatie normaal verdeeld is met μ = 100 en σ = 15,
zijn Jeroen en Alyson ervan overtuigd dat hun psychologiestudenten slimmer zijn. Ze nemen elk bij een
steekproef van 25 tweede BA psychologiestudenten aan de VUB intelligentietesten af. Jeroen bekomt een
gemiddelde van 106; Alyson bekomt een gemiddelde van 102. Gebruik 𝛼 = 5%.
A. Welke conclusie trekt Jeroen over de intelligentiescores van de studenten uit de tweede BA psychologie aan
de VUB?
Gegeven:
N(𝜇, 𝜎) = (100, 15) n = 25
𝑥?4 = 106 𝛼 = 5% = 0.05
Hypotheses:
𝐻! : 𝜇 = 100
𝐻" : 𝜇 > 100
Oplossing:
𝑥?4 − 𝜇 106 − 100
𝑧= 𝜎 = =2
15
√𝑛 √25
𝑝 = 𝑃(𝑍 ≥ 𝑧) = 𝑃(𝑍 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) = 1 − 0.9772 = 0.0228
𝑝 = 0.0228 < 𝛼 = 0.05
Conclusie:
Er is VOLDOENDE evidentie om te stellen dat de 2e BA psychologiestudenten aan de VUB hogere
intelligentiescores behalen dan de populatie (𝑧 = 2 ; 𝑝 = 0.0228).
2
,B. Welke conclusie trekt Alyson over de intelligentiescores van de studenten uit de tweede BA psychologie aan
de VUB?
Gegeven:
N(𝜇, 𝜎) = (100, 15) n = 25
𝑥
NNN
" = 102 𝛼 = 5% = 0.05
Hypotheses:
𝐻! : 𝜇 = 100
𝐻" : 𝜇 > 100
Oplossing:
NNN
𝑥" − 𝜇 102 − 100
𝑧= 𝜎 = = 0.67
15
√𝑛 √25
𝑝 = 𝑃(𝑍 ≥ 𝑧) = 𝑃(𝑍 ≥ 0.67) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 0.67) = 1 − 0.7486 = 0.2514
𝑝 = 0.2514 > 𝛼 = 0.05
Conclusie:
Er is ONVOLDOENDE evidentie om te stellen dat de 2e BA psychologiestudenten aan de VUB hogere
intelligentiescores behalen dan de populatie (𝑧 = 0.67 ; 𝑝 = 0.2514).
C. Bedenk 2 redenen waarom de conclusies van Jeroen en Alyson niet in overeenstemming zijn.
Jeroen Alyson
Gegeven: N(100, 15), n = 25, 𝑥?4 = 106 Gegeven: N(100, 15), n = 25, NNN
𝑥" = 102
Hypotheses: Hypotheses:
𝐻! : 𝜇 = 100 𝐻! : 𝜇 = 100
𝐻" : 𝜇 > 100 𝐻" : 𝜇 > 100
Oplossing: Oplossing:
𝑧=2 𝑧 = 0.67
𝑝 = 0.0228 < 𝛼 = 0.05 𝑝 = 0.2514 > 𝛼 = 0.05
Conclusie: Conclusie:
Er is VOLDOENDE evidentie om te stellen dat 2e Er is ONVOLDOENDE evidentie om te stellen dat 2e
BA psychologiestudenten aan de VUB hogere BA psychologiestudenten aan de VUB hogere
intelligentiescores behalen dan de populatie. intelligentiescores behalen dan de populatie.
Jeroen heeft per toeval een effect. OF Alyson heeft pech.
3
, Oefening 1
Vanuit een bezorgdheid dat de gemeenschapsscholen in Brussel lager scoren op de PISA testen in
vergelijking met het populatiegemiddelde, wordt een steekproef van 50 leerlingen uit Brusselse scholen
genomen om deze hypothese na te gaan. Hun gemiddelde score op de PISA toets is 470. Indien
je weet dat PISA scores normaal verdeeld zijn met 𝜇 = 500en 𝜎 = 100, is de bezorgdheid dat Brusselse
leerlingen in gemeenschapsscholen lager scoren dan het populatiegemiddelde terecht? (𝛼 = 1%)
Zelf maken!
CONCLUSIE: Er is geen evidentie om te veronderstellen dat Brusselse scholen slechter presteren (z = −2.12;
p = 0.017; eenzijdig).
Oefening 2
In het kader van een onderzoek rond de invloed van tegenslagen op het zelfvertrouwen, meet een
psycholoog het zelfvertrouwen van een aselecte steekproef van 35 personen die recent een ernstige
tegenslag hebben meegemaakt (bv. ontslag). De psycholoog vindt een gemiddelde van 46.1 op de
zelfvertrouwenschaal in deze steekproef. Uit eerder populatieonderzoek bij personen die niet recent een
tegenslag meemaakten, bleek dat zelfvertrouwenscores normal verdeeld zijn met 𝜇 = 50 en 𝜎 = 10. Wijkt de
gemiddelde score van zelfvertrouwen uit de steekproef “mensen met recente tegenslag” significant af van
het populatiegemiddelde van mensen zonder recente tegenslag? (𝛼 = 2%)
Zelf maken!
CONCLUSIE: Er is geen evidentie om te veronderstellen dat recente tegenslag leidt tot minder zelfvertrouwen
(z = −2.31; p = 0.021).
4
