Hoofdstuk 1 “Functies en hun afgeleiden”
Functies
Lineaire functies
y = f(x) = a x + b
Hierbij snijdt de lijn de y-as in (0, b) dus als b 0 is dan is het snijpunt met de y-as (0,0) dit geeft een lijn
door de oorsprong.
Als a 0 is dan hangt y/f(x) niet af van de x-waardes en is dus dan ook een constante functie
(horizontale lijn) op de hoogte b y = b
a bepaalt tevens de helling (hoe snel de lijn stijgt/daalt als deze 1x naar rechts verschuift)
y 2− y 1
a=
x 2−x 1
Machten en machtfuncties (ook wortels dus)
f(x) = c xp
c en p zijn positief f(x) is stijgend en f(0) = 0
als c positief is en p negatief f(x) is dalend en f(0) is oneindig
Rekenregels machten
m
- n m
a =√ am =( √n a)
n
1
- a− p=
ap
- (ab) p =a p b p
- (a p)q =a pq
- a p a q=a p+ q
, Polynomen
Onder de polynomen (veeltermen) vallen ook lineaire functies, die eerder al behandeld zijn.
Een algemene vorm van polynomen is f(x) = a 0 xn + a1 xn-1 + … + an-1 x + an
N is de graad en a is de coëfficiënt van het polynoom
graad Naam functie
1 Lineaire functie
2 Kwadratische functie (parabool)
Eigenschappen van kwadratische polynomen
- a > 0 f(x) dalparabool met minimum x= -b/2a en f(x) gaat richting oneindig als x naar
negatief/positief oneindig gaat.
Ezelsbruggetje:
- a < 0 f(x) is een bergparabool met maximum
bij x=-b/2a en f(x) gaat richting negatief oneindig - als a positief is dan maakt de functie
als x naar negatief/positief oneindig gaat. een blije smiley 😊
- De nulpunten zijn te berekenen door
- als a negatief is dan maakt de functie
−b ± √ b2−4 ac een boze smiley ☹
x=
2a
Rationele functies
Dit zijn quotiënten van twee polynomen
a0 x n +a 1 x n−1+ ...+ an−1 x n + an
f(x) = f ( x )= m m−1 m
b 0 x +b 1 x + ...+ bm−1 x + bm
Inverse functies
Een inverse functie geeft x als y wordt ingevuld (het is dus eigenlijk een omgebouwde functie die niet
y= … laat zien, maar x= …)
Als we y = a x + b als voorbeeld nemen en deze stapsgewijs ombouwen:
-b aan beide kanten geeft
y–b=ax
delen door a aan beide kanten geeft
y−b
=x
a
Functies
Lineaire functies
y = f(x) = a x + b
Hierbij snijdt de lijn de y-as in (0, b) dus als b 0 is dan is het snijpunt met de y-as (0,0) dit geeft een lijn
door de oorsprong.
Als a 0 is dan hangt y/f(x) niet af van de x-waardes en is dus dan ook een constante functie
(horizontale lijn) op de hoogte b y = b
a bepaalt tevens de helling (hoe snel de lijn stijgt/daalt als deze 1x naar rechts verschuift)
y 2− y 1
a=
x 2−x 1
Machten en machtfuncties (ook wortels dus)
f(x) = c xp
c en p zijn positief f(x) is stijgend en f(0) = 0
als c positief is en p negatief f(x) is dalend en f(0) is oneindig
Rekenregels machten
m
- n m
a =√ am =( √n a)
n
1
- a− p=
ap
- (ab) p =a p b p
- (a p)q =a pq
- a p a q=a p+ q
, Polynomen
Onder de polynomen (veeltermen) vallen ook lineaire functies, die eerder al behandeld zijn.
Een algemene vorm van polynomen is f(x) = a 0 xn + a1 xn-1 + … + an-1 x + an
N is de graad en a is de coëfficiënt van het polynoom
graad Naam functie
1 Lineaire functie
2 Kwadratische functie (parabool)
Eigenschappen van kwadratische polynomen
- a > 0 f(x) dalparabool met minimum x= -b/2a en f(x) gaat richting oneindig als x naar
negatief/positief oneindig gaat.
Ezelsbruggetje:
- a < 0 f(x) is een bergparabool met maximum
bij x=-b/2a en f(x) gaat richting negatief oneindig - als a positief is dan maakt de functie
als x naar negatief/positief oneindig gaat. een blije smiley 😊
- De nulpunten zijn te berekenen door
- als a negatief is dan maakt de functie
−b ± √ b2−4 ac een boze smiley ☹
x=
2a
Rationele functies
Dit zijn quotiënten van twee polynomen
a0 x n +a 1 x n−1+ ...+ an−1 x n + an
f(x) = f ( x )= m m−1 m
b 0 x +b 1 x + ...+ bm−1 x + bm
Inverse functies
Een inverse functie geeft x als y wordt ingevuld (het is dus eigenlijk een omgebouwde functie die niet
y= … laat zien, maar x= …)
Als we y = a x + b als voorbeeld nemen en deze stapsgewijs ombouwen:
-b aan beide kanten geeft
y–b=ax
delen door a aan beide kanten geeft
y−b
=x
a
