ANÁLISIS
1.- SOBRE LÍMITES DE UNA FUNCIÓN
• Comparación de límites infinitos.
Si lím f(x) = ±¥ y lím g(x) = ±¥ , se dice que f(x) es un infinito de orden
x ® +¥ x ® +¥
superior a g(x) si se cumple que:
f(x) g(x)
lím = ±¥ , o lo que es lo mismo, lím = 0.
x ® +¥ g( x) x ® +¥ f( x)
(Las funciones EXPONENCIALES (base mayor que 1) son infinitos de orden
superior a las POTENCIAS que, a su vez, son infinitos de orden superior a los
LOGARITMOS).
• Límites en -∞.
A menudo resulta cómodo aplicar lím f(x) = lím f( -x) .
x ® -¥ x ® +¥
0 ±¥
• Indeterminaciones: ¥ - ¥; ± ¥ × 0; ; ¥0 ; 1 ±¥ ; 00 ; .
0 ±¥
• Límites de la forma 1∞. Es muy útil aplicar la siguiente propiedad:
lím [f( x ) -1 ]×g( x )
Si lím f(x) = 1 y lím g(x) = +¥ , entonces lím [f(x)]g( x) = e n ® + ¥ .
x ® +¥ x ® +¥ n® +¥
• Límites laterales.
ì lím f(x) = lím f(c - ε)
ï x ® c- ε ®0
í , "ε > 0 .
lím
ïî x ®c+ f(x) = lím f(c + ε)
ε ®0
No obstante, se puede utilizar la calculadora para justificar fácilmente el valor de
los límites laterales.
• Además, según los diferentes tipos de indeterminaciones se siguen procedimientos
algebraicos sencillos (factorizar y simplificar, multiplicar y dividir por el
conjugado, efectuar la resta de fracciones algebraicas,...) que permiten calcular el
valor del límite.
2.- CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
• Una función f es continua en un punto x0 si verifica:
1) $ lím f(x), es decir, lím- f(x) = lím+ f(x).
x ®x0 x ®x0 x ®x0
2) f(xo ) = lím f(x) = k " k Î lR
x ®x0
• Si la función está definida a trozos
ì f (x) si x < x0
f(x) = í 1
î f2 (x) si x ³ x0
entonces
lím- f(x) = lím f1 (x) = f1 (x 0 )
x ®x0 x ®x0
lím f(x) = lím f2 (x) = f2 (x 0 )
x ®x0+ x ®x0
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, 3.- TEOREMAS DE CONTINUIDAD EN INTERVALOS
• TEOREMA DE BOLZANO.
Si f(x) es continua en éë a,b ùû y “signo de f(a)” ≠ “signo de f(b)”, entonces
$c Î (a, b ) / f(c) = 0 .
• COROLARIO DEL TEOREMA DE BOLZANO.
Si f y g son continuas en éë a,b ùû , f(a) < g(a) y f(b) > g(b) , entonces
$c Î (a, b ) / f(c) = g(c) .
• TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS.
Si f(x) es continua en éë a,b ùû entonces toma todos los valores intermedios entre
f(a) y f(b), es decir, "k Î [f( a), f(b)] $c Î (a, b ) / f(c) = k .
• TEOREMA DE WEIERSTRASS.
Si f(x) es continua en éë a,b ùû entonces tiene un máximo y un mínimo absoluto en ese
intervalo, es decir, $c, d Î [a, b] / "x Î [a, b], f(d) £ f(x) £ f(c) .
4.- DEFINICIÓN DE DERIVADA
f(x0 + h) - f(x0 )
Derivada de una función f en un punto x0: f´(x0 ) = lím
h®0 h
f(x + h) - f(x)
La definición de función derivada es similar: f´(x) = lím
h®0 h
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Ξ VELOCIDAD INSTANTÁNEA Ξ DERIVADA
EN UN PUNTO Ξ PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE
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1.- SOBRE LÍMITES DE UNA FUNCIÓN
• Comparación de límites infinitos.
Si lím f(x) = ±¥ y lím g(x) = ±¥ , se dice que f(x) es un infinito de orden
x ® +¥ x ® +¥
superior a g(x) si se cumple que:
f(x) g(x)
lím = ±¥ , o lo que es lo mismo, lím = 0.
x ® +¥ g( x) x ® +¥ f( x)
(Las funciones EXPONENCIALES (base mayor que 1) son infinitos de orden
superior a las POTENCIAS que, a su vez, son infinitos de orden superior a los
LOGARITMOS).
• Límites en -∞.
A menudo resulta cómodo aplicar lím f(x) = lím f( -x) .
x ® -¥ x ® +¥
0 ±¥
• Indeterminaciones: ¥ - ¥; ± ¥ × 0; ; ¥0 ; 1 ±¥ ; 00 ; .
0 ±¥
• Límites de la forma 1∞. Es muy útil aplicar la siguiente propiedad:
lím [f( x ) -1 ]×g( x )
Si lím f(x) = 1 y lím g(x) = +¥ , entonces lím [f(x)]g( x) = e n ® + ¥ .
x ® +¥ x ® +¥ n® +¥
• Límites laterales.
ì lím f(x) = lím f(c - ε)
ï x ® c- ε ®0
í , "ε > 0 .
lím
ïî x ®c+ f(x) = lím f(c + ε)
ε ®0
No obstante, se puede utilizar la calculadora para justificar fácilmente el valor de
los límites laterales.
• Además, según los diferentes tipos de indeterminaciones se siguen procedimientos
algebraicos sencillos (factorizar y simplificar, multiplicar y dividir por el
conjugado, efectuar la resta de fracciones algebraicas,...) que permiten calcular el
valor del límite.
2.- CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
• Una función f es continua en un punto x0 si verifica:
1) $ lím f(x), es decir, lím- f(x) = lím+ f(x).
x ®x0 x ®x0 x ®x0
2) f(xo ) = lím f(x) = k " k Î lR
x ®x0
• Si la función está definida a trozos
ì f (x) si x < x0
f(x) = í 1
î f2 (x) si x ³ x0
entonces
lím- f(x) = lím f1 (x) = f1 (x 0 )
x ®x0 x ®x0
lím f(x) = lím f2 (x) = f2 (x 0 )
x ®x0+ x ®x0
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, 3.- TEOREMAS DE CONTINUIDAD EN INTERVALOS
• TEOREMA DE BOLZANO.
Si f(x) es continua en éë a,b ùû y “signo de f(a)” ≠ “signo de f(b)”, entonces
$c Î (a, b ) / f(c) = 0 .
• COROLARIO DEL TEOREMA DE BOLZANO.
Si f y g son continuas en éë a,b ùû , f(a) < g(a) y f(b) > g(b) , entonces
$c Î (a, b ) / f(c) = g(c) .
• TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS.
Si f(x) es continua en éë a,b ùû entonces toma todos los valores intermedios entre
f(a) y f(b), es decir, "k Î [f( a), f(b)] $c Î (a, b ) / f(c) = k .
• TEOREMA DE WEIERSTRASS.
Si f(x) es continua en éë a,b ùû entonces tiene un máximo y un mínimo absoluto en ese
intervalo, es decir, $c, d Î [a, b] / "x Î [a, b], f(d) £ f(x) £ f(c) .
4.- DEFINICIÓN DE DERIVADA
f(x0 + h) - f(x0 )
Derivada de una función f en un punto x0: f´(x0 ) = lím
h®0 h
f(x + h) - f(x)
La definición de función derivada es similar: f´(x) = lím
h®0 h
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Ξ VELOCIDAD INSTANTÁNEA Ξ DERIVADA
EN UN PUNTO Ξ PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE
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