H1-2-3-4-5-6-7 rekenen met
verhoudingen op de basisschool
Samenvatting rekenen
Hoofdstuk 1: Samenhang
1.1 verschillend, maar ook hetzelfde
In de volgende situatie gaat het om dezelfde verhouding:
Wieke at 3/5 deel van haar reep op.
3 op de 5 automobilisten staan regelmatig in de file
Dit voedsel bestaat voor 60 procent uit water.
Het is 0,6 km tot de camping
3 delen gemalen amandelen op 2 delen suiker
De kale breuk 3/5
Verhoudingen
We spreken van een verhouding als er sprake is van een lineair verband tussen
twee getalsmatige beschrijvingen. Lineair betekent: als het gene getal met een
bepaalde factor wordt vergroot of verkleind, dan wordt het andere getal met
diezelfde factor vergroot of verkleind.
Kommagetallen en procenten zijn ontstaan vanuit standaardiseren in stappen van
10.
Ze zijn makkelijker te vergelijken dan breuken. Je ziet meteen wat meer/minder
is.
Ongestandaardiseerde voorbeelden zijn breuken en verhoudingsnotaties.
Met de verhoudingsnotatie bedoelen we bijvoorbeeld 2 van de 3.
1.2 Onderwijs
Leerlingen moeten de kans krijgen om actief de relaties tussen breuken,
procenten, verhoudingen en kommagetallen te onderzoeken.
Dat onderzoek start altijd vanuit contextsituaties, dit leidt tot het werken met
modellen.
Modellen kunnen een belangrijke rol spelen bij het rekenonderwijs. Denk aan:
stroken, cirkeldiagram, dubbele getallenlijn en de verhoudingstabel.
1
, H1-2-3-4-5-6-7 rekenen met
verhoudingen op de basisschool
Hoofdstuk 2: heruitvinden
2.1 heruitvinden
Met heruitvinden bedoelen we uitvinden wat in vele eeuwen door wiskundigen
ontdekt is.
Kinderen als onderzoekers
Kinderen moeten zich op de basisschool her werken met getallen en andere
onderdelen van de wiskunde eigen maken. De eerste benadering is dat we de
leerlingen de rekenregels vertellen zoals wij die regels gebruiken. Bijvoorbeeld:
breuken tel je op door ze eerst gelijknamig te maken.
De andere benadering is dat de leerling een actieve rol krijgt. We laten hen
bijvoorbeeld zelf een manier bedenken om een heleboel potloden te tellen.
Geleid heruitvinden
De tweede benadering noemen we geleid heruitvinden (Freudenthal). Geleid
heruitvinden houdt in dat we kinderen als het ware zelf het systeem van de
wiskunde weer uitlaten vinden.
Hier hebben ze veel steun bij nodig. Het proces moet gestuurd worden door
rekenproblemen die er samen voor zorgen dat belangrijke wiskundige ideeën aan
de orde komen. De rol van de leerkracht is om niet alles meteen helder te willen
uitleggen, maar leerlingen helpen door de juiste vragen te stellen en het gesprek
zo te sturen dat de wiskundige kern naar voren komt.
Deze didactische benadering noemen we realistisch reken-wiskunde
onderwijs.
Realistisch verwijst naar de belangrijke rol van contextopgaven in het onderwijs.
Andere kenmerken van het onderwijs:
- De belangrijke rol van contextproblemen
- Veel aandacht voor modellen, schema’s en manieren van noteren
- De actieve rol van leerlingen in het reken-wiskundeonderwijs
- Reken-wiskundeonderwijs als een proces van interactie
- De vervlechting van leerlijnen.
2.2 Een voorbeeld van geleid heruitvinden
Zie bladzijde 27 t/m 31
2.3 Mathematiseren
Wanneer je een contextprobleem oplost, begin je meestal met het verkennen van
de gegeven situatie. Wat is het probleem? Wat betekenen de getallen in relatie
tot de context?
Vervolgens moet het probleem worden vertaald naar een som. Het vertalen van
een verhaal naar een wiskundige som is mathematiseren. Het vertaalproces
2
, H1-2-3-4-5-6-7 rekenen met
verhoudingen op de basisschool
kan op verschillende niveaus gebeuren. Wanneer je de uitkomst hebt, plaats je
het terug in de context van het probleem om te controleren of het klopt. Het
mathematiseren gaat dus altijd twee kanten op: van context naar som en weer
terug.
Kinderen moeten zich bij deze opgave realiseren dat het gaat om de hoeveelheid
suiker en het totale gewicht. Daarna kunnen ze pas context vertalen naar een
som.
2.4 Samen onderzoeken van een probleem
In lessen die gericht zijn op geleid heruitvinden staan klassengesprekken
centraal. Met klassengesprekken bedoelen we hier echte discussies, met veel
inbreng van de leerlingen. De leerkracht stelt veel denkstimulerende vragen
waarbij kinderen hun inzichten aanscherpen of nieuwe ideeën ontwikkelen.
De volgende principes helpen je om zulke lessen te geven:
1) Ga moeilijke opgaven niet uit de weg.
2) Stel je op het standpunt van de leerlingen
3) Er moet ruimte zijn voor proberen en nadenken
4) Probeer de redeneringen van leerlingen te begrijpen
5) Leer kinderen vragen te stellen
6) Houd de grote lijn in de gaten
7) Bied herkansing: kom vaak terug op fundamentele zaken
8) Het gaan niet om dit ene probleem, het gaat om wiskunde
2.5 Differentiatie: elk kind is anders
Een goed probleem is op te lossen op verschillende niveaus
Het gesprek over verschillende benaderingen is voor alle leerlingen zinvol.
Zwakke rekenaars zien hoe jun aanpak kan leiden tot een meer algemene
aanpak, en betere leerlingen gaan zien dat er een hele scala van aanpakken is
naast de oplossing die ze zelf bedacht hebben.
Inspelen op de verschillen tussen kinderen
Kinderen hebben hun eigen voorkeuren in hun aanpak van rekenproblemen. Als
de leerkracht zulke verschillen opmerkt is het aardig er ok aandacht aan te
3
verhoudingen op de basisschool
Samenvatting rekenen
Hoofdstuk 1: Samenhang
1.1 verschillend, maar ook hetzelfde
In de volgende situatie gaat het om dezelfde verhouding:
Wieke at 3/5 deel van haar reep op.
3 op de 5 automobilisten staan regelmatig in de file
Dit voedsel bestaat voor 60 procent uit water.
Het is 0,6 km tot de camping
3 delen gemalen amandelen op 2 delen suiker
De kale breuk 3/5
Verhoudingen
We spreken van een verhouding als er sprake is van een lineair verband tussen
twee getalsmatige beschrijvingen. Lineair betekent: als het gene getal met een
bepaalde factor wordt vergroot of verkleind, dan wordt het andere getal met
diezelfde factor vergroot of verkleind.
Kommagetallen en procenten zijn ontstaan vanuit standaardiseren in stappen van
10.
Ze zijn makkelijker te vergelijken dan breuken. Je ziet meteen wat meer/minder
is.
Ongestandaardiseerde voorbeelden zijn breuken en verhoudingsnotaties.
Met de verhoudingsnotatie bedoelen we bijvoorbeeld 2 van de 3.
1.2 Onderwijs
Leerlingen moeten de kans krijgen om actief de relaties tussen breuken,
procenten, verhoudingen en kommagetallen te onderzoeken.
Dat onderzoek start altijd vanuit contextsituaties, dit leidt tot het werken met
modellen.
Modellen kunnen een belangrijke rol spelen bij het rekenonderwijs. Denk aan:
stroken, cirkeldiagram, dubbele getallenlijn en de verhoudingstabel.
1
, H1-2-3-4-5-6-7 rekenen met
verhoudingen op de basisschool
Hoofdstuk 2: heruitvinden
2.1 heruitvinden
Met heruitvinden bedoelen we uitvinden wat in vele eeuwen door wiskundigen
ontdekt is.
Kinderen als onderzoekers
Kinderen moeten zich op de basisschool her werken met getallen en andere
onderdelen van de wiskunde eigen maken. De eerste benadering is dat we de
leerlingen de rekenregels vertellen zoals wij die regels gebruiken. Bijvoorbeeld:
breuken tel je op door ze eerst gelijknamig te maken.
De andere benadering is dat de leerling een actieve rol krijgt. We laten hen
bijvoorbeeld zelf een manier bedenken om een heleboel potloden te tellen.
Geleid heruitvinden
De tweede benadering noemen we geleid heruitvinden (Freudenthal). Geleid
heruitvinden houdt in dat we kinderen als het ware zelf het systeem van de
wiskunde weer uitlaten vinden.
Hier hebben ze veel steun bij nodig. Het proces moet gestuurd worden door
rekenproblemen die er samen voor zorgen dat belangrijke wiskundige ideeën aan
de orde komen. De rol van de leerkracht is om niet alles meteen helder te willen
uitleggen, maar leerlingen helpen door de juiste vragen te stellen en het gesprek
zo te sturen dat de wiskundige kern naar voren komt.
Deze didactische benadering noemen we realistisch reken-wiskunde
onderwijs.
Realistisch verwijst naar de belangrijke rol van contextopgaven in het onderwijs.
Andere kenmerken van het onderwijs:
- De belangrijke rol van contextproblemen
- Veel aandacht voor modellen, schema’s en manieren van noteren
- De actieve rol van leerlingen in het reken-wiskundeonderwijs
- Reken-wiskundeonderwijs als een proces van interactie
- De vervlechting van leerlijnen.
2.2 Een voorbeeld van geleid heruitvinden
Zie bladzijde 27 t/m 31
2.3 Mathematiseren
Wanneer je een contextprobleem oplost, begin je meestal met het verkennen van
de gegeven situatie. Wat is het probleem? Wat betekenen de getallen in relatie
tot de context?
Vervolgens moet het probleem worden vertaald naar een som. Het vertalen van
een verhaal naar een wiskundige som is mathematiseren. Het vertaalproces
2
, H1-2-3-4-5-6-7 rekenen met
verhoudingen op de basisschool
kan op verschillende niveaus gebeuren. Wanneer je de uitkomst hebt, plaats je
het terug in de context van het probleem om te controleren of het klopt. Het
mathematiseren gaat dus altijd twee kanten op: van context naar som en weer
terug.
Kinderen moeten zich bij deze opgave realiseren dat het gaat om de hoeveelheid
suiker en het totale gewicht. Daarna kunnen ze pas context vertalen naar een
som.
2.4 Samen onderzoeken van een probleem
In lessen die gericht zijn op geleid heruitvinden staan klassengesprekken
centraal. Met klassengesprekken bedoelen we hier echte discussies, met veel
inbreng van de leerlingen. De leerkracht stelt veel denkstimulerende vragen
waarbij kinderen hun inzichten aanscherpen of nieuwe ideeën ontwikkelen.
De volgende principes helpen je om zulke lessen te geven:
1) Ga moeilijke opgaven niet uit de weg.
2) Stel je op het standpunt van de leerlingen
3) Er moet ruimte zijn voor proberen en nadenken
4) Probeer de redeneringen van leerlingen te begrijpen
5) Leer kinderen vragen te stellen
6) Houd de grote lijn in de gaten
7) Bied herkansing: kom vaak terug op fundamentele zaken
8) Het gaan niet om dit ene probleem, het gaat om wiskunde
2.5 Differentiatie: elk kind is anders
Een goed probleem is op te lossen op verschillende niveaus
Het gesprek over verschillende benaderingen is voor alle leerlingen zinvol.
Zwakke rekenaars zien hoe jun aanpak kan leiden tot een meer algemene
aanpak, en betere leerlingen gaan zien dat er een hele scala van aanpakken is
naast de oplossing die ze zelf bedacht hebben.
Inspelen op de verschillen tussen kinderen
Kinderen hebben hun eigen voorkeuren in hun aanpak van rekenproblemen. Als
de leerkracht zulke verschillen opmerkt is het aardig er ok aandacht aan te
3
