Samenvatting Vlakke Meetkunde 1 en goniometrie

Samenvatting Vlakke Meetkunde 1 en goniometrie
College 1
 Euclides formuleert algemene inzichten:
1. Dingen, gelijk aan hetzelfde zijn ook aan elkaar gelijk.
(A = B en C = B betekent ook A = C)
2. Als men bij gelijke dingen gelijke dingen voegt, zijn de totalen gelijk.
(A = C betekent ook A + B = C + B)
3. Als men van gelijke dingen gelijke dingen afneemt, zijn de resten gelijk.
(A = C betekent ook A – B = C – B)
4. Dingen die samenvallen (op elkaar passen) met elkaar zijn gelijk aan elkaar.
5. Het geheel is groter dan het deel.
 Axioma 5: En dat als een rechte, die twee rechten treft, de binnenhoeken aan dezelfde
kant kleiner maakt dan twee rechte hoeken (= 180° ) maakt, de twee rechten, tot in het
oneindige verlengd, elkaar ontmoeten aan de kant waar de hoeken kleiner zijn dan twee
rechte hoeken.
 Constructie gelijkbenige driehoek
- Als je de basis van de driehoek gegeven hebt gekregen:
Maak vanuit de twee hoekpunten van de lijn 2 keer een zelfde boogje. Snijpunt van
bogen is nieuw punt en als je de punten verbindt heb je een gelijkbenige driehoek.
 Constructie gelijkzijdige driehoek
- Als je als basis het lijnstuk AB gekregen hebt. Trek een cirkel met
middelpunt A, met straal AB en trek een cirkel met middelpunt
B, met straal AB. Waar de cirkels elkaar snijden is een nieuw
punt. Verbind de punten en je hebt een gelijkzijdige driehoek.

College 2
 Z-hoek = wanneer een rechte, twee andere rechten ( . en . )
snijdt, en de verwisselende binnenhoeken zijn aan elkaar
gelijk (a1 = B2 en a2 = B1), dan zullen de rechten aan elkaar
parallel zijn.
Bewijs:
Gegeven: ∠a2 = ∠B1 en ∠a1 = ∠B2
We weten: ∠a1 + ∠a2 = 180° en ∠B1 + ∠B2 = 180° ∠a1 + ∠B1 = 180°
-> m.b.v. axioma: samen geen 180° betekent snijpunt. Nu wel 180° = geen snijpunt
(d.w.z. parallel)
 F-hoeken = als een rechte lijn (--) twee andere rechte lijnen snijdt (-- en --) en daarmee:
1. De externe hoek bij de ene lijn even groot maakt als de
interne hoek aan dezefde kant bij de andere lijn (F-hoeken, a2 a1
a3 a4
oftewel a2=B2 of a1=B2). Dan zullen de twee rechten (-- en --)
B2 B1
parallel zijn
Bewijs
Gegeven: a2 = B2 dat betekent a1 = B1
a2 = a4
Overstaande hoeken

, a1 = a3
a2 + a3 = 180° daaruit volgt B2 + a3 = 180°
Geen snijpunt dus parallel
2. Daarmee de interne hoeken aan dezelfde zijde van de eerste lijn B1 en B2 danwel a4
en a3 samen gelijk maakt aan twee rechte hoeken. Dan zullen de twee rechten
(-- en --) parellel zijn.
 Gelijkvormigheidskenmerken:
1. hh = twee paren hoeken zijn gelijk
2. zhz = één hoek is hetzelfde en de verhouding van de omliggende zijden
3. zzz = de verhoudingen van de zijden zijn hetzelfde
4. zzr = één rechte hoek en de verhoudingen van twee niet omliggende hoeken
hh




zhz


 Congruentiekenmerken:
1. HZH = twee
zzz
gelijke hoeken en
gelijke zijden
ertussen
2. ZHH = één gelijke
zijde, één gelijke
zzr
hoek op die zijde
en een gelijke
overstaande hoek
3. ZHZ = twee
gelijke zijden en
de ingesloten
hoek
4. ZZZ = drie gelijke zijden
5. ZZR = twee gelijke zijden en de rechte hoek tegenover één van die zijden

, HZH




ZHH




ZHZ




ZZZ




ZZR




 Hoek overbrengen:
Op een gegeven punt P in een gegeven rechte lijn ---- een hoek maken die even groot is
als gegeven hoek.



P

1. Meet BC met passer en teken een cirkelboog vanuit P en vorm C’ op de stippellijn dit lever
een ander punt G op op die lijn.
2. Meet AC op en teken een cirkelboog vanuit G. Het snijpunt dat nu gevormd is, is A’
 Hoekensom in een driehoek:




Bewijzen door extra lijnen te tekenen, zodat er F- en Z-hoeken ontstaan.