Samenvatting hoofdstuk 8 uit theorieboek van Moore & Mccabe

STATISTIEK N

4. INFERENTIE VOOR FRACTIES




INFERENTIE VOOR ENKELE FRACTIES

 We willen een schatting van de fractie p van elementen met een of ander kenmerk onder de
elementen van een grote populatie
 We kiezen een EAS van omvang n uit de populatie en noteren het aantal ‘successen’ X
 We zullen ‘succes’ hanteren als een aanduiding voor het kenmerk dat ons interesseert
 De steekproeffractie successen ^p= X /n schat de onbekende populatiefractie p
 Als de populatie veel groter is dan de steekproef, dan zijn de individuele reacties vrijwel onafhankelijk

en heeft het aantal X bij benadering de binomiale verdeling B(n , p)
 Als de steekproefomvang klein is, moeten we toetsen en betrouwbaarheidsintervallen voor p baseren
op de binomiale verdelingen
 Als de steekproef groot is, zal zowel het aantal X als de steeproeffractie ^p bij benadering normaal zijn
verdeeld

BETROUWBAARHEIDSINTERVAL VOOR EEN ENKELE FRACTIE

 De onbekende populatiefractie p wordt geschat door de steekproeffractie ^p= X /n
 We weten dat als de steekproefomvang voldoende groot is, de grootheid ^p bij benadering de normale
verdeling heeft met verwachting μ ^p= p en standaardafwijking σ ^p=√ p (1− p)/n
 Dit betekent dat ongeveer 95% van de tijd ^p binnen 2 √ p (1− p)/n van de onbekende
populatiefractie ligt
De standaardafwijking σ ^p is afhankelijk van de parameter p
 Om een betrouwbaarheidsinterval voor p te bepalen, moeten we de standaardafwijking van ^p uit de
data schatten
o Hiervoor moeten we p vervangen door ^p in de uitdrukking voor σ ^p




BETROUWBAARHEIDSINTERVAL VAN EEN GROTE STEEKPROEF VOOR EEN POPULATIEFRACTIE
Trek een EAS van omvang n uit een grote populatie met een onbekende succesfractie p .
De steekproeffractie is ^p= X /n waar X het aantal successen vertegenwoordigt.




1

, De standaardfout van ^p is
^p (1− ^p )
SE ^p=
√ n
En de foutmarge voor betrouwbaarheidsniveau C is
m=z ¿ SE ^p
waar z ¿ de waarde is voor de standaard dichtheidskromme met een oppervlak C tussen −z ¿ en z ¿
Het betrouwbaarheidsinterval voor niveau C voor p is bij benadering ^p ± m
Gebruik dit interval voor de 90%, 95%, of 99% betrouwbaarheid wanneer er sprake is van minstens 15
successen en 15 missers


SIGINIFICANTIETOETSEN VOOR ÉÉN FRACTIE
 De steekproeffractie ^p= X /n is normaal verdeeld, met verwachting μ ^p= p en standaardafwijking
σ ^p=√ p (1− p)/n

SIGNIFICANTIETOETS VOOR EEN POPULATIEFRACTIE OP BASIS VAN EEN GROTE STEEKPROEF
Trek een EAS van omvang n uit een grote populatie met onbekende succesfractie p . Om de hypothese


^p− p 0
z=
H 0 : p= p0 te toetsen, berekent men de z-grootheid p0 (1−p 0)
√ n
In termen van een standaardnormale stochastische variabele Z geldt voor de benaderde
overschrijdingskans van een toets van H0 versus
H a : p > p0 ; de overschrijdijngskans is P ( Z ≥ z )


H a : p < p0 ; de overschrijdingskans is P ( Z ≤ z )


H a : p ≠ p0 ; de overschrijdingskans is 2 P(Z ≥|z|)

 Steekproef z significantietoets gebruiken als het verwachte aantal successen (n p0 ) en het verwachte

aantal missers (n ( 1− p 0 )) beide groters zijn dan 10

 Conclusie hangt niet af van de keuze van succes en mislukking
BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN GEVEN AANVULLENDE INFORMATIE
 Significantietoetsen voor één enkele fractie komen in de statistiek betrekkelijk zelden voor, omdat het

ongebruikelijk is een exact gespecifieerde p0 te hebben


HET BEPALEN VAN DE STEEKPROEFOMVANG
¿
 Foutmarge voor een betrouwbaarheidsinterval van niveau C voor p is m=z S E ^p




2