Mathe
Analysis
Kurvendiskussion Funktionenschar
·
Ableitungen ·
Funktionsterm der neben noch einen Parameter enthält
,
·
Definitions-Wertebereich ·
definiert mehrere Funktionen zugleich
Bsp .
D= ExeR(x = 03 =
Rot ·
Parameter wird als normale Zahl behandelt
Symmetrien
·
Achsensymmetrie : nur gerade Exponenten Ortslinie
Punktsymmetrie : nur ungerade Exponenten
·
Graph auf dem alle HP einer Funktionenschar liegen
·
Schnittpunkte mit den Achsen Bestimmung :
Nullstellen : f(x) 0 =
·
x - Koordinate des Hochpunkts nach dem Parameter umstellen
y-Achse : f(0) ·
in die y-Koordinate einsetzen
·
Endverhalten
xc
Bsp f(x).
Co Umkehrfunktion
x
! c
-
f(x) Funktionen sind umkehrbar
bijektive
Co ·
Extrema Element dem Wertebereich f ist
bijektiv jedes
·
: aus von von
Hoch-/ Tiefpunkte genau einem Element aus dem Definitionsbereich von
f'(x) 0 =
Inotwendige Bedingung f getroffen
f () 0 =
1 f"(x) + 0 (hinreichende Bedingung) streng monoton steigende/ fallende Graphen
f"(x) 0 Minimum ·
Achsenspiegelung an der Achse y =
x
f"(x) 0 Maximum ·
algebraisch Gleichung nach
: umformen ,
I bei Funktionenscharen Fallunterscheidung X und y vertauschen
y-Koordinate bestimmen
·
Wendepunkte
f"(x) 0 =
(notwendige Bedingung
f"(x) 0 = 1 f" () + 0 /hinreichende Bedingung
Exponentialfunktion Logarithmusfunktionen Logarithmusgesetze :
allgemein fy(x)
x
: =
3 allgemein Ep (x) logyX
: =
1
.
logp (u .
v) =
logp(u) + logp(v)
Umkehrfunktion : fü (x) logp(x) =
Umkehrfunktion : fj(x) =
b
+
.
2 logp ( * ) =
logp(v) -
logp (v)
+
Xe XeR .
3 logp (ur) =
r
-
logp(u)
be IRt bEIR
D =
ExeR3 D Ex cR(x = 03 R+
= =
Potenzgesetze
W =
Ex cR(x 03 R = =
+
W Exe R3
=
.
1 ab + 2) = ab
+c
ab
gemeinsame Punkte (011) (11b) gemeinsame Punkte (110) (b11) ab c
-
=
: und : und 2 . 2)
.
3 (ab) =
ab .
e-Funktion
für f(x) gilt f'(x) f(x)
*
·
=
e : = = ex
·
Funktionswert (y) an einer Stelle (X) ist die Tangentensteigung an der Stelle
streng monoton steigend
·
·
asymptotisches Verhalten bei kleinen -Werten
, Mathe
Ableitungsregeln
1
Potenzregel f(x) xn f(x)
-
: = =
n
-
xn
Faktorregel : f(x) = c
-
g(x) f'(x) =
c g'(x)
Summenregel : f(x) =
g(x) + h(x) f(x) g(x) + h'(x)
=
Produktregel : f(x) =
g(x) .
h(x) f'(x) g'(x) h(x) + g(x) -h'(x)
= .
Quotientenregel f(x) =
g(x) .
h(x) -
g(x) h'(x)
.
: f(x) =
(h(x))2
Kettenregel : f(x) g(h(x)
= f(x) g'(h(x))
= .
h'(x)
Ableitungen und Stammfunktionen
F(x)e* + c (bib +
+ (n(x) + cy .
b+c -
cos(x) sin(x
1
f(x) es In (x) b loga X
X 2 b sin() cos(x)
1
E In/blb
+
zin/blb* cos(x) sin(x)
f(x) et
-
2
-
In 131 x
.
Integrale
Wenn die Ober- und Untersummen einer Funktion f auf dem Intervall [aib] einen gemeinsamen Grenzwert haben Ilim On =
im Unl,
n- n-
so heißt die Funktion integrierbar und der gemeinsame Wert heißt bestimmtes Integral von f in den Grenzen von z bis b
.
Schreibweise : f(x) dx Integrand Integrationsvariable Obergrenze Untergrenze
1 f(x)dx beschreibt den orientierten Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse im Intervall [aib] Ibilanzierte Wirkung
f(x)d Fläche zwischen Glf) und -Achse
=
2
f(x) = 0vx [aib]
3 -[f(x)d =
Fläche zwischen Glf) und -Achse
f(x) = 0V x ( [aib]
4 sei ce Jaibl
↑ f(x)dx +
& f(x)dx =
( f(x)dx
5 sei ce [aib]
! f(x)dx =
0
Analysis
Kurvendiskussion Funktionenschar
·
Ableitungen ·
Funktionsterm der neben noch einen Parameter enthält
,
·
Definitions-Wertebereich ·
definiert mehrere Funktionen zugleich
Bsp .
D= ExeR(x = 03 =
Rot ·
Parameter wird als normale Zahl behandelt
Symmetrien
·
Achsensymmetrie : nur gerade Exponenten Ortslinie
Punktsymmetrie : nur ungerade Exponenten
·
Graph auf dem alle HP einer Funktionenschar liegen
·
Schnittpunkte mit den Achsen Bestimmung :
Nullstellen : f(x) 0 =
·
x - Koordinate des Hochpunkts nach dem Parameter umstellen
y-Achse : f(0) ·
in die y-Koordinate einsetzen
·
Endverhalten
xc
Bsp f(x).
Co Umkehrfunktion
x
! c
-
f(x) Funktionen sind umkehrbar
bijektive
Co ·
Extrema Element dem Wertebereich f ist
bijektiv jedes
·
: aus von von
Hoch-/ Tiefpunkte genau einem Element aus dem Definitionsbereich von
f'(x) 0 =
Inotwendige Bedingung f getroffen
f () 0 =
1 f"(x) + 0 (hinreichende Bedingung) streng monoton steigende/ fallende Graphen
f"(x) 0 Minimum ·
Achsenspiegelung an der Achse y =
x
f"(x) 0 Maximum ·
algebraisch Gleichung nach
: umformen ,
I bei Funktionenscharen Fallunterscheidung X und y vertauschen
y-Koordinate bestimmen
·
Wendepunkte
f"(x) 0 =
(notwendige Bedingung
f"(x) 0 = 1 f" () + 0 /hinreichende Bedingung
Exponentialfunktion Logarithmusfunktionen Logarithmusgesetze :
allgemein fy(x)
x
: =
3 allgemein Ep (x) logyX
: =
1
.
logp (u .
v) =
logp(u) + logp(v)
Umkehrfunktion : fü (x) logp(x) =
Umkehrfunktion : fj(x) =
b
+
.
2 logp ( * ) =
logp(v) -
logp (v)
+
Xe XeR .
3 logp (ur) =
r
-
logp(u)
be IRt bEIR
D =
ExeR3 D Ex cR(x = 03 R+
= =
Potenzgesetze
W =
Ex cR(x 03 R = =
+
W Exe R3
=
.
1 ab + 2) = ab
+c
ab
gemeinsame Punkte (011) (11b) gemeinsame Punkte (110) (b11) ab c
-
=
: und : und 2 . 2)
.
3 (ab) =
ab .
e-Funktion
für f(x) gilt f'(x) f(x)
*
·
=
e : = = ex
·
Funktionswert (y) an einer Stelle (X) ist die Tangentensteigung an der Stelle
streng monoton steigend
·
·
asymptotisches Verhalten bei kleinen -Werten
, Mathe
Ableitungsregeln
1
Potenzregel f(x) xn f(x)
-
: = =
n
-
xn
Faktorregel : f(x) = c
-
g(x) f'(x) =
c g'(x)
Summenregel : f(x) =
g(x) + h(x) f(x) g(x) + h'(x)
=
Produktregel : f(x) =
g(x) .
h(x) f'(x) g'(x) h(x) + g(x) -h'(x)
= .
Quotientenregel f(x) =
g(x) .
h(x) -
g(x) h'(x)
.
: f(x) =
(h(x))2
Kettenregel : f(x) g(h(x)
= f(x) g'(h(x))
= .
h'(x)
Ableitungen und Stammfunktionen
F(x)e* + c (bib +
+ (n(x) + cy .
b+c -
cos(x) sin(x
1
f(x) es In (x) b loga X
X 2 b sin() cos(x)
1
E In/blb
+
zin/blb* cos(x) sin(x)
f(x) et
-
2
-
In 131 x
.
Integrale
Wenn die Ober- und Untersummen einer Funktion f auf dem Intervall [aib] einen gemeinsamen Grenzwert haben Ilim On =
im Unl,
n- n-
so heißt die Funktion integrierbar und der gemeinsame Wert heißt bestimmtes Integral von f in den Grenzen von z bis b
.
Schreibweise : f(x) dx Integrand Integrationsvariable Obergrenze Untergrenze
1 f(x)dx beschreibt den orientierten Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse im Intervall [aib] Ibilanzierte Wirkung
f(x)d Fläche zwischen Glf) und -Achse
=
2
f(x) = 0vx [aib]
3 -[f(x)d =
Fläche zwischen Glf) und -Achse
f(x) = 0V x ( [aib]
4 sei ce Jaibl
↑ f(x)dx +
& f(x)dx =
( f(x)dx
5 sei ce [aib]
! f(x)dx =
0
