Hoofdstuk 5
Vectorruimten
Vectorruimten
Vector kan nu een lijst van getallen, matrices, ... zijn
Vectorruimte = niet-lege verzameling V van vectoren waarvoor de 10 axioma’s gelden met 3 belangrijkste:
▪ De optelling in de ruimte is inwendig
▪ De scalaire vermenigvuldiging in de ruimte is inwendig
▪ De nulvector (matrix of coördinaat of veelterm of …) zit in de ruimte
▪ …
Als aan 1 van de 10 niet voldaan is, is het geen vectorruimte, alle 10 nagaan om te besluiten of het VR is
Paar voorbeelden van een vectorruimte
▪ IR² = verzameling van alle koppels coördinaten
▪ M22 = vectorruimte van alle 2x2 matrices
▪ IPn = verzameling van alle veeltermen van hoogste graad n: 𝑝⃗(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + anxn
Deelruimten
Deelruimte W = een deelverzameling van de vectorruimte die aan 3 eigenschappen voldoet:
Ook alle 3 nagaan om te besluiten of het een deelruimte is van V
De span van een vectorruimte is altijd een deelruimte van die vectorruimte
Dus als je een deelverzameling als span van de vectorruimte kan schrijven is het een deelruimte
Dus vanaf je W kan schrijven als een opspanning van V toon je aan dat het een deelruimte ervan is
Een opspanning voldoet sws aan de drie voorwaarden voor een deelruimte
Basissen
Basis B = {𝑏⃗⃗1, 𝑏⃗⃗2, .. } = voortbrengende verzameling voor een ruimte, net zoals een span, maar waarvan de
vectoren lineair onafhankelijk zijn bij een opspanning kunnen de vectoren lineair afhankelijk zijn
Een basis {𝑏⃗⃗1, 𝑏⃗⃗2, .. } vormt een deelruimte van V als B dus onafhankelijk is en de vectorruimte = span{𝑏⃗⃗1, 𝑏⃗⃗2, .. }
Standaardbasis = {𝑒⃗1, 𝑒⃗2, .. } (Kolommen zijn lineair onafhankelijk en dus allemaal pivotkolommen)
S = {1, x, x², x³, …, xn} = standaardbasis voor IPn
Onderzoeken of {v1, v2, v3} voortbrengend is (opspannen) + onafhankelijk
Vectoren als kolommatrices pakken en samenbrengen, dan reduceren en kijken naar het aantal
pivots, als alle kolommen pivots zijn, dan vormen ze een basis voor de kolomruimte en dus de
vetorruimte
o Strijdig stelsel niet voortbrengend
o 1 unieke oplossing basisvariabelen, voortbrengend en onafhankelijk (basis), enige
oplossing van de lineaire combo = 0
o Oneindig oplossingen vrije variabelen, voortbrengend maar afhankelijk
Vectorruimten
Vectorruimten
Vector kan nu een lijst van getallen, matrices, ... zijn
Vectorruimte = niet-lege verzameling V van vectoren waarvoor de 10 axioma’s gelden met 3 belangrijkste:
▪ De optelling in de ruimte is inwendig
▪ De scalaire vermenigvuldiging in de ruimte is inwendig
▪ De nulvector (matrix of coördinaat of veelterm of …) zit in de ruimte
▪ …
Als aan 1 van de 10 niet voldaan is, is het geen vectorruimte, alle 10 nagaan om te besluiten of het VR is
Paar voorbeelden van een vectorruimte
▪ IR² = verzameling van alle koppels coördinaten
▪ M22 = vectorruimte van alle 2x2 matrices
▪ IPn = verzameling van alle veeltermen van hoogste graad n: 𝑝⃗(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + anxn
Deelruimten
Deelruimte W = een deelverzameling van de vectorruimte die aan 3 eigenschappen voldoet:
Ook alle 3 nagaan om te besluiten of het een deelruimte is van V
De span van een vectorruimte is altijd een deelruimte van die vectorruimte
Dus als je een deelverzameling als span van de vectorruimte kan schrijven is het een deelruimte
Dus vanaf je W kan schrijven als een opspanning van V toon je aan dat het een deelruimte ervan is
Een opspanning voldoet sws aan de drie voorwaarden voor een deelruimte
Basissen
Basis B = {𝑏⃗⃗1, 𝑏⃗⃗2, .. } = voortbrengende verzameling voor een ruimte, net zoals een span, maar waarvan de
vectoren lineair onafhankelijk zijn bij een opspanning kunnen de vectoren lineair afhankelijk zijn
Een basis {𝑏⃗⃗1, 𝑏⃗⃗2, .. } vormt een deelruimte van V als B dus onafhankelijk is en de vectorruimte = span{𝑏⃗⃗1, 𝑏⃗⃗2, .. }
Standaardbasis = {𝑒⃗1, 𝑒⃗2, .. } (Kolommen zijn lineair onafhankelijk en dus allemaal pivotkolommen)
S = {1, x, x², x³, …, xn} = standaardbasis voor IPn
Onderzoeken of {v1, v2, v3} voortbrengend is (opspannen) + onafhankelijk
Vectoren als kolommatrices pakken en samenbrengen, dan reduceren en kijken naar het aantal
pivots, als alle kolommen pivots zijn, dan vormen ze een basis voor de kolomruimte en dus de
vetorruimte
o Strijdig stelsel niet voortbrengend
o 1 unieke oplossing basisvariabelen, voortbrengend en onafhankelijk (basis), enige
oplossing van de lineaire combo = 0
o Oneindig oplossingen vrije variabelen, voortbrengend maar afhankelijk
