Relativiteit Katern D Natuurkunde vwo
§D.1 Tijdrek en lengtekrimp
Referentiestelsel
Je ziet alle bewegingen in een stelsel waarvan jij het middelpunt bent. Zo'n stelsel noem
je een referentiestelsel.
Speciale relativiteitstheorie
Als 2 waarnemers ten opzichte van elkaar bewegen, nemen ze voor hetzelfde proces
een verschillende tijd en afstand waar. De enige waarneming die overeenkomt is de
snelheid van het licht (c). De ruimte en de tijd zijn aan elkaar gekoppeld en vormen
samen de ruimtetijd.
Muonen ontstaan bovenin de atmosfeer door botsingen van deeltjes uit de ruimte met
moleculen in de atmosfeer. Een muon heeft een gemiddelde levensduur van maar 2,2
microseconde en beweegt met bijna de lichtsnelheid. Een muon kan dus maximaal een
afstand afleggen van x = c * t = 3,0 * 108 * 2,2 * 10-6 = 660 meter. De atmosfeer is 10 km
dik. Muonen zouden dus op het oppervlak van de aarde niet waargenomen worden.
Einsteins speciale relativiteitstheorie stelt dat de afstanden in het referentiestelsel
van de muonen zijn gekrompen ten opzichte van die in het referentiestelsel van een
waarnemer op aarde. Tegelijkertijd is de tijd gerekt in het referentiestelsel van de
waarnemers op aarde ten opzichte van die in het referentiestelsel van de muonen. De
afstanden en tijden in het referentiestelsel van de muonen en in het referentiestelsel
van de waarnemers op aarde komen dus niet overeen. Deze theorie werkt enkel voor
referentiestelsels die eenparig ten opzichte van elkaar bewegen. De algemene
relativiteitstheorie beschrijft ook versnelde bewegingen en het effect van de
zwaartekracht op de ruimtetijd.
Tijdrek
Licht kun je opgebouwd denken uit deeltjes die bewegen met de lichtsnelheid. Deze
deeltjes noem je fotonen. Een lichtklok bestaat uit 2 spiegels waartussen een foton
heen en weer beweegt. Een tijd die een foton nodig heeft om van de ene spiegel naar
de andere en weer terug te bewegen is de periode T.
Een proces in een stelsel dat beweegt ten opzichte van jou, duurt voor jou langer dan
voor een waarnemer in het stelsel zelf. Dit verschijnsel noem je tijdrek. Je berekent de
tijdrek met:
∆tb = γ * ∆te
, - ∆tb is de tijd van een proces in s, die een waarnemer meet als hij beweegt ten
opzichte van het ruststelsel van het proces.
- ∆te is de eigentijd van een proces in s, die een waarnemer meet als hij zich in het
ruststelsel van het proces bevindt.
- γ is de relativistische factor en heeft geen eenheid.
De relativistische factor γ is altijd groter of gelijk aan 1. Er geldt:
1
γ= 𝑣²
1− 𝑐²
- v is de snelheid in m/s.
- c is de lichtsnelheid in m/s.
Dat je muonen detecteert op het aardoppervlak, terwijl ze maar 2,2 microseconden
leven in hun ruststelsel, is een gevolg van tijdrek. γ van een muon dat met een snelheid
van 99,9% van de lichtsnelheid beweegt is:
1
γ= (0,999𝑐)²
= 22,4
1− 𝑐²
In ons stelsel leeft het muon dan:
∆tb = 22,4 * 2,2 * 10-6 = 4,9 * 10-5 s
In die tijd verplaatst het muon zich over een afstand van:
s = 0,999 * 2,9979 * 108 * 4,9 * 10-5 = 1,5 * 104 m = 15 km
De muonen kunnen dus de atmosfeer met een dikte van 10 km doorkomen.
Lengtekrimp
De tijd die 2 waarnemers meten hangt af van hun referentiestelsel. Ook afstanden in de
bewegingsrichting hangen af van het referentiestelsel van een waarnemer. Een
voorwerp dat ten opzichte van jou beweegt, neem je smaller waar. Dit verschijnsel heet
lengtekrimp. Deze lengtekrimp geldt alleen voor de richting waarin het voorwerp
beweegt. De lengte in het bewegende stelsel bereken je met:
ℓₑ
ℓb = γ
- ℓb is de lengte in m die een waarnemer meet als hij beweegt ten opzichte van het
ruststelsel van het voorwerp.
- ℓe is de eigenlengte in m die een waarnemer meet als hij zich in het ruststelsel
van het voorwerp bevindt.
- γ is de relativistische factor en heeft geen eenheid.
§D.2 Ruimtetijd-diagram
Referentiestelsels
In een ruimtetijd-diagram kun je tegelijkertijd laten zien hoe een stilstaande waarnemer
en een bewegende waarnemer verschijnselen ervaren. De ruimte wordt horizontaal
§D.1 Tijdrek en lengtekrimp
Referentiestelsel
Je ziet alle bewegingen in een stelsel waarvan jij het middelpunt bent. Zo'n stelsel noem
je een referentiestelsel.
Speciale relativiteitstheorie
Als 2 waarnemers ten opzichte van elkaar bewegen, nemen ze voor hetzelfde proces
een verschillende tijd en afstand waar. De enige waarneming die overeenkomt is de
snelheid van het licht (c). De ruimte en de tijd zijn aan elkaar gekoppeld en vormen
samen de ruimtetijd.
Muonen ontstaan bovenin de atmosfeer door botsingen van deeltjes uit de ruimte met
moleculen in de atmosfeer. Een muon heeft een gemiddelde levensduur van maar 2,2
microseconde en beweegt met bijna de lichtsnelheid. Een muon kan dus maximaal een
afstand afleggen van x = c * t = 3,0 * 108 * 2,2 * 10-6 = 660 meter. De atmosfeer is 10 km
dik. Muonen zouden dus op het oppervlak van de aarde niet waargenomen worden.
Einsteins speciale relativiteitstheorie stelt dat de afstanden in het referentiestelsel
van de muonen zijn gekrompen ten opzichte van die in het referentiestelsel van een
waarnemer op aarde. Tegelijkertijd is de tijd gerekt in het referentiestelsel van de
waarnemers op aarde ten opzichte van die in het referentiestelsel van de muonen. De
afstanden en tijden in het referentiestelsel van de muonen en in het referentiestelsel
van de waarnemers op aarde komen dus niet overeen. Deze theorie werkt enkel voor
referentiestelsels die eenparig ten opzichte van elkaar bewegen. De algemene
relativiteitstheorie beschrijft ook versnelde bewegingen en het effect van de
zwaartekracht op de ruimtetijd.
Tijdrek
Licht kun je opgebouwd denken uit deeltjes die bewegen met de lichtsnelheid. Deze
deeltjes noem je fotonen. Een lichtklok bestaat uit 2 spiegels waartussen een foton
heen en weer beweegt. Een tijd die een foton nodig heeft om van de ene spiegel naar
de andere en weer terug te bewegen is de periode T.
Een proces in een stelsel dat beweegt ten opzichte van jou, duurt voor jou langer dan
voor een waarnemer in het stelsel zelf. Dit verschijnsel noem je tijdrek. Je berekent de
tijdrek met:
∆tb = γ * ∆te
, - ∆tb is de tijd van een proces in s, die een waarnemer meet als hij beweegt ten
opzichte van het ruststelsel van het proces.
- ∆te is de eigentijd van een proces in s, die een waarnemer meet als hij zich in het
ruststelsel van het proces bevindt.
- γ is de relativistische factor en heeft geen eenheid.
De relativistische factor γ is altijd groter of gelijk aan 1. Er geldt:
1
γ= 𝑣²
1− 𝑐²
- v is de snelheid in m/s.
- c is de lichtsnelheid in m/s.
Dat je muonen detecteert op het aardoppervlak, terwijl ze maar 2,2 microseconden
leven in hun ruststelsel, is een gevolg van tijdrek. γ van een muon dat met een snelheid
van 99,9% van de lichtsnelheid beweegt is:
1
γ= (0,999𝑐)²
= 22,4
1− 𝑐²
In ons stelsel leeft het muon dan:
∆tb = 22,4 * 2,2 * 10-6 = 4,9 * 10-5 s
In die tijd verplaatst het muon zich over een afstand van:
s = 0,999 * 2,9979 * 108 * 4,9 * 10-5 = 1,5 * 104 m = 15 km
De muonen kunnen dus de atmosfeer met een dikte van 10 km doorkomen.
Lengtekrimp
De tijd die 2 waarnemers meten hangt af van hun referentiestelsel. Ook afstanden in de
bewegingsrichting hangen af van het referentiestelsel van een waarnemer. Een
voorwerp dat ten opzichte van jou beweegt, neem je smaller waar. Dit verschijnsel heet
lengtekrimp. Deze lengtekrimp geldt alleen voor de richting waarin het voorwerp
beweegt. De lengte in het bewegende stelsel bereken je met:
ℓₑ
ℓb = γ
- ℓb is de lengte in m die een waarnemer meet als hij beweegt ten opzichte van het
ruststelsel van het voorwerp.
- ℓe is de eigenlengte in m die een waarnemer meet als hij zich in het ruststelsel
van het voorwerp bevindt.
- γ is de relativistische factor en heeft geen eenheid.
§D.2 Ruimtetijd-diagram
Referentiestelsels
In een ruimtetijd-diagram kun je tegelijkertijd laten zien hoe een stilstaande waarnemer
en een bewegende waarnemer verschijnselen ervaren. De ruimte wordt horizontaal
