Hoofdstuk 8
Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren
⃗ = 𝝀𝒙
𝑨𝒙 ⃗
▪ 𝐴𝑥 = lineaire transformatie met A de tranformatiematrix
▪ 𝑥 = eigenvector = intuïtief een vector die niet veranderd
▪ λ = eigenwaarde
Ga na of volgende vectoren eigenvectoren zijn van de matrix A
▪ Bereken 𝐴𝑥 en kijk of je het kan herschrijven als een scalair maal 𝑥 => 𝜆𝑥
▪ Meetkundige interpretatie:
o Beschouw de vector die je moet onderzoeken in het assenstelsel, als de nieuwe vector
gevormd door 𝐴𝑥 op de rechte ligt dat de oorsprong en de vector vormen, is het een veelvoud
en dus een eigenvector van A
Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren voor een gegeven A !!!goed beheersen
▪ 𝑨𝒙⃗ = 𝝀𝒙
⃗ met 𝒙
⃗ ≠ 0 dus de nuloplossing kan al niet
▪ 𝐴𝑥 – 𝜆𝑥 = ⃗0
▪ (𝐴 – 𝜆𝐼)𝑥 = ⃗0
▪ Dan de 𝑥 ’en zoeken zodat dit stelsel meer dan 1 oplossing heeft
Dus deze matrix mag NIET inverteerbaar zijn (anders heb je een unieke oplossing) → det = 0
▪ det(𝐴 – 𝜆𝐼) = 0 (op de hoofdiagonaal van A telkens – λ doen)
▪ Dit oplossen en zo bekom je uitdrukkingen voor 𝜆 = …. = de eigenwaarden
o Bij matrices groter dan 2x2 zal je moeten proberen rij/kolom ontwikkelen
o Probeer 0’en te creëren
▪ Nu alle eigenwaarden als gevallen beschouwen om de bijhorende eigenruimte met eigenvectoren
te bepalen
▪ ⃗ ] en rij herleidt deze matrix
Vul λ in, in de uitgebreide matrix [(𝐴 – 𝜆𝐼) 0
▪ 𝑥 = [oplossing] → parameterisatie en zo bekom je de eigenruimte = al de eigenvectoren voor die λ
= eigenruimte εA(λ) van die eigenwaarde λ
meetkundig kan je de eigenruimte als een lijn (1 vector) of als vlak (2 vectoren), …. Voorstellen
= alle eigenvectoren die in die ruimte zitten behorend tot die specifieke eigenwaarde, van A
De karakteristieke vergelijking pA(𝝀)
→ bevat de eigenwaarden van 𝑨 – 𝝀𝑰
Kan ontbonden worden in factoren van de eerste graad = de eigenwaarden, kan met multipliciteit 2 of meer
De eigenruimte εA(λ) van een eigenwaarde λ
= de verzameling van alle eigenvectoren bij λ
▪ De eigenruimte εA(λ) = N(𝑨 – 𝝀𝑰), de nulruimte van (𝑨 – 𝝀𝑰) met 𝝀 ingevuld
Algebraïsche multipliciteit αA(λ) = aantal keer dat λ als wortel in pA(λ) voorkomt
Meetkundige multipliciteit γA(λ) = de dimensie van εA(λ) = aantal vectoren die het opspant (na parameter)
▪ Als αA(λ) = γA(λ) VA L, dan is A diagonaliseerbaar met A = PDP-1 zie hfst 9
Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren
⃗ = 𝝀𝒙
𝑨𝒙 ⃗
▪ 𝐴𝑥 = lineaire transformatie met A de tranformatiematrix
▪ 𝑥 = eigenvector = intuïtief een vector die niet veranderd
▪ λ = eigenwaarde
Ga na of volgende vectoren eigenvectoren zijn van de matrix A
▪ Bereken 𝐴𝑥 en kijk of je het kan herschrijven als een scalair maal 𝑥 => 𝜆𝑥
▪ Meetkundige interpretatie:
o Beschouw de vector die je moet onderzoeken in het assenstelsel, als de nieuwe vector
gevormd door 𝐴𝑥 op de rechte ligt dat de oorsprong en de vector vormen, is het een veelvoud
en dus een eigenvector van A
Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren voor een gegeven A !!!goed beheersen
▪ 𝑨𝒙⃗ = 𝝀𝒙
⃗ met 𝒙
⃗ ≠ 0 dus de nuloplossing kan al niet
▪ 𝐴𝑥 – 𝜆𝑥 = ⃗0
▪ (𝐴 – 𝜆𝐼)𝑥 = ⃗0
▪ Dan de 𝑥 ’en zoeken zodat dit stelsel meer dan 1 oplossing heeft
Dus deze matrix mag NIET inverteerbaar zijn (anders heb je een unieke oplossing) → det = 0
▪ det(𝐴 – 𝜆𝐼) = 0 (op de hoofdiagonaal van A telkens – λ doen)
▪ Dit oplossen en zo bekom je uitdrukkingen voor 𝜆 = …. = de eigenwaarden
o Bij matrices groter dan 2x2 zal je moeten proberen rij/kolom ontwikkelen
o Probeer 0’en te creëren
▪ Nu alle eigenwaarden als gevallen beschouwen om de bijhorende eigenruimte met eigenvectoren
te bepalen
▪ ⃗ ] en rij herleidt deze matrix
Vul λ in, in de uitgebreide matrix [(𝐴 – 𝜆𝐼) 0
▪ 𝑥 = [oplossing] → parameterisatie en zo bekom je de eigenruimte = al de eigenvectoren voor die λ
= eigenruimte εA(λ) van die eigenwaarde λ
meetkundig kan je de eigenruimte als een lijn (1 vector) of als vlak (2 vectoren), …. Voorstellen
= alle eigenvectoren die in die ruimte zitten behorend tot die specifieke eigenwaarde, van A
De karakteristieke vergelijking pA(𝝀)
→ bevat de eigenwaarden van 𝑨 – 𝝀𝑰
Kan ontbonden worden in factoren van de eerste graad = de eigenwaarden, kan met multipliciteit 2 of meer
De eigenruimte εA(λ) van een eigenwaarde λ
= de verzameling van alle eigenvectoren bij λ
▪ De eigenruimte εA(λ) = N(𝑨 – 𝝀𝑰), de nulruimte van (𝑨 – 𝝀𝑰) met 𝝀 ingevuld
Algebraïsche multipliciteit αA(λ) = aantal keer dat λ als wortel in pA(λ) voorkomt
Meetkundige multipliciteit γA(λ) = de dimensie van εA(λ) = aantal vectoren die het opspant (na parameter)
▪ Als αA(λ) = γA(λ) VA L, dan is A diagonaliseerbaar met A = PDP-1 zie hfst 9
