Hoofdstuk 9
Diagonalisering
Diagonalisering
Een vierkante matrix A is diagonaliseerbaar als er een diagonaalmatrix D en een inverteerbare matrix P
bestaat zodat A = PDP-1 een lineair onafhankelijke verzameling bestaat die n eigenvectoren van A bevat
▪ Diagonaalmatrix D bestaat uit de eigenwaarden van A op de hoofddiagonaal, de rest is 0
▪ Inverse matrix P bestaat uit de lineaire onafhankelijke eigenvectoren van A
=> de eigenvectoren zijn onafhankelijk want P is inverteerbaar
Ga na of A diagonaliseerbaar is:
▪ Bereken de eigenwaarden
▪ Bereken de eigenvectoren (eigenruimte berekenen)
▪ Stel P en D op !!!let op: de eigenvector in kolom 1 van P komt overeen met het eerste element op de
diagonaal van D enzo verder, eigenwaarden moeten hier niet van groot naar klein
▪ A = PDP-1 → AP = PD als P inverteerbaar is heb je A = PDP-1 AP = PD
▪ Of korter, heb je allemaal verschillende eigenwaarden? Is 𝛼 = 𝛾 voor alle eigenwaarden
Als je twee dezelfde eigenwaarden hebt zal je niet n eigenvectoren hebben bij n verschillende eigenwaarden
Zal niet diagonaliseerbaar zijn want je zal geen lineair onafhankelijke verzameling eigenvectoren
hebben, dus P zal ook niet inverteerbaar zijn
Is niet hetzelfde als twee eigenvectoren binnen eigenruimte van een eigenwaarde hebben
Machten van matrices
Indien A diagonaliseerbaar is: Ak = PDkP-1
Aangezien D een diagonaalmatrix is (enkele elementen op de diagonaal) mag je elk element afzonderlijk tot die
macht doen op de hoofddiagonaal
Discrete dynamische systemen
Het beschrijft een verandering in een biologisch, fysisch of chemisch proces doorheen discrete tijdstappen
𝑥⃗ 0 = starttoestand van de variabelen en met A = overgangsmatrix
𝑥⃗ 1 = A𝑥⃗ 0
𝑥⃗ 2 = A𝑥⃗ 1 = A²𝑥⃗ 0
⃗⃗k = Ak𝒙
𝒙 ⃗⃗0
Indien A ook diagonaliseerbaar is
Hebt n lineair onafhankelijke eigenvectoren die samen een basis voor IRn vormen 𝒙
⃗⃗k = Ak𝒙
⃗⃗0 = PDkP-1𝒙
⃗⃗0
Elke 𝑥⃗ 0, element van IR kan als een lineaire combo ervan geschreven worden
n
Diagonalisering
Diagonalisering
Een vierkante matrix A is diagonaliseerbaar als er een diagonaalmatrix D en een inverteerbare matrix P
bestaat zodat A = PDP-1 een lineair onafhankelijke verzameling bestaat die n eigenvectoren van A bevat
▪ Diagonaalmatrix D bestaat uit de eigenwaarden van A op de hoofddiagonaal, de rest is 0
▪ Inverse matrix P bestaat uit de lineaire onafhankelijke eigenvectoren van A
=> de eigenvectoren zijn onafhankelijk want P is inverteerbaar
Ga na of A diagonaliseerbaar is:
▪ Bereken de eigenwaarden
▪ Bereken de eigenvectoren (eigenruimte berekenen)
▪ Stel P en D op !!!let op: de eigenvector in kolom 1 van P komt overeen met het eerste element op de
diagonaal van D enzo verder, eigenwaarden moeten hier niet van groot naar klein
▪ A = PDP-1 → AP = PD als P inverteerbaar is heb je A = PDP-1 AP = PD
▪ Of korter, heb je allemaal verschillende eigenwaarden? Is 𝛼 = 𝛾 voor alle eigenwaarden
Als je twee dezelfde eigenwaarden hebt zal je niet n eigenvectoren hebben bij n verschillende eigenwaarden
Zal niet diagonaliseerbaar zijn want je zal geen lineair onafhankelijke verzameling eigenvectoren
hebben, dus P zal ook niet inverteerbaar zijn
Is niet hetzelfde als twee eigenvectoren binnen eigenruimte van een eigenwaarde hebben
Machten van matrices
Indien A diagonaliseerbaar is: Ak = PDkP-1
Aangezien D een diagonaalmatrix is (enkele elementen op de diagonaal) mag je elk element afzonderlijk tot die
macht doen op de hoofddiagonaal
Discrete dynamische systemen
Het beschrijft een verandering in een biologisch, fysisch of chemisch proces doorheen discrete tijdstappen
𝑥⃗ 0 = starttoestand van de variabelen en met A = overgangsmatrix
𝑥⃗ 1 = A𝑥⃗ 0
𝑥⃗ 2 = A𝑥⃗ 1 = A²𝑥⃗ 0
⃗⃗k = Ak𝒙
𝒙 ⃗⃗0
Indien A ook diagonaliseerbaar is
Hebt n lineair onafhankelijke eigenvectoren die samen een basis voor IRn vormen 𝒙
⃗⃗k = Ak𝒙
⃗⃗0 = PDkP-1𝒙
⃗⃗0
Elke 𝑥⃗ 0, element van IR kan als een lineaire combo ervan geschreven worden
n
