Hoofdstuk 12
Symmetrische matrices
Orthogonale matrices
Eigenschappen voor een orthogonale matrix U geldt
▪ Orthonormale verzameling kolomvectoren (ook orthogonaal dus, staan loodrecht op elkaar en hebben
norm 1) + de kolomvectoren zijn ook lineair onafhankelijk
▪ UT = U-1
▪ ||U𝑥⃗|| = ||𝑥⃗|| bij een lineaire transformatie met een orthogonale matrix U op een vector
zal de norm van de vector waarvan je vertrekt hetzelfde blijven
▪ (U𝑥⃗) (U𝑦⃗) = 𝑥⃗ 𝑦⃗
. .
het scalair product zal niet veranderen als je op beide een lineaire transformatie
doet met een orthogonale matrix
▪ (U𝑥⃗) (U𝑦⃗) = 0
. ⃗⃗ 𝑥⃗ . 𝑦⃗ = ⃗0⃗, dus voor de lineaire transformatie moet het product ook ⃗0⃗ zijn
Symmetrische matrices
Voor een symmetrische, reële matrix geldt:
▪ A is een vierkante matrix
▪ A = AT
▪ A heeft reële eigenwaarden
▪ Eigenvectoren die bij verschillende eigenwaarden vormen een orthogonale verzameling (dus ook
lineair onafhankelijk) (nog sterker dan lineair onafhankelijk, wat ook geldt bij eigenvetoren van
verschillende eigenwaarden)
▪ αA(λ) = γA(λ) voor een eigenwaarde, ook sterker dan algemeen αA(λ) ≥ γA(λ) (nodig om diagonaliseerbaar
te zijn)
▪ A is orthogonaal diagonaliseerbaar → A = PDP-1 = PDPT met P = orthogonale matrix = orthogonale
diagonalisatie, hoeft niet meer inverse te berekenen (ortoghonale matrix → orthonormale vect)
Schrijf A als PDPT:
Bereken de eigenwaarden en de bijhorende eigenvectoren
Een symmetrische matrix heeft al de eigenschap dat de eigenvectoren onderling orthogonaal zijn dus
hoeft dit eigenlijk niet te checken
Wel de vectoren nog normaliseren (delen door norm) want moet orthogonale matrix P hebben =
orthonormale vectoren, de vectoren zijn onderling wel al orthogonaal
Samen zetten in P en corresponderende D opstellen
Bereken dan PT ipv de inverse
!!! indien je twee keer een eigenwaarde hebt zal je ook 2 eigenvectoren hebben zodat αA(λ) = γA(λ) voor
elke eigenwaarde want moet voor een symmetrische matrix
Analyse van kwadratische vormen
Kwadratische vorm = Q(𝒙
⃗⃗) = 𝒙
⃗⃗TA 𝒙
⃗⃗ met A een symmetrische matrix, vb:
=
Dan moet A opgesteld worden, de rijen worden van x1 tot x3 genummerd in dit geval, evenals de kolommen, zo
komt op a11 x1² te staan en op a12 en a21 x1x2, zo bekom je dus de symmetrische matrix
Stel 𝑥⃗ = [x1, x2, x3]
Kan dus een kwadratische vorm als een matrix schrijven (A)
!!! als je bv -4x1x2 hebt herschrijven als -2x1x2 -2x1x2 zodat je op a12 en a21 -2 kan schrijven
Symmetrische matrices
Orthogonale matrices
Eigenschappen voor een orthogonale matrix U geldt
▪ Orthonormale verzameling kolomvectoren (ook orthogonaal dus, staan loodrecht op elkaar en hebben
norm 1) + de kolomvectoren zijn ook lineair onafhankelijk
▪ UT = U-1
▪ ||U𝑥⃗|| = ||𝑥⃗|| bij een lineaire transformatie met een orthogonale matrix U op een vector
zal de norm van de vector waarvan je vertrekt hetzelfde blijven
▪ (U𝑥⃗) (U𝑦⃗) = 𝑥⃗ 𝑦⃗
. .
het scalair product zal niet veranderen als je op beide een lineaire transformatie
doet met een orthogonale matrix
▪ (U𝑥⃗) (U𝑦⃗) = 0
. ⃗⃗ 𝑥⃗ . 𝑦⃗ = ⃗0⃗, dus voor de lineaire transformatie moet het product ook ⃗0⃗ zijn
Symmetrische matrices
Voor een symmetrische, reële matrix geldt:
▪ A is een vierkante matrix
▪ A = AT
▪ A heeft reële eigenwaarden
▪ Eigenvectoren die bij verschillende eigenwaarden vormen een orthogonale verzameling (dus ook
lineair onafhankelijk) (nog sterker dan lineair onafhankelijk, wat ook geldt bij eigenvetoren van
verschillende eigenwaarden)
▪ αA(λ) = γA(λ) voor een eigenwaarde, ook sterker dan algemeen αA(λ) ≥ γA(λ) (nodig om diagonaliseerbaar
te zijn)
▪ A is orthogonaal diagonaliseerbaar → A = PDP-1 = PDPT met P = orthogonale matrix = orthogonale
diagonalisatie, hoeft niet meer inverse te berekenen (ortoghonale matrix → orthonormale vect)
Schrijf A als PDPT:
Bereken de eigenwaarden en de bijhorende eigenvectoren
Een symmetrische matrix heeft al de eigenschap dat de eigenvectoren onderling orthogonaal zijn dus
hoeft dit eigenlijk niet te checken
Wel de vectoren nog normaliseren (delen door norm) want moet orthogonale matrix P hebben =
orthonormale vectoren, de vectoren zijn onderling wel al orthogonaal
Samen zetten in P en corresponderende D opstellen
Bereken dan PT ipv de inverse
!!! indien je twee keer een eigenwaarde hebt zal je ook 2 eigenvectoren hebben zodat αA(λ) = γA(λ) voor
elke eigenwaarde want moet voor een symmetrische matrix
Analyse van kwadratische vormen
Kwadratische vorm = Q(𝒙
⃗⃗) = 𝒙
⃗⃗TA 𝒙
⃗⃗ met A een symmetrische matrix, vb:
=
Dan moet A opgesteld worden, de rijen worden van x1 tot x3 genummerd in dit geval, evenals de kolommen, zo
komt op a11 x1² te staan en op a12 en a21 x1x2, zo bekom je dus de symmetrische matrix
Stel 𝑥⃗ = [x1, x2, x3]
Kan dus een kwadratische vorm als een matrix schrijven (A)
!!! als je bv -4x1x2 hebt herschrijven als -2x1x2 -2x1x2 zodat je op a12 en a21 -2 kan schrijven
