Pseudoinverse
- nur Eigenschaften und Berechnung mit SVD, KEINE Herleitung rechnen können (bitte
trotzdem anschauen und verstehen)
Die Pseudoinverse ist eine Verallgemeinerung der inversen Matrix für Matrizen, die
invertierbar sind. Die Pseudoinverse einer Matrix ermöglicht es, Gleichungssysteme zu lösen
und Regressionen durchzuführen, auch wenn die Matrix nicht vollen Rang hat.
Nochmals: Bildrektifizierung
Homographie 3x3-Matrix
Skalierung irrelevant. Bleiben 8 freie Parameter benötige 4 Punktkorrespondenzen!
Löse Gleichungssystem. Wie?
Ziel ein Rechteck zu generieren
Lösung eines Gleichungssystems
Finde vi, sodass
Vektorschreibweise:
Lösung:
Was tun, wenn A nicht invertierbar?
A diagonal
Lösung einfach, wenn A diagonal ist:
Kern und Bild einer linearen Abbildung
Kern = Untervektorraum, der aus allen Vektoren besteht, die auf 0 abgebildet werden.
, Bild = Untervektorraum, der aus allen Vektoren besteht, die sich als Ergebnis der
Abbildung schreiben lassen.
Pseudoinverse einer Diagonalmatrix, Beispiel:
Diagonalisierung
Jede symmetrische nxn-Matrix kann diagonalisiert werden:
Spaltenvektoren ui von U sind Eigenvektoren
Diagonalelemente wi sind Eigenwerte
Ui sind orthogonal:
Pseudoinverse der diagonalisierten Matrix
- nur Eigenschaften und Berechnung mit SVD, KEINE Herleitung rechnen können (bitte
trotzdem anschauen und verstehen)
Die Pseudoinverse ist eine Verallgemeinerung der inversen Matrix für Matrizen, die
invertierbar sind. Die Pseudoinverse einer Matrix ermöglicht es, Gleichungssysteme zu lösen
und Regressionen durchzuführen, auch wenn die Matrix nicht vollen Rang hat.
Nochmals: Bildrektifizierung
Homographie 3x3-Matrix
Skalierung irrelevant. Bleiben 8 freie Parameter benötige 4 Punktkorrespondenzen!
Löse Gleichungssystem. Wie?
Ziel ein Rechteck zu generieren
Lösung eines Gleichungssystems
Finde vi, sodass
Vektorschreibweise:
Lösung:
Was tun, wenn A nicht invertierbar?
A diagonal
Lösung einfach, wenn A diagonal ist:
Kern und Bild einer linearen Abbildung
Kern = Untervektorraum, der aus allen Vektoren besteht, die auf 0 abgebildet werden.
, Bild = Untervektorraum, der aus allen Vektoren besteht, die sich als Ergebnis der
Abbildung schreiben lassen.
Pseudoinverse einer Diagonalmatrix, Beispiel:
Diagonalisierung
Jede symmetrische nxn-Matrix kann diagonalisiert werden:
Spaltenvektoren ui von U sind Eigenvektoren
Diagonalelemente wi sind Eigenwerte
Ui sind orthogonal:
Pseudoinverse der diagonalisierten Matrix
