Samenvatting: Wiskunde voor statistiek, een voorbereiding.

Samenvatting Wiskunde voor statistiek: een
voorbereiding.
Literatuur:
Wiskunde voor statistiek: een voorbereiding.
Geschreven door W.M. Franken en R.A. Bouts.
Tweede, herziene druk, 2008.
ISBN 978 90 6283 317 7

+ aantekeningen colleges wiskunde met voorbeelden.

Hoofdstuk 1. Verzamelingen
Verzameling: “Een duidelijk afgebakend geheel van objecten, waarbij de
objecten (elementen) aan bepaalde voorwaarden moeten voldoen om tot de
verzameling te behoren.”
Deze elementen kunnen van alles zijn: getallen, letters, andere verzamelingen,
mensen, dieren, etc.
Notatie van verzameling: Een verzameling wordt aangegeven door een
opsomming te geven van alle elementen, die tot de verzameling behoren. De
elementen worden geplaatst binnen accolades en gescheiden door komma’s.

Opmerking:
 Volgorde mag willekeurig: hoeft niet oplopend
 Elk element mag maar 1 keer voor komen in de verzameling

Voorbeeld: Als A: ‘de verzameling van de eerste 5 letters van het alfabet’
voorstelt, dan kunnen we verzameling A als volgt weergeven:
Uitkomst: A = {a, b, c, d, e}.

Voorbeeld:
A: de verzameling van positieve getallen kleiner dan 10.
A: de verzameling van positieve hele getallen van 1 tot en met 9.
Uitkomst: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Element van: geeft aan of een variabele of getal wel/niet in de verzameling zit
Voorbeeld: A = {a, c, e, g}
 a is een element van verzameling A, c is een element van verzameling A
 b is geenelement van A, 10 is geenelement van A
 Korter:
a∈A c∈A
b ∈ A 10 ∈ A

∈ = is wel een element van.
∈ = is geen element van.

Deelverzameling: A is een deelverzameling van B, als B minstens alle
elementen van A bevat.
Teken van deelverzameling:

,Voorbeeld:
A = {0, 2, 4}
B = {-4, -2, 0, 2, 4, 6}
Uitkomst: A is een deelverzameling van B  A B
Ook andersom: (B omvat A)

Doorsnede: de doorsnede van de verzamelingen A en B, is de verzameling die
bestaat uit de elementen die in A en B zitten.
Teken van doorsnede: ∩
Voorbeeld:
A = {10, 20, 40}
B = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}
Uitkomst: A doorsnede B is de verzameling {10, 20}  A ∩ B = {10, 20}

Vereniging: de vereniging van twee verzamelingen A en B, is de verzameling
met alle elementen uit A en B  verzameling van alle elementen uit A en B.
! opmerking: geen dubbelingen (dezelfde getallen 2x opschrijven) en hoeft niet
op volgorde, mag wel.
Teken van vereniging: ∪
Voorbeeld:
A = {1, 5, 10}
B = {1, 2, 4, 7}
Uitkomst: A vereniging B = {1, 5, 10, 2, 4, 7}  A ∪ B = {1, 5, 10, 2, 4, 7}

Speciale gevallen:
 Identieke/gelijke verzamelingen A=B (A en B bevatten dezelfde
elementen)
 De lege verzameling A = {} = ∅ (verzameling zonder elementen)
 Disjuncte verzameling (als de doorsnede van twee verzamelingen leeg is
 dus geen overeenkomst in getallen als er gekeken wordt naar
doorsnede.)

4 type getallen verzamelingen
1. N = verzameling van alle positieve gehele getallen inclusief 0.
(“natuurlijke getallen”)
 N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, etc. …}

2. Z = verzameling van alle positieve en negatieve gehele getallen inclusief
0.
(“gehele getallen”)
 Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, etc. …}

3. Q = verzameling van alle breuken oftewel verzameling van getallen a/b,
waarbij a, b een element van Z zijn en B ≠ 0.
(“rationale getallen”)
Q= bv.

, 4. R = alle rationale + irrationele getallen (dus alles)
(“reële getallen”)
Irrationaal getal = niet als breuk te schrijven.
R= bv.

! merk op dat N Z Q R

Er zijn twee notaties voor een getal:
1. Breuk = met deelstreep
2. Decimale breuk = kommagetal, met 1 of meer getallen achter de komma

Twee soorten getallen & wanneer wel of niet in breuk te schrijven:
1. Rationaal getal = breuk = eindig aantal decimalen én oneindig aantal
decimalen met herhaling.
Voorbeeld: ½ = 0,50000 = 0,5


2. Irrationaal getal = decimale breuk = oneindig aantal decimalen zonder
herhaling. (is niet als breuk te schrijven)
Voorbeeld:




Absolute waarde: onder de absolute waarde van een getal wordt de ‘lengte’ of
‘grootte’ van het getal verstaan, m.a.w. de afstand op de getallenlijn tot het
nulpunt.

Notatie voor absolute waarde: absoluutstrepen.  absolute waarde van a is |
a|
Voorbeeld:

,Hoofdstuk 2. Bewerkingen
4 bewerkingen:
1. Optellen: +
2. Aftrekken: -
3. Vermenigvuldigen/keer: x of 
4. Delen/quotiënt: ÷ , ∶ , —

Meerdere plus- en mintekens:
++ → +
+– → –
–+ → –
–– → +

Machtsverheffingen: herhaald vermenigvuldigen
Algemeen: gn = g  g  g  g … (n keer)
(g = grondgetal, n = exponent)
Voorbeeld:
32 = 3 x 3 = 9
24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

! speciaal van machtsverhefen:
 0n = 0
G
 G0 = =1
G
 G1 = g
 G2 = “g kwadraat”
 -22 = −2 x 2 = −4 & (−2)2 = −2 x −2 = 4
Bij de eerste staat de kwadraat bij de 2, niet bij de -

Worteltrekken: de vierkantswortel = omkering van machtsverhefen
! √−4 wortel negatief kan NIET; kwadraat kan geen negatieve uitkomst hebben.

Volgorde van bewerkingen als er meerdere door elkaar staan:
1. Wat tussen haakjes staat.
2. Machtsverhefen (hieronder valt ook worteltrekken).
3. Vermenigvuldigen/delen (in de volgorde zoals je het tegenkomt).
4. Optellen/aftrekken (in de volgorde zoals je het tekenkomt).

! bij breuken: alles binnen teller en noemer eerst uitrekenen, als laatste pas
de deling.

Voorbeeld: 4  (3 + 2)  42 : 10  2 – 4 =
a. 9.6
b. 12
c. 14.4
d. 60  goede antwoord

Regels voor machten:
Regel 1: an = a  a  a  a … (n keer)

, Regel 5: an  am = a(n+m)
- Machtverheffing vermenigvuldigen bij gelijk grondgetal  exponenten
optellen

an
Regel 6: an : am = m = a
(n-m)

a
- Deling met zelfde grondgetal  exponenten aftrekken

1
Regel 7: a-n =
an
- Negatieve exponent betekend: 1 gedeeld door

Regel 11: (an)m = a(nm)
- Exponenten vermenigvuldigen bij dubbelde machtsverheffing

Regels voor wortels:
Regel 1: √ a = x als x2 = a
- Voorwaarde: a ≥ 0 , x ≥ 0

Regel 2: √ a  √ b = √ ab
- Wortels vermenigvuldigen  onder 1 wortel schrijven (of andersom)

Regel 3:


- Wortels delen  onder 1 wortel schrijven
Regel 4:

- Wortel en kwadraat zijn elkaar tegenovergestelde, vervallen dus tegen
elkaar.

Breuken (getallenverzameling Q):
teller
Breuk =
noemer

 Breukstreep betekend gedeeld door.
 Je deelt dus de teller door de noemer.
 Noemer mag geen 0 zijn. (delen door 0 mag niet)
 Breuk altijd zo ver mogelijk vereenvoudigen in eindantwoord. Of decimale
breuk schrijven; zelfde getal, andere notatie.

Voorbeeld:
10 1
=
20 2