, Domein 1 hele getallen
Algoritmen
Een algoritme is een oplossingsmethode opgebouwd uit een vaste rij elementaire rekenstappen
die zeker tot het goede antwoord voert. Cijferend rekenen is een voorbeeld van een algoritme.
Er bestaan binnen rekenen-wiskunde talloze algoritmen. Wanneer men bijvoorbeeld cijferend
vermenigvuldigt ("onder elkaar"), gebruikt men een of andere vorm van een
vermenigvuldigalgoritme. In het geval van het vermenigvuldigalgoritme bestaan de elementaire
handelingen uit het gebruiken van de vermenigvuldigtafels tot en met 10, het splitsen in
eenheden, tientallen enzovoort, het noteren van getallen op de juiste plaats en het onthouden van
getallen. Ook in het dagelijks leven komt men in aanraking met voorbeelden van gebruik van een
algoritme. Om de gewenste koffie uit een koffieautomaat te krijgen, dient men heel precies en in
de juiste volgorde de stappen te volgen die op de automaat staan aangegeven. Alleen dan krijgt
men de koffie die men wenste.
Volgorderegels
Het ezelsbruggetje Meneer van Dalen wacht op antwoord is achterhaald en verwarrend en kan het
beste vergeten worden. De volgorde van de bewerkingen kan stapsgewijs worden toegepast:
- Haakjes
- Machtsverheffen en worteltrekken
- Vermenigvuldigen en delen
- Optellen en aftrekken
Bewerkingen die in de lijst op gelijke hoogte staan, zoals optellen en aftrekken, zijn gelijkwaardig.
Gelijkwaardige bewerkingen worden van links naar rechts uitgevoerd.
Bijvoorbeeld:
-10 + 5 -10 + 81 = -5 – 10 + 81 = -15 + 81 = 66
5 + 14 – (3 + 4) = 5 + 14 – 7 = 19 – 7 = 12.
5 x 15 : 3 x 4 = 75 : 3 x 4 = 25 x 4 = 100.
Opdracht: Gegeven vier berekeningen waarin de haakjes zijn weggevallen
A. -6 + 2 x 7 + 8 : 2 = -24
B. -6 + 2 x 7 + 8 : 2 = 9
C. -6 + 2 x 7 + 8 : 2 = -30
D. -6 + 2 x 7 + 8 : 2 = 12
Bij welke van de vier berekeningen moet je twee sets haakjes (...) toevoegen om hem kloppend te
maken?
Antwoord: bij C.
Priemgetallen
Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf.
Het kleinste priemgetal is 2, want het heeft alleen 1 en 2 als delers. Het volgende is 3, met alleen
de delers 1 en 3. Het getal 4 is geen priemgetal, het heeft behalve 1 en 4 ook 2 als deler.
De eerste 30 priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 en 113.
,Wanneer men een priemgetal als figuraal getal ziet, dan is het een rechthoeksgetal dat maar op
één manier geordend kan worden. Zo kan het getal 7 slechts op onderstaande manier op één
manier geordend worden (omdat 7 een priemgetal is).
De oudste methode om priemgetallen te vinden is de zeef van Eratosthenes
Opdracht: Gegeven is het rijtje 3, 5, 7. Deze opeenvolgende oneven getallen zijn allemaal
priemgetallen.
Zijn er meer van deze rijtjes, met drie oneven getallen die tevens priemgetallen zijn?
A. Onder de 100 niet, daarboven wel
B. Alleen tussen de 100 en de 1000
C. Alleen boven de 1000
D. Dit komt niet vaker voor
Antwoord: D.
Opdracht: Els volgt een strak sportprogramma:
Elke 7e dag gaat ze fietsen
Elke 12e dag gaat ze zwemmen
Elke 42e dag gaat ze skiën.
Als ze vandaag begint, over hoeveel dagen moet Els dan op dezelfde dag fietsen, zwemmen en
skiën?
Antwoord: 84 dagen.
Opdracht: Welke van de volgende reeksen is deelbaar door 24?
A. 22 x 32 x 52x 73
B. 22 x 32 x 53 x 72
C. 22 x 33 x 52 x 72
D. 23 x 32 x 52 x 72
Antwoord: D.
Deelbaarheid
Deelbaar door 3
Een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3. Als het getal erg groot is
kan je de cijfers van de uitkomst van de optelling nog een keer optellen.
Deelbaar door 4
Een getal is deelbaar door 4 als het getal gevormd door de laatste twee cijfers deelbaar is door 4.
Om dit direct te zien moet je dus eigenlijk de hele tafel van 4 tot 25x4=100 kennen. Dat is
misschien teveel gevraagd....? Bij een getal van twee cijfers uit rekenen of het door vier is te delen
zonder rest. Dat is misschien toch niet zo heel moeilijk. De uitkomsten van de tafel van vier onder
de honderd zijn: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100.
,Deelbaar door 5
Een getal is deelbaar door 5 als het eindigt op 0 of op 5.
Deelbaar door 6
Een getal is deelbaar door 6 als het deelbaar is door 3 én door 2.
Het laatste cijfer moet dus deelbaar door twee zijn én de som van de cijfers moet deelbaar zijn
door 3.
Deelbaar door 7
Voor 7 is het deelbaarheidskenmerk wat ingewikkelder.
Verdubbel het laatste cijfer van het getal en trek dit af van het getal gevormd door de rest van de
cijfers. Ga daar mee door tot je een klein getal hebt waarvan je direct ziet of het wel of niet door
zeven deelbaar is. Is het laatste getal deelbaar is door 7, dan is het oorspronkelijke getal dat ook.
Voorbeelden:
Is 7343 deelbaar door 7?
Laatste cijfer verdubbelen: 2x3=6
6 van de rest van de cijfers aftrekken: 734-6=728
Nog een keer: laatste cijfer verdubbelen: 2x8=16
16 van de rest van de cijfers aftrekken: 72-16=56
56 is deelbaar door 7 (56:7=8) dus 7343 is ook deelbaar door 7.
Deelbaar door 8
Een getal is deelbaar door 8 als het getal gevormd door de laatste drie cijfers deelbaar is door 8.
Voor het testen op deelbaarheid door 8 moert je dus wel iets uitrekenen....
Deelbaar door 9
Een getal is deelbaar door 9 als de som van de cijfers deelbaar is door 9.
45 is deelbaar door 9 want 4+5=9 en 9 is deelbaar door 9.
Deelbaar door 11
Een getal is deelbaar door elf als het getal met weglating van het laatste cijfer, verminderd met het
laatste cijfer deelbaar is door elf.
781 is deelbaar door 11 want 78-1=77 en dat is deelbaar door elf.
Deelbaar door 12
Een getal is deelbaar door 12 als het deelbaar is door 3 en ook deelbaar is door 4.
KGV → kleinste gemene veelvoud
De KGV gebruik je bij ‘herhaald optellen en
vermenigvuldigen’. Kenmerkende woorden
zijn: minimaal en ten minste.
, GGD → grootste gemene deler
De GGD gebruik je als het in de context gaat om ‘delen of verdelen’. Kenmerkende woorden zijn:
ten meeste en maximaal.
Telprobleem/combinatoriek
Bij combinatoriek gaat het om telproblemen. Je moet tellen hoeveel combinaties van objecten er
mogelijk zijn.
Als ik bijvoorbeeld drie verschillende truien en vier verschillende broeken heb, kan ik daarmee 3 x
4 = 12 combinaties maken.
Een wegendiagram of boomdiagram is een goed model om telproblemen te visualiseren.
Zo kun je bijvoorbeeld in het volgende diagram alle combinaties van truien en broeken aflezen.
Combinatoriek speelt een rol bij kansrekening. Een kans drukt de verhouding uit tussen het aantal
gewenste combinaties en het totaal aantal mogelijke combinaties. Bijvoorbeeld: Hoe groot is de
kans dat je 6 gooit met twee dobbelstenen? De gewenste combinaties zijn: 1-5; 2-4; 3-3; 4-2; 5-1.
Dat zijn er 5. Het totaal aantal combinaties is 36.
Opdracht: Er zijn 5 mensen op een feestje. Ze geven elkaar allemaal één keer een hand.
Als persoon 1 en persoon 2 elkaar een hand geven, noem je dat één handdruk.
Hoeveel handdrukken vinden er plaats?
Antwoord: 10
Opdracht: Zeven kinderen, A, B, C, D, E, F en G, gaan basketballen in groepjes van vier.
Hoeveel verschillende groepjes van vier kunnen er gemaakt worden?
Antwoord: 35 groepjes
(7 x 6 x 5 x 4) : ( 4 x 3 x 2 x 1) = 840 : 24 = 35
Notatie/afronding
Het afronden van een getal is het verminderen van het aantal cijfers om het aantal cijfers in
overeenstemming te brengen met de nauwkeurigheid van het getal of met het doel waarvoor het
getal dient. Er zijn verschillende vormen van afronden afhankelijk van de situatie. Bij getallen die
we willen afronden tot gehele getallen (dus geen enkel cijfer achter de komma) wordt het getal 6,7
het gehele getal 7 en wordt het getal 6,49 het gehele getal 6.
Algoritmen
Een algoritme is een oplossingsmethode opgebouwd uit een vaste rij elementaire rekenstappen
die zeker tot het goede antwoord voert. Cijferend rekenen is een voorbeeld van een algoritme.
Er bestaan binnen rekenen-wiskunde talloze algoritmen. Wanneer men bijvoorbeeld cijferend
vermenigvuldigt ("onder elkaar"), gebruikt men een of andere vorm van een
vermenigvuldigalgoritme. In het geval van het vermenigvuldigalgoritme bestaan de elementaire
handelingen uit het gebruiken van de vermenigvuldigtafels tot en met 10, het splitsen in
eenheden, tientallen enzovoort, het noteren van getallen op de juiste plaats en het onthouden van
getallen. Ook in het dagelijks leven komt men in aanraking met voorbeelden van gebruik van een
algoritme. Om de gewenste koffie uit een koffieautomaat te krijgen, dient men heel precies en in
de juiste volgorde de stappen te volgen die op de automaat staan aangegeven. Alleen dan krijgt
men de koffie die men wenste.
Volgorderegels
Het ezelsbruggetje Meneer van Dalen wacht op antwoord is achterhaald en verwarrend en kan het
beste vergeten worden. De volgorde van de bewerkingen kan stapsgewijs worden toegepast:
- Haakjes
- Machtsverheffen en worteltrekken
- Vermenigvuldigen en delen
- Optellen en aftrekken
Bewerkingen die in de lijst op gelijke hoogte staan, zoals optellen en aftrekken, zijn gelijkwaardig.
Gelijkwaardige bewerkingen worden van links naar rechts uitgevoerd.
Bijvoorbeeld:
-10 + 5 -10 + 81 = -5 – 10 + 81 = -15 + 81 = 66
5 + 14 – (3 + 4) = 5 + 14 – 7 = 19 – 7 = 12.
5 x 15 : 3 x 4 = 75 : 3 x 4 = 25 x 4 = 100.
Opdracht: Gegeven vier berekeningen waarin de haakjes zijn weggevallen
A. -6 + 2 x 7 + 8 : 2 = -24
B. -6 + 2 x 7 + 8 : 2 = 9
C. -6 + 2 x 7 + 8 : 2 = -30
D. -6 + 2 x 7 + 8 : 2 = 12
Bij welke van de vier berekeningen moet je twee sets haakjes (...) toevoegen om hem kloppend te
maken?
Antwoord: bij C.
Priemgetallen
Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf.
Het kleinste priemgetal is 2, want het heeft alleen 1 en 2 als delers. Het volgende is 3, met alleen
de delers 1 en 3. Het getal 4 is geen priemgetal, het heeft behalve 1 en 4 ook 2 als deler.
De eerste 30 priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 en 113.
,Wanneer men een priemgetal als figuraal getal ziet, dan is het een rechthoeksgetal dat maar op
één manier geordend kan worden. Zo kan het getal 7 slechts op onderstaande manier op één
manier geordend worden (omdat 7 een priemgetal is).
De oudste methode om priemgetallen te vinden is de zeef van Eratosthenes
Opdracht: Gegeven is het rijtje 3, 5, 7. Deze opeenvolgende oneven getallen zijn allemaal
priemgetallen.
Zijn er meer van deze rijtjes, met drie oneven getallen die tevens priemgetallen zijn?
A. Onder de 100 niet, daarboven wel
B. Alleen tussen de 100 en de 1000
C. Alleen boven de 1000
D. Dit komt niet vaker voor
Antwoord: D.
Opdracht: Els volgt een strak sportprogramma:
Elke 7e dag gaat ze fietsen
Elke 12e dag gaat ze zwemmen
Elke 42e dag gaat ze skiën.
Als ze vandaag begint, over hoeveel dagen moet Els dan op dezelfde dag fietsen, zwemmen en
skiën?
Antwoord: 84 dagen.
Opdracht: Welke van de volgende reeksen is deelbaar door 24?
A. 22 x 32 x 52x 73
B. 22 x 32 x 53 x 72
C. 22 x 33 x 52 x 72
D. 23 x 32 x 52 x 72
Antwoord: D.
Deelbaarheid
Deelbaar door 3
Een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3. Als het getal erg groot is
kan je de cijfers van de uitkomst van de optelling nog een keer optellen.
Deelbaar door 4
Een getal is deelbaar door 4 als het getal gevormd door de laatste twee cijfers deelbaar is door 4.
Om dit direct te zien moet je dus eigenlijk de hele tafel van 4 tot 25x4=100 kennen. Dat is
misschien teveel gevraagd....? Bij een getal van twee cijfers uit rekenen of het door vier is te delen
zonder rest. Dat is misschien toch niet zo heel moeilijk. De uitkomsten van de tafel van vier onder
de honderd zijn: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100.
,Deelbaar door 5
Een getal is deelbaar door 5 als het eindigt op 0 of op 5.
Deelbaar door 6
Een getal is deelbaar door 6 als het deelbaar is door 3 én door 2.
Het laatste cijfer moet dus deelbaar door twee zijn én de som van de cijfers moet deelbaar zijn
door 3.
Deelbaar door 7
Voor 7 is het deelbaarheidskenmerk wat ingewikkelder.
Verdubbel het laatste cijfer van het getal en trek dit af van het getal gevormd door de rest van de
cijfers. Ga daar mee door tot je een klein getal hebt waarvan je direct ziet of het wel of niet door
zeven deelbaar is. Is het laatste getal deelbaar is door 7, dan is het oorspronkelijke getal dat ook.
Voorbeelden:
Is 7343 deelbaar door 7?
Laatste cijfer verdubbelen: 2x3=6
6 van de rest van de cijfers aftrekken: 734-6=728
Nog een keer: laatste cijfer verdubbelen: 2x8=16
16 van de rest van de cijfers aftrekken: 72-16=56
56 is deelbaar door 7 (56:7=8) dus 7343 is ook deelbaar door 7.
Deelbaar door 8
Een getal is deelbaar door 8 als het getal gevormd door de laatste drie cijfers deelbaar is door 8.
Voor het testen op deelbaarheid door 8 moert je dus wel iets uitrekenen....
Deelbaar door 9
Een getal is deelbaar door 9 als de som van de cijfers deelbaar is door 9.
45 is deelbaar door 9 want 4+5=9 en 9 is deelbaar door 9.
Deelbaar door 11
Een getal is deelbaar door elf als het getal met weglating van het laatste cijfer, verminderd met het
laatste cijfer deelbaar is door elf.
781 is deelbaar door 11 want 78-1=77 en dat is deelbaar door elf.
Deelbaar door 12
Een getal is deelbaar door 12 als het deelbaar is door 3 en ook deelbaar is door 4.
KGV → kleinste gemene veelvoud
De KGV gebruik je bij ‘herhaald optellen en
vermenigvuldigen’. Kenmerkende woorden
zijn: minimaal en ten minste.
, GGD → grootste gemene deler
De GGD gebruik je als het in de context gaat om ‘delen of verdelen’. Kenmerkende woorden zijn:
ten meeste en maximaal.
Telprobleem/combinatoriek
Bij combinatoriek gaat het om telproblemen. Je moet tellen hoeveel combinaties van objecten er
mogelijk zijn.
Als ik bijvoorbeeld drie verschillende truien en vier verschillende broeken heb, kan ik daarmee 3 x
4 = 12 combinaties maken.
Een wegendiagram of boomdiagram is een goed model om telproblemen te visualiseren.
Zo kun je bijvoorbeeld in het volgende diagram alle combinaties van truien en broeken aflezen.
Combinatoriek speelt een rol bij kansrekening. Een kans drukt de verhouding uit tussen het aantal
gewenste combinaties en het totaal aantal mogelijke combinaties. Bijvoorbeeld: Hoe groot is de
kans dat je 6 gooit met twee dobbelstenen? De gewenste combinaties zijn: 1-5; 2-4; 3-3; 4-2; 5-1.
Dat zijn er 5. Het totaal aantal combinaties is 36.
Opdracht: Er zijn 5 mensen op een feestje. Ze geven elkaar allemaal één keer een hand.
Als persoon 1 en persoon 2 elkaar een hand geven, noem je dat één handdruk.
Hoeveel handdrukken vinden er plaats?
Antwoord: 10
Opdracht: Zeven kinderen, A, B, C, D, E, F en G, gaan basketballen in groepjes van vier.
Hoeveel verschillende groepjes van vier kunnen er gemaakt worden?
Antwoord: 35 groepjes
(7 x 6 x 5 x 4) : ( 4 x 3 x 2 x 1) = 840 : 24 = 35
Notatie/afronding
Het afronden van een getal is het verminderen van het aantal cijfers om het aantal cijfers in
overeenstemming te brengen met de nauwkeurigheid van het getal of met het doel waarvoor het
getal dient. Er zijn verschillende vormen van afronden afhankelijk van de situatie. Bij getallen die
we willen afronden tot gehele getallen (dus geen enkel cijfer achter de komma) wordt het getal 6,7
het gehele getal 7 en wordt het getal 6,49 het gehele getal 6.
