-lineare Algebra !
Vektor
und
Ein Vektor
gibt Lange Richtung an, aber nicht den Startpunkt
-
↑ ·
-
·
i [8]
=
reeller Koordinatenraum
·ene
insupe istein
,
IRD2-oimensional -
alle moglichen reellen zweier Tupel
z3
C&
↳ Zahlen
(
von
reelle Zahlen
·
[O
&
W
2
=
Cer
③ 3-dimensional
IR -
alle moglichen reellen dreier Tupel
-
reelle zahlen
E = [8] xelR* x ist ein Teil von IR3
Vektoren addieren
·
I
a =
[i] 5 =
[i]
↳
= + 4 =
(14) =
(2)
Skalarmultiplikation
a =
[i]
3 = 3(2) (3 : 3)
= =
[3] -
---
↑-
-
*
1
,
, Unterraume
I1 (t
Unterraume sind also
spezielle Teilmengen mit
Unterrektorraum von IRM
-&
zustzlichen algebraischen
VEIR
Vo
Teilmenge von IR
CEigenschaften .
C
--
M
&
I
o
·
Damit V ein Unterraum von IR" ist muss gelten :
↳ V beinhaltet den 0-Vektor []
④
2 Wenn ein Vektor * e V mit einem reellen Skalar
②
.
multipliziert wird dann
gilt ebenfalls EV
↳ unter skalarer Multiplikation
abgeschlossen
. wenn
3 ! -V und 5 EV dann muss
a + B - V
↳
unter Vektoraddition abgeschlossen
Die Spanne von Vekloren bildet ebenfalls einen Unterraum, da die drei
Bedingungen erfillt sind
.
= Spanne ( , , 3)
I Nullvektor :
.
0 . + 0 .
Y + 0 . s
=
O
-
# .
Abgeschlossenheit multiplikation : G
.
V+ C + Cz .
- -
a a cs V
+ a c V, +
a C' V
= .
Y un *> bildet wieder
irgend
-
+
- -
+ eine Konstante
Cy C Vs
-
C Ve
.
.
.
# .
Abgeschlossenheit addition :
Y =
0. + 0 .
Y +
03 .
Us
>
-
x+ 4 (,) 4
=
1
.
,
+ ( + dz) .
Y +
(c 03)
+ .
Y
↳
bildet wieder irgendeine Konstante
Basis eines Vektorraums
↓ Vektoren die zwei
spezielle Menge von , wichtige Eigenschaften erfillt :
I .
Erzeugenoensystem
↳
oer Basisvektoren
jeder Vektor im Vektorraum kann als Linearkombination
-
dargestellt werden
ITerengi_ I
.
Das bedeutet, das die
&i3
Basis den gesamten f
I Linear.
unabhangig
j&
Vektorraum Ea ↳
E
↓ die Basisvektoren sind linear
unabhangig ,
was bedeutet, dass keine der
Basisvektoren als Linearkombination der anderen Basisvektoren dargestellt
werden kann
&
Die Anzahl der Vektoren in der Basis wird als die Dimension des Vektorraums bezeichnet .
E
Vektor
und
Ein Vektor
gibt Lange Richtung an, aber nicht den Startpunkt
-
↑ ·
-
·
i [8]
=
reeller Koordinatenraum
·ene
insupe istein
,
IRD2-oimensional -
alle moglichen reellen zweier Tupel
z3
C&
↳ Zahlen
(
von
reelle Zahlen
·
[O
&
W
2
=
Cer
③ 3-dimensional
IR -
alle moglichen reellen dreier Tupel
-
reelle zahlen
E = [8] xelR* x ist ein Teil von IR3
Vektoren addieren
·
I
a =
[i] 5 =
[i]
↳
= + 4 =
(14) =
(2)
Skalarmultiplikation
a =
[i]
3 = 3(2) (3 : 3)
= =
[3] -
---
↑-
-
*
1
,
, Unterraume
I1 (t
Unterraume sind also
spezielle Teilmengen mit
Unterrektorraum von IRM
-&
zustzlichen algebraischen
VEIR
Vo
Teilmenge von IR
CEigenschaften .
C
--
M
&
I
o
·
Damit V ein Unterraum von IR" ist muss gelten :
↳ V beinhaltet den 0-Vektor []
④
2 Wenn ein Vektor * e V mit einem reellen Skalar
②
.
multipliziert wird dann
gilt ebenfalls EV
↳ unter skalarer Multiplikation
abgeschlossen
. wenn
3 ! -V und 5 EV dann muss
a + B - V
↳
unter Vektoraddition abgeschlossen
Die Spanne von Vekloren bildet ebenfalls einen Unterraum, da die drei
Bedingungen erfillt sind
.
= Spanne ( , , 3)
I Nullvektor :
.
0 . + 0 .
Y + 0 . s
=
O
-
# .
Abgeschlossenheit multiplikation : G
.
V+ C + Cz .
- -
a a cs V
+ a c V, +
a C' V
= .
Y un *> bildet wieder
irgend
-
+
- -
+ eine Konstante
Cy C Vs
-
C Ve
.
.
.
# .
Abgeschlossenheit addition :
Y =
0. + 0 .
Y +
03 .
Us
>
-
x+ 4 (,) 4
=
1
.
,
+ ( + dz) .
Y +
(c 03)
+ .
Y
↳
bildet wieder irgendeine Konstante
Basis eines Vektorraums
↓ Vektoren die zwei
spezielle Menge von , wichtige Eigenschaften erfillt :
I .
Erzeugenoensystem
↳
oer Basisvektoren
jeder Vektor im Vektorraum kann als Linearkombination
-
dargestellt werden
ITerengi_ I
.
Das bedeutet, das die
&i3
Basis den gesamten f
I Linear.
unabhangig
j&
Vektorraum Ea ↳
E
↓ die Basisvektoren sind linear
unabhangig ,
was bedeutet, dass keine der
Basisvektoren als Linearkombination der anderen Basisvektoren dargestellt
werden kann
&
Die Anzahl der Vektoren in der Basis wird als die Dimension des Vektorraums bezeichnet .
E
