Analysis
Funktionen Definitionsmenge Zielmenge
= Eine Zuordnung f, die jedem x einer Menge D genau ein Element f(x) einer Menge Z zuordnet
1
f(x) = Funktionswert von x
2
Wertemenge = die Menge aller Funktionwerte
Zahlen
Eine Teilmenge der Zielmenge
reelle
R
3
Reelle Funktion = Funktion deren Definitions- & Wertemenge Teilmenge von sind
Steigung lineare Flit fix =
mx + h
-
y f
sy Ye
-
yo f(x) -
f(xd)
x .
* xo
* *
X Pr
= =
·
1X X1 Xo
-
x - Xo
Y1- Yo
Y
- -
X
f(x
f(x)
Po Xo
Beweis
X1
(mx n) (mxo m(x -
-
n)
mxy - MXo
-
: + -
+
, = =
= M
-
Xo x1 -
X G X1 -
Xo
> X
Xo X
Formtypen zur Bestimmung Geradengleichungen
1) Punktsteigungsform Gerade y
=
mx + n
geht durch P(xo/yo
yo
=
MXo + n n =
yo-mxo einsetzen f(x) =
M(X -
Xo) +
yo
2) Zweipunkteform Gerade y
=
mx + n
geht durch Polxolyo) und P(xelyu)
Ye yo
-
f(x) =
M(x -
Xo) +
yo mit M =
Xo
x
-
Steigungswinkel
~
Winkeld einer Geraden im mathematisch positiven Sinne Winkel zwischen X-Achse und Geraden
gemessene
Steigung Gerade =
Tangens (Steigungswinkel)
m =
tanx (x =
900)
So tand =
Gegenkathete
Ankathete
-
f(x)-Fx
2 =
180
°
- al
Schnittwinkel
- Zwei Geraden, die sich schneiden, bilden zwei Winkel miteinander
- Als Schnittwinkel g bezeichnet man den kleineren Winkel, der 90° nicht übersteigt
- Man kann den Schnittwinkel ju aus den beiden Steigungswinkeln X und ß der Geraden bestimmen
w
=
1p -
6
p
= 180° -
18 -
6
Orthogonale Geraden
=
zwei Geraden ,
die senkrecht (900) Zueinander stehen
1
Es gilt : -
1
mg my Mf Mg
=
. = -
Übungen
1) Zeigen Sie, dass jede Gerade mit der Steigung 2 orthogonal ist zu der Geraden g durch P (1|1) und Q (7|2)
mg
=
2 = = -
E = -
m =
my =
2
2) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden f durch den Punkt P (1|2), die orthogonal ist zum Graphen von g (x) = x -
1
mg
= =
-Erf ; also my
=
3 => P (112) auff in
Punktsteigungsform f(x) =
-3(x -
1) + 2 =
-
3x + 5
, Quadratische Funktion
Normalform Doppelte Nullstelle = es gibt jedoch nur eine
Nullstelle, obwohl theoretisch mehrere
Scheitelpunktform
möglich sind (quadratisch=2)
Potenzfunktion Kubische Funktion = Fkt mit höchsten Grad = 3
Symmetrie von Funktionen
Bei ganzrationalen Funktionen:
· alle Summanden gerader Exponent
achsensymmerisch
· alle Summanden ungerader Exponent
punktsymmetrisch
· Summanden gemischte Exponenten
keine Symmetrie
Steigungsverhalten/Monotonieverhalten
Funktionen Definitionsmenge Zielmenge
= Eine Zuordnung f, die jedem x einer Menge D genau ein Element f(x) einer Menge Z zuordnet
1
f(x) = Funktionswert von x
2
Wertemenge = die Menge aller Funktionwerte
Zahlen
Eine Teilmenge der Zielmenge
reelle
R
3
Reelle Funktion = Funktion deren Definitions- & Wertemenge Teilmenge von sind
Steigung lineare Flit fix =
mx + h
-
y f
sy Ye
-
yo f(x) -
f(xd)
x .
* xo
* *
X Pr
= =
·
1X X1 Xo
-
x - Xo
Y1- Yo
Y
- -
X
f(x
f(x)
Po Xo
Beweis
X1
(mx n) (mxo m(x -
-
n)
mxy - MXo
-
: + -
+
, = =
= M
-
Xo x1 -
X G X1 -
Xo
> X
Xo X
Formtypen zur Bestimmung Geradengleichungen
1) Punktsteigungsform Gerade y
=
mx + n
geht durch P(xo/yo
yo
=
MXo + n n =
yo-mxo einsetzen f(x) =
M(X -
Xo) +
yo
2) Zweipunkteform Gerade y
=
mx + n
geht durch Polxolyo) und P(xelyu)
Ye yo
-
f(x) =
M(x -
Xo) +
yo mit M =
Xo
x
-
Steigungswinkel
~
Winkeld einer Geraden im mathematisch positiven Sinne Winkel zwischen X-Achse und Geraden
gemessene
Steigung Gerade =
Tangens (Steigungswinkel)
m =
tanx (x =
900)
So tand =
Gegenkathete
Ankathete
-
f(x)-Fx
2 =
180
°
- al
Schnittwinkel
- Zwei Geraden, die sich schneiden, bilden zwei Winkel miteinander
- Als Schnittwinkel g bezeichnet man den kleineren Winkel, der 90° nicht übersteigt
- Man kann den Schnittwinkel ju aus den beiden Steigungswinkeln X und ß der Geraden bestimmen
w
=
1p -
6
p
= 180° -
18 -
6
Orthogonale Geraden
=
zwei Geraden ,
die senkrecht (900) Zueinander stehen
1
Es gilt : -
1
mg my Mf Mg
=
. = -
Übungen
1) Zeigen Sie, dass jede Gerade mit der Steigung 2 orthogonal ist zu der Geraden g durch P (1|1) und Q (7|2)
mg
=
2 = = -
E = -
m =
my =
2
2) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden f durch den Punkt P (1|2), die orthogonal ist zum Graphen von g (x) = x -
1
mg
= =
-Erf ; also my
=
3 => P (112) auff in
Punktsteigungsform f(x) =
-3(x -
1) + 2 =
-
3x + 5
, Quadratische Funktion
Normalform Doppelte Nullstelle = es gibt jedoch nur eine
Nullstelle, obwohl theoretisch mehrere
Scheitelpunktform
möglich sind (quadratisch=2)
Potenzfunktion Kubische Funktion = Fkt mit höchsten Grad = 3
Symmetrie von Funktionen
Bei ganzrationalen Funktionen:
· alle Summanden gerader Exponent
achsensymmerisch
· alle Summanden ungerader Exponent
punktsymmetrisch
· Summanden gemischte Exponenten
keine Symmetrie
Steigungsverhalten/Monotonieverhalten
