Deel 1: analy*sche meetkunde
Coördinaten in het vlak
Bewerkingen met punten
Vanaf er een oorsprong is vastgelegd, kunnen er bewerkingen uitgevoerd worden.
Product ve reëel getal met een punt: k* |oa|
Som van punten: c = a+b
Verschil van punten: c = a-b = a+(-b)
Coördinaten ve punt
In een orthonormaal assenstelsel worden (x,y) de cartesische
coördinaten ve punt genoemd.
X = abscis
Y = ordinaat
Analy7sche voorstelling
Punt a(x1,y1) vermenigvuldigen met k è (kx1,ky1)
Tegengestelde punten = tegengestelde coördinaten
Twee punten optellen of aMrekken = coördinaten optellen of aMrekken: a+b = ((x1+x2),(y1+y2))
Toepassing
- Afstand tussen 2 punten: |ab| = !(𝑥! − 𝑥" )! + (𝑦! − 𝑦" )!
- Vergelijking ve cirkel: (x - xm)2 + (y-ym)2 = r2 m = middelpunt, r = straal
#! $#" %! $%"
- Midden ve lijnstuk: 𝑚 * !
; !
,
#! $#" $## %! $%" $%#
- Zwaartepunt ve driehoek: 𝑧 * &
; &
,
Func3es en grafieken
Reële func7es
Symmetrie rond y-as = even funcSe = f(-x) = f(x)
Symmetrie rond oorsprong = oneven funcSe = f(-x) = -f(x)
Verbanden tussen func7es en grafieken
- Verschuiven
o f(x) à f(x+k) = horizontaal verschuiven
§ k > 0 = verschuiven naar links
§ k < 0 = verschuiven naar rechts
o f(x) à f(x) + k = verScaal verschuiven
§ k > 0 = verschuiven naar boven
§ k < 0 = verschuiven naar onder
- Verschalen
o f(x) à f(kx) = horizontale verschaling
§ k > 1 = inkrimping
§ 0 < k < 1 = uitrekking
o f(x) à kf(x) = verScale verschaling
-1-
, § k > 1 = uitrekking
§ 0 < k < 1 = inkrimping
Lineaire func3e: y = ax+b
Kenmerken
FuncSevoorschriM: y = ax+b stel: y = ax è rechte door oorsprong.
Domein: dom f = ℝ
Beeld: bld f = ℝ
'(
Nulpunten: 𝑥 = )
Tekenverloop:
a = richSngscoëfficiënt à hoe groter a, hoe steiler de rechte.
a > 0: sSjgende funcSe a < 0: dalende funcSe
Algemene vergelijking ve rechte en rico
Algemeen gedaante: ux + vy + w = 0
U = 0 è horizontale rechte
V = 0 è verScale rechte
W = 0 è rechte door oorsprong
Rico: geeM sSjgen of dalen weer vd funcSe
Met de algemene vergelijking: r = -u/v
Meetkundige betekenis rico: 1) hoeveel rechte sSjgt/daalt als x met 1 vermeerderd
2) het is de tangens vd hoek a die de rechte maakt met de x-as
Vergelijking ve rechte bepalen
1) Rico (r) en 1 punt gegeven: 𝑦 − 𝑦" = 𝑟(𝑥 − 𝑥" )
% '%
2) 2 punten gegeven: 𝑦 − 𝑦" = #" ' #! ∗ (𝑥 − 𝑥" )
" !
Onderlinge stand van rechten
Er zijn twee speciale gevallen:
1) Evenwijdige rechten: beide rechten hebben dezelfde rico
2) Loodrechte rechten: product vd rico’s = -1
-2-
, Afstand ve punt tot een rechte
Kleinst mogelijke afstand nemen à loodlijn door punt p te tekenen op rechte A
Formule:
Afstand van p (x1, y1) tot rechte A met vgl: ux+vy+w = 0
|,#! $-%! $. |
à d(p,A) = √," $ - "
AlternaSeve methode: (= zonder formule)
1) Bepalen ricoL uit ricoA * ricoL = -1
2) Vgl vd loodlijn bepalen met rL en punt p
3) Snijpunt tussen A en L bepalen à stelsel oplossen
4) Dan afstand bepalen tussen twee punten p en a è |ab| = !(𝑥! − 𝑥" )! + (𝑦! − 𝑦" )!
Kwadra3sche func3es
Kenmerken
FuncSevoorschriM: f(x) = ax2 + bx + c
Stelt een parabool voor.
2 verschillende parabolen: berg- en dalparabolen
Top = maximale/minimale waarde vd parabool
Symmetrieas = lijn evenwijdig met de y-as en verdeelt de parabool in gelijke delen.
Basisparabool
Eigenschappen: f(x) = x2
Dom f = ℝ
Bld f = ℝ+
Nulpunten: x = 0
Tekenverloop:
Symmetrie: y-as
Top: (0,0)
Waardenverloop:
Willekeurige kwadraSsche funcSe
( ! ( " '0)1
Algemene funcSevoorschriM: 𝑓(𝑥) = 𝑎 4(𝑥 + !)
) − 0) "
5, hierin kan je b2 - 4ac
( ! 2
vervangen door de discriminant D è 𝑓(𝑥) = 𝑎 4(𝑥 + !)
) − 0)" 5
Het is duidelijk dat deze bekomen is door het verschuiven en verschalen vd basisparabool:
𝑏 ! 𝐷
𝑓(𝑥) = 𝑎 6𝑔(𝑥 + ) − <
2𝑎 4𝑎!
F(x) wodt bekomen door de basisparabool
- Te verschuiven volgens x-as naar rechts met waarde: -b/2a
- Te verschuiven volgens y-as naar boven met waarde -D/4a2
- Te verschalen volgens y-as met factor a.
-3-
Coördinaten in het vlak
Bewerkingen met punten
Vanaf er een oorsprong is vastgelegd, kunnen er bewerkingen uitgevoerd worden.
Product ve reëel getal met een punt: k* |oa|
Som van punten: c = a+b
Verschil van punten: c = a-b = a+(-b)
Coördinaten ve punt
In een orthonormaal assenstelsel worden (x,y) de cartesische
coördinaten ve punt genoemd.
X = abscis
Y = ordinaat
Analy7sche voorstelling
Punt a(x1,y1) vermenigvuldigen met k è (kx1,ky1)
Tegengestelde punten = tegengestelde coördinaten
Twee punten optellen of aMrekken = coördinaten optellen of aMrekken: a+b = ((x1+x2),(y1+y2))
Toepassing
- Afstand tussen 2 punten: |ab| = !(𝑥! − 𝑥" )! + (𝑦! − 𝑦" )!
- Vergelijking ve cirkel: (x - xm)2 + (y-ym)2 = r2 m = middelpunt, r = straal
#! $#" %! $%"
- Midden ve lijnstuk: 𝑚 * !
; !
,
#! $#" $## %! $%" $%#
- Zwaartepunt ve driehoek: 𝑧 * &
; &
,
Func3es en grafieken
Reële func7es
Symmetrie rond y-as = even funcSe = f(-x) = f(x)
Symmetrie rond oorsprong = oneven funcSe = f(-x) = -f(x)
Verbanden tussen func7es en grafieken
- Verschuiven
o f(x) à f(x+k) = horizontaal verschuiven
§ k > 0 = verschuiven naar links
§ k < 0 = verschuiven naar rechts
o f(x) à f(x) + k = verScaal verschuiven
§ k > 0 = verschuiven naar boven
§ k < 0 = verschuiven naar onder
- Verschalen
o f(x) à f(kx) = horizontale verschaling
§ k > 1 = inkrimping
§ 0 < k < 1 = uitrekking
o f(x) à kf(x) = verScale verschaling
-1-
, § k > 1 = uitrekking
§ 0 < k < 1 = inkrimping
Lineaire func3e: y = ax+b
Kenmerken
FuncSevoorschriM: y = ax+b stel: y = ax è rechte door oorsprong.
Domein: dom f = ℝ
Beeld: bld f = ℝ
'(
Nulpunten: 𝑥 = )
Tekenverloop:
a = richSngscoëfficiënt à hoe groter a, hoe steiler de rechte.
a > 0: sSjgende funcSe a < 0: dalende funcSe
Algemene vergelijking ve rechte en rico
Algemeen gedaante: ux + vy + w = 0
U = 0 è horizontale rechte
V = 0 è verScale rechte
W = 0 è rechte door oorsprong
Rico: geeM sSjgen of dalen weer vd funcSe
Met de algemene vergelijking: r = -u/v
Meetkundige betekenis rico: 1) hoeveel rechte sSjgt/daalt als x met 1 vermeerderd
2) het is de tangens vd hoek a die de rechte maakt met de x-as
Vergelijking ve rechte bepalen
1) Rico (r) en 1 punt gegeven: 𝑦 − 𝑦" = 𝑟(𝑥 − 𝑥" )
% '%
2) 2 punten gegeven: 𝑦 − 𝑦" = #" ' #! ∗ (𝑥 − 𝑥" )
" !
Onderlinge stand van rechten
Er zijn twee speciale gevallen:
1) Evenwijdige rechten: beide rechten hebben dezelfde rico
2) Loodrechte rechten: product vd rico’s = -1
-2-
, Afstand ve punt tot een rechte
Kleinst mogelijke afstand nemen à loodlijn door punt p te tekenen op rechte A
Formule:
Afstand van p (x1, y1) tot rechte A met vgl: ux+vy+w = 0
|,#! $-%! $. |
à d(p,A) = √," $ - "
AlternaSeve methode: (= zonder formule)
1) Bepalen ricoL uit ricoA * ricoL = -1
2) Vgl vd loodlijn bepalen met rL en punt p
3) Snijpunt tussen A en L bepalen à stelsel oplossen
4) Dan afstand bepalen tussen twee punten p en a è |ab| = !(𝑥! − 𝑥" )! + (𝑦! − 𝑦" )!
Kwadra3sche func3es
Kenmerken
FuncSevoorschriM: f(x) = ax2 + bx + c
Stelt een parabool voor.
2 verschillende parabolen: berg- en dalparabolen
Top = maximale/minimale waarde vd parabool
Symmetrieas = lijn evenwijdig met de y-as en verdeelt de parabool in gelijke delen.
Basisparabool
Eigenschappen: f(x) = x2
Dom f = ℝ
Bld f = ℝ+
Nulpunten: x = 0
Tekenverloop:
Symmetrie: y-as
Top: (0,0)
Waardenverloop:
Willekeurige kwadraSsche funcSe
( ! ( " '0)1
Algemene funcSevoorschriM: 𝑓(𝑥) = 𝑎 4(𝑥 + !)
) − 0) "
5, hierin kan je b2 - 4ac
( ! 2
vervangen door de discriminant D è 𝑓(𝑥) = 𝑎 4(𝑥 + !)
) − 0)" 5
Het is duidelijk dat deze bekomen is door het verschuiven en verschalen vd basisparabool:
𝑏 ! 𝐷
𝑓(𝑥) = 𝑎 6𝑔(𝑥 + ) − <
2𝑎 4𝑎!
F(x) wodt bekomen door de basisparabool
- Te verschuiven volgens x-as naar rechts met waarde: -b/2a
- Te verschuiven volgens y-as naar boven met waarde -D/4a2
- Te verschalen volgens y-as met factor a.
-3-
