BLOK 6 – kansmodellen en centrale limietstelling
Vier soortenkansverdelingen:
1. De binomiale verdeling
a. Voor dichotome variabelen
2. De normaalverdeling
a. Kwantitatieve, continue variabelen, en als variabelen een symmetrische klokvorm
hebben (bell curve)
3. Poissonverdeling
a. Kwantitatieve en discrete variabelen. Meestal bij zeldzame gebeurtenissen
4. Lognormale verdeling
a. Kwantitatieve en continue variabelen.
Centrale limietstelling: een steekproef is nooit een perfecte afspiegeling van de populaite, maar je
weet wel hoe groter de steekproef hoe beter hij meestal is.
Steekproeven zijn als het goed is zo vaak mogelijk representatief, daarom liggen de meeste
steekproefgemiddelden dichtbij het populatiegemiddelde. Dit betekent het volgende:
- Ligt het steekproefgemiddelde dichtbij het populatiegemiddelde, dan zijn er weinig
steekproeven met een gemiddelde veraf van het populatiegemiddelde
- De steekproefgemiddelden volgen een normale verdeling rondom het populatiegemiddelde
Dus de puntschattingen van een steekproef (gemiddelde en standaarddeviatie) volgen zelf een
kansverdeling, een normale kansverdeling
De centrale limietstelling stelt:
1. Als we willekeurige steekproeven nemen (van welke grootte dan ook) van een populatie met
een normale verdeling, dan is de verdeling van steekproefgemiddelden normaalverdeeld.
2. Als we willekeurige steekproeven van voldoende grootte (n≥30) nemen van een populatie
met welke verdeling dan ook, dan is de verdeling van steekproefgemiddelden ongeveer
normaalverdeeld.
,Wat is een kansmodel:
Het is bruikbaar als:
- Het in voldoende mate lijkt op de werkelijkheid
- Het eenvoudig genoeg is
- De resultaten gemakkelijk naar werkelijkheid te vertalen zijn
In verklarende statistiek gebruiken we kansmodellen:
- Om spreiding in kenmerken in de populatie na te bootsen
- Om relaties te leggen tussen steekproeven en populaties
maar let op; modellen blijven een benadering van de werkelijkheid
Kansproces: een proces waarvan de afloop niet bij voorbaat vastligt.
Bijvoorbeeld het gooien van twee dobbelstenen, gemiddelde leeftijd
Modelleren kansprocessen:
Een kansverdeling schrijft voor hoe waarschijnlijk alle mogelijke uitkomsten zijn.
‘Theoretische kans op verschillende uitkomsten’ Twisk
- Optelsom val alle waarschijnlijkheden = 1
- Meestal is een wiskundige formule voor de verdeling van kansen over alle mogelijke
uitkomsten
o De te kiezen kansverdeling hangt af van het onderliggende proces
Verwachtingswaarde en variantie
Kansprocessen vatten zich samen in:
- Verwachtingswaarde; wat is de gemiddelde uitkomst van het kansproces?
- Variantie; hoe variabel zijn de uitkomsten in het proces?
Notaties
Verwachtingswaarde
Hoe bereken je deze?
- Vermenigvuldig elke uitkomst met de kans dat ze optreedt
- Tel al deze vermenigvuldigingen bij elkaar op
, Variantie van kansverdeling
1. Bepaal voor alle mogelijke uitkomsten het verschil t.o.v. de verwachtingswaarde
2. Kwadrateer dit verschil
3. Weeg de uitkomsten naar de kans dat ze optreden
4. Tel alles bij elkaar op
Soorten kansverdeling
De te kiezen kansverdeling hangt af van:
Soort variabele
o Dichotoom, nominaal, discreet
o Continu – vereist andere klassen kansmodel (later meer)
Achterliggende proces
Te behandelen voor deze cursus:
- Binomiale verdeling, poissonverdeling
- Normale verdeling, log-normale verdeling
Modelleren dichotoom proces
Dichotome variabelen heeft 2 uitkomstmogelijkheden
- De ‘Succes’ uitkomst heet arbitrair
o Die krijgt de waarde 1
Voorbeeld: in de biomedische wetenschappen is 70% van de studenten vrouw
- Vrouw is dan het succes en krijgt de waarde 1, niet vrouw krijgt 0
Berekening:
- Pr(x=1) = 0,7, en dus
Vier soortenkansverdelingen:
1. De binomiale verdeling
a. Voor dichotome variabelen
2. De normaalverdeling
a. Kwantitatieve, continue variabelen, en als variabelen een symmetrische klokvorm
hebben (bell curve)
3. Poissonverdeling
a. Kwantitatieve en discrete variabelen. Meestal bij zeldzame gebeurtenissen
4. Lognormale verdeling
a. Kwantitatieve en continue variabelen.
Centrale limietstelling: een steekproef is nooit een perfecte afspiegeling van de populaite, maar je
weet wel hoe groter de steekproef hoe beter hij meestal is.
Steekproeven zijn als het goed is zo vaak mogelijk representatief, daarom liggen de meeste
steekproefgemiddelden dichtbij het populatiegemiddelde. Dit betekent het volgende:
- Ligt het steekproefgemiddelde dichtbij het populatiegemiddelde, dan zijn er weinig
steekproeven met een gemiddelde veraf van het populatiegemiddelde
- De steekproefgemiddelden volgen een normale verdeling rondom het populatiegemiddelde
Dus de puntschattingen van een steekproef (gemiddelde en standaarddeviatie) volgen zelf een
kansverdeling, een normale kansverdeling
De centrale limietstelling stelt:
1. Als we willekeurige steekproeven nemen (van welke grootte dan ook) van een populatie met
een normale verdeling, dan is de verdeling van steekproefgemiddelden normaalverdeeld.
2. Als we willekeurige steekproeven van voldoende grootte (n≥30) nemen van een populatie
met welke verdeling dan ook, dan is de verdeling van steekproefgemiddelden ongeveer
normaalverdeeld.
,Wat is een kansmodel:
Het is bruikbaar als:
- Het in voldoende mate lijkt op de werkelijkheid
- Het eenvoudig genoeg is
- De resultaten gemakkelijk naar werkelijkheid te vertalen zijn
In verklarende statistiek gebruiken we kansmodellen:
- Om spreiding in kenmerken in de populatie na te bootsen
- Om relaties te leggen tussen steekproeven en populaties
maar let op; modellen blijven een benadering van de werkelijkheid
Kansproces: een proces waarvan de afloop niet bij voorbaat vastligt.
Bijvoorbeeld het gooien van twee dobbelstenen, gemiddelde leeftijd
Modelleren kansprocessen:
Een kansverdeling schrijft voor hoe waarschijnlijk alle mogelijke uitkomsten zijn.
‘Theoretische kans op verschillende uitkomsten’ Twisk
- Optelsom val alle waarschijnlijkheden = 1
- Meestal is een wiskundige formule voor de verdeling van kansen over alle mogelijke
uitkomsten
o De te kiezen kansverdeling hangt af van het onderliggende proces
Verwachtingswaarde en variantie
Kansprocessen vatten zich samen in:
- Verwachtingswaarde; wat is de gemiddelde uitkomst van het kansproces?
- Variantie; hoe variabel zijn de uitkomsten in het proces?
Notaties
Verwachtingswaarde
Hoe bereken je deze?
- Vermenigvuldig elke uitkomst met de kans dat ze optreedt
- Tel al deze vermenigvuldigingen bij elkaar op
, Variantie van kansverdeling
1. Bepaal voor alle mogelijke uitkomsten het verschil t.o.v. de verwachtingswaarde
2. Kwadrateer dit verschil
3. Weeg de uitkomsten naar de kans dat ze optreden
4. Tel alles bij elkaar op
Soorten kansverdeling
De te kiezen kansverdeling hangt af van:
Soort variabele
o Dichotoom, nominaal, discreet
o Continu – vereist andere klassen kansmodel (later meer)
Achterliggende proces
Te behandelen voor deze cursus:
- Binomiale verdeling, poissonverdeling
- Normale verdeling, log-normale verdeling
Modelleren dichotoom proces
Dichotome variabelen heeft 2 uitkomstmogelijkheden
- De ‘Succes’ uitkomst heet arbitrair
o Die krijgt de waarde 1
Voorbeeld: in de biomedische wetenschappen is 70% van de studenten vrouw
- Vrouw is dan het succes en krijgt de waarde 1, niet vrouw krijgt 0
Berekening:
- Pr(x=1) = 0,7, en dus
