Kennisbasis rekenen
Rekenen + wiskunde uitgelegd samenvatng
1. Hele getallen
Talstelsels:
Romeinse cijfers:
I=1
V=5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000
Regel 1: symbool dat werd gevolgd door een even groot of kleiner symbool, betekend dat beide
symbolen bij elkaar worden opgeteld. XX = 20 XIII = 13
Regel 2: symbool dat werd gevolgd door een symbool met een grotere waarde, betekend dat de
kleinste van de grootste moet worden afgetrokken. IX = 9
MDCCCXLVIII = 1000 + 500 + 3 x 100 + (50 – 10) + 5 + 3 x 1 = 1848
Positestelsel: de waarde van een cijfer werd niet alleen bepaald door het cijfer, maar ook door de
plaats waar dat cijfer in het getal staat. Het stelsel dat wij gebruiken is het tentallig stelsel.
103 = 10 x 10 x 10
102 = 10 x 10
101 = 10
100 = 1
Model: een schematsche weergave van de achterliggende bedoeling van een bewerking of opgave.
Model voor optellen is een getallenlijn.
Context: een betekenisvolle situate gebaseerd op een wiskundig model.
Rechthoekmodel
Honderdveld
Getallenlijn (lijnmodel)
4 manieren om naar afrekken te kijken:
1. splitsen: als er bij een hoeveelheid gevraagd wordt hoeveel er overblijf als er een groep benoemd
wordt.
2. verminderen: terugtellen
3. vergelijken: verschil tussen twee hoeveelheden (hierbij hoort het dubbele strook model)
4. inverse toepassing: bij afrekken wordt gekeken naar hoeveel er nog bij moet om een bepaalde
hoeveelheid te krijgen.
,Twee betekenissen van vermenigvuldigen:
1. herhaald optellen: 64 velden op een schaakbord (8 x 8) (hierbij hoort het rechthoekmodel en het
groepjesmodel).
2. vermenigvuldigen met een factor
Drie interpretates van delen:
1. eerlijk verdelen en uitdelen: een hoeveelheid eerlijk verdelen. 24 knikkers verdelen over zes
kinderen.
2. het inverse (omgekeerde) van vermenigvuldigen: maak bakjes van 6 appels met een zak van 24
appels (herhaald afrekken of opdelen).
3. rato (verhouding): twee hoeveelheden worden met elkaar vergeleken. Het gaat om de verhouding
tussen deze twee hoeveelheden.
Eigenschappen van de bewerkingen:
1. Communicateve eigenschap (wisseleigenschap#: 7 + 8 = 8 + 7.
Alleen voor optellen en vermenigvuldigen.
2. Distributeve eigenschap (verdeeleigenschap#:
Traditonele manier: 8 x (5 + )) = (8 x 5) + (8 x )).
Splitsen: 18 x 25 = 10 x 25 en 8 x 25
Inverse: (3) x 5,5) + (5,5 x 63) = 100 x 5,5
Om beter uit te komen: 39 x 25 = 36 x 25 + 3 x 25 = 900 + )5
3. Associateve eigenschap (schakeleigenschap#: (3 + 4# + 5 = 3 + (4 + 5#.
Bij optellen en vermenigvuldigen.
4. Inverse eigenschap: 24 : 3 = 8 dus 8 x 3 = 24
5. Compenseren (termen veranderen/transformeren#: 124 + 189 = 113 + 200.
Transformeren: de aanpassingen die gemaakt worden, worden ook direct verwerkt.
25 + 1) = 30 + 12
Compenseren: de aanpassingen worden pas achteraf verwerkt.
25 + 1) = 30 + 1) – 5
Voor optellen geldt: als er bij de ene term iets wordt opgeteld, moet dit bij de andere term worden
afgehaald.
68 + 198 = 198 + 68 = (198 + 2) + (68 – 2) = 200 + 66.
, 6. Groter en kleiner (GEK# maken bij vermenigvuldigen: 48 x 75 = 12 x 300.
Bij vermenigvuldigen is het halveren/dubbelen.
128 x 225 =
64 x 450 =
32 x 900 =
7. Groter of kleiner (GOK# maken bij delen: 336 : 12 = 112 : 4.
Beide getallen delen of vermenigvuldigen met hetzelfde getal.
225 : )5 = (delen door 25) 9 : 3 = 3
225 : )5 = (keer 4) 900 : 300 = 3
Kenmerken van deelbaarheid:
Een getal is deelbaar door… als…. Bewijs
2 Het eindigt op 0, 2, 4, 6 of 8. Alle tenvouden zijn deelbaar
door 2.
3 De som van de cijfers van het 34.56) kan niet want:
getal deelbaar is door 3. 3 + 4 + 5 + 6 + ) = 25, 25 is niet
deelbaar door 3.
4 Het getal gevormd door de 2356 is deelbaar door 4 want
laatste 2 cijfers deelbaar is 56 is deelbaar door 4.
door 4.
5 Het eindigt op 0 of 5. Alle tenvouden zijn deelbaar
door 5
6 Het getal deelbaar is door 2 en 1368 is deelbaar door 6, want
3, dan is het ook deelbaar door het is deelbaar door 2 en door
6. 3.
7 Het getal dat gevonden wordt ).364 is deelbaar door ), want
door het laatste cijfer weg te 36 – 2 x 4 = 28. 28 is deelbaar
laten en tweemaal af te door ).
trekken van het getal gevormd
door de overblijvende cijfers.
8 Het getal gevormd door de
laatste 3 cijfers deelbaar is
door 8.
9 De som van de cijfers deelbaar
is door 9.
10 Het eindigt op 0.
Volgorde van bewerkingen:
- Bewerkingen tussen haakjes altjd als eerst.
- Daarna volgen machtsverhefen en worteltrekken.
- Vermenigvuldigen en delen voor optellen en afrekken.
- Vermenigvuldigen en delen gebeurt in de volgorden waarin het staat.
- Optellen en afrekken gebeurt in de volgorden waarin het staat.
Rekenen + wiskunde uitgelegd samenvatng
1. Hele getallen
Talstelsels:
Romeinse cijfers:
I=1
V=5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000
Regel 1: symbool dat werd gevolgd door een even groot of kleiner symbool, betekend dat beide
symbolen bij elkaar worden opgeteld. XX = 20 XIII = 13
Regel 2: symbool dat werd gevolgd door een symbool met een grotere waarde, betekend dat de
kleinste van de grootste moet worden afgetrokken. IX = 9
MDCCCXLVIII = 1000 + 500 + 3 x 100 + (50 – 10) + 5 + 3 x 1 = 1848
Positestelsel: de waarde van een cijfer werd niet alleen bepaald door het cijfer, maar ook door de
plaats waar dat cijfer in het getal staat. Het stelsel dat wij gebruiken is het tentallig stelsel.
103 = 10 x 10 x 10
102 = 10 x 10
101 = 10
100 = 1
Model: een schematsche weergave van de achterliggende bedoeling van een bewerking of opgave.
Model voor optellen is een getallenlijn.
Context: een betekenisvolle situate gebaseerd op een wiskundig model.
Rechthoekmodel
Honderdveld
Getallenlijn (lijnmodel)
4 manieren om naar afrekken te kijken:
1. splitsen: als er bij een hoeveelheid gevraagd wordt hoeveel er overblijf als er een groep benoemd
wordt.
2. verminderen: terugtellen
3. vergelijken: verschil tussen twee hoeveelheden (hierbij hoort het dubbele strook model)
4. inverse toepassing: bij afrekken wordt gekeken naar hoeveel er nog bij moet om een bepaalde
hoeveelheid te krijgen.
,Twee betekenissen van vermenigvuldigen:
1. herhaald optellen: 64 velden op een schaakbord (8 x 8) (hierbij hoort het rechthoekmodel en het
groepjesmodel).
2. vermenigvuldigen met een factor
Drie interpretates van delen:
1. eerlijk verdelen en uitdelen: een hoeveelheid eerlijk verdelen. 24 knikkers verdelen over zes
kinderen.
2. het inverse (omgekeerde) van vermenigvuldigen: maak bakjes van 6 appels met een zak van 24
appels (herhaald afrekken of opdelen).
3. rato (verhouding): twee hoeveelheden worden met elkaar vergeleken. Het gaat om de verhouding
tussen deze twee hoeveelheden.
Eigenschappen van de bewerkingen:
1. Communicateve eigenschap (wisseleigenschap#: 7 + 8 = 8 + 7.
Alleen voor optellen en vermenigvuldigen.
2. Distributeve eigenschap (verdeeleigenschap#:
Traditonele manier: 8 x (5 + )) = (8 x 5) + (8 x )).
Splitsen: 18 x 25 = 10 x 25 en 8 x 25
Inverse: (3) x 5,5) + (5,5 x 63) = 100 x 5,5
Om beter uit te komen: 39 x 25 = 36 x 25 + 3 x 25 = 900 + )5
3. Associateve eigenschap (schakeleigenschap#: (3 + 4# + 5 = 3 + (4 + 5#.
Bij optellen en vermenigvuldigen.
4. Inverse eigenschap: 24 : 3 = 8 dus 8 x 3 = 24
5. Compenseren (termen veranderen/transformeren#: 124 + 189 = 113 + 200.
Transformeren: de aanpassingen die gemaakt worden, worden ook direct verwerkt.
25 + 1) = 30 + 12
Compenseren: de aanpassingen worden pas achteraf verwerkt.
25 + 1) = 30 + 1) – 5
Voor optellen geldt: als er bij de ene term iets wordt opgeteld, moet dit bij de andere term worden
afgehaald.
68 + 198 = 198 + 68 = (198 + 2) + (68 – 2) = 200 + 66.
, 6. Groter en kleiner (GEK# maken bij vermenigvuldigen: 48 x 75 = 12 x 300.
Bij vermenigvuldigen is het halveren/dubbelen.
128 x 225 =
64 x 450 =
32 x 900 =
7. Groter of kleiner (GOK# maken bij delen: 336 : 12 = 112 : 4.
Beide getallen delen of vermenigvuldigen met hetzelfde getal.
225 : )5 = (delen door 25) 9 : 3 = 3
225 : )5 = (keer 4) 900 : 300 = 3
Kenmerken van deelbaarheid:
Een getal is deelbaar door… als…. Bewijs
2 Het eindigt op 0, 2, 4, 6 of 8. Alle tenvouden zijn deelbaar
door 2.
3 De som van de cijfers van het 34.56) kan niet want:
getal deelbaar is door 3. 3 + 4 + 5 + 6 + ) = 25, 25 is niet
deelbaar door 3.
4 Het getal gevormd door de 2356 is deelbaar door 4 want
laatste 2 cijfers deelbaar is 56 is deelbaar door 4.
door 4.
5 Het eindigt op 0 of 5. Alle tenvouden zijn deelbaar
door 5
6 Het getal deelbaar is door 2 en 1368 is deelbaar door 6, want
3, dan is het ook deelbaar door het is deelbaar door 2 en door
6. 3.
7 Het getal dat gevonden wordt ).364 is deelbaar door ), want
door het laatste cijfer weg te 36 – 2 x 4 = 28. 28 is deelbaar
laten en tweemaal af te door ).
trekken van het getal gevormd
door de overblijvende cijfers.
8 Het getal gevormd door de
laatste 3 cijfers deelbaar is
door 8.
9 De som van de cijfers deelbaar
is door 9.
10 Het eindigt op 0.
Volgorde van bewerkingen:
- Bewerkingen tussen haakjes altjd als eerst.
- Daarna volgen machtsverhefen en worteltrekken.
- Vermenigvuldigen en delen voor optellen en afrekken.
- Vermenigvuldigen en delen gebeurt in de volgorden waarin het staat.
- Optellen en afrekken gebeurt in de volgorden waarin het staat.
