Math Exercises about complex numbers.

LLG-Term Maths Expertes 2020-21 Chapitre 4 Exercices : N OMBRES COMPLEXES



Exercices : N OMBRES COMPLEXES .


Exercice 1 QCM avec justifications.

Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.
Chaque réponse doit être justifiée.
Chaque question est notée sur 1 point. L’absence de réponse ou une réponse non justifiée, même exacte, ne rapporte aucun
point.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.

1. Soit z un nombre complexe ; |z + i| est égal à :
¯ ¯
a. |z| + 1 b. |z − 1| c. ¯ i z + 1¯
p
−1 + i 3
2. Soit z un nombre complexe non nul d’argument θ. Un argument de est :
z
π 2π 2π
a. − +θ b.+θ c. −θ
3 3 3
¡p ¢n
3. Soit n un entier naturel. Le nombre complexe 3 + i est un imaginaire pur si et seulement si :

a. n = 12k + 3 , avec k ∈ Z b. n = 6k + 3 , avec k ∈ Z c. n = 6k , avec k ∈ Z

4. Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i .
³ # » # »´ π
L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec AB ; AC = est :
2
a. 1 − 4i b. −3i c. 7 + 4i


Exercice 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O ; #»
u , #»
v ) (unité graphique 2 cm), on considère les points
A, B et C d’affixes respectives :
p p
z A = 2 , zB = 1 + i 3 et zC = 1 − i 3 .

4


Partie A 3

1. a) Déterminer la forme exponentielle de zB
puis de zC . 2

b) Placer les points A, B et C sur le dessin
fourni en annexe. 1
K+
2. Déterminer la nature du quadrilatère A
0 +
OB AC . −3 −2 −1
O0 1 2 3 4 5

3. Déterminer et construire l’ensemble E des
−1
points M d’affixe z du plan tels que :

−2
|z| = |z − 2| .

−3


Partie B
À tout point M d’affixe z tel que z 6= z A , on associe le point M ′ d’affixe z ′ défini par :

4
z′ = − .
z −2
4
1. a) Résoudre dans C l’équation : z = − .
z −2
b) En déduire les points B ′ et C ′ associés à B et C .



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2. a) Restitution organisée de connaissances.
Soit z un nombre complexe. On rappelle que z est le conjugué de z et que |z| est le module de z. On admet l’égalité
|z|2 = z z .
Montrer que :
— pour tous nombres complexes z1 et z2 , |z1 z2 | = |z1 | |z2 | ,
¯1¯ 1
¯ ¯
— pour tout nombre complexe z non nul, ¯¯ ¯¯ = .
z |z|
b) Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2 :

¯ z − 2¯ = 2|z| .
¯ ′ ¯
|z − 2|

z′
est un nombre réel.
c) Montrer que si la partie réelle de z est égale à 1, alors le quotient
z
3. On suppose dans cette question que M est un point quelconque de E , où E est l’ensemble défini à la question 3. de la
partie A.
Utiliser les résultats de la question 2. de la partie B pour démontrer que :
a) le point M ′ associé à M appartient à un cercle Γ (indépendant du choix de M sur E ) dont on précisera le centre et
le rayon ;
b) les points O, M et M ′ sont alignés.
Tracer Γ. Tracer le point K ′ associé au point K placé sur la figure.


Exercice 3
On considère la suite (zn ) à termes complexes définie par :

zn + |zn |
z0 = 1 + i et, pour tout entier naturel n, zn+1 = .
3
Pour tout entier naturel n, on pose : zn = an + ib n , où an est la partie réelle de zn et b n est la partie imaginaire de zn .
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites (an ) et (b n ).
Partie A

1. Donner a0 et b 0 .
p
1+ 2 1
2. Calculer z1 , puis en déduire que a1 = et b 1 = .
3 3
3. On considère l’algorithme suivant :

Variables : A et B des nombres réels
K et N des nombres entiers
Initialisation : Affecter à A la valeur 1
Affecter à B la valeur 1
Traitement :
Entrer la valeur de N
Pour K variant de 1 à N p
A+ A2 + B 2
Affecter à A la valeur
3
B
Affecter à B la valeur
3
FinPour
Afficher A
a) On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l’état des
variables au cours de l’exécution de l’algorithme (on arrondira les valeurs calculées à 10−4 près).
K A B
1
2
b) Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur affichée par l’algorithme par rapport à la situation étudiée
dans cet exercice ?




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