Datamodelleren Samenvatting - INKU

1. Propositielogica

Talen

Natuurlijke talen:

- Engels, Nederlands
- Niet precies

Formele talen:

- Computertaal, logisch
- Wel precies

Tekens




Alfabet en proposities

- Het alfabet is de verzameling ∑ ≔ A ∪ V ∪ H

Hiermee kunnen woorden uit deze taal als volgt worden opgebouwd:

- Een atoom is een woord
- Als 𝑓 en 𝑔 woorden zijn, dan zijn (𝑓 ∧ 𝑔), (𝑓 ∨ 𝑔), (𝑓 → 𝑔), (𝑓 ↔ 𝑔) en ¬𝑓 woorden
- Alle woorden worden op deze manier gevormd

De woorden van deze taal noemen we proposities

Afspraken propositielogica

- Buitenste haakjes kan je weglaten, binnenste niet

Afspraak:

- ¬ bindt sterker dan ∧
- ∧ bindt sterker dan ∨
- ∨ bindt sterker dan →
- →bindt sterker dan ↔

Als je er een rangorde van maakt krijg je:

1. ¬
2. ∧
3. ∨
4. →
5. ↔

,Associativiteit

Alle voegtekens zijn rechts associatief, dus 𝐴 𝑣 𝐵 𝑣 C wordt 𝐴 𝑣 (𝐵 𝑣 C)



Waarheidstabellen

Tabel van ∧




Tabel van ∨




Tabel van ¬




Tabel van →




Toelichting bij tabel 

, Tabel van ↔




De formule 𝑥 ↔ 𝑦 is ook te schrijven als (𝑥 → 𝑦) ∧ (𝑦 → 𝑥) of als (𝑥 ∨ 𝑦) → (𝑥 ∧ 𝑦)



Waardetoekenning

Een model in de propositielogica is een waardentoekenning of valuatie van de atomen

Om de waarde van een propositie 𝑓 te bepalen hoeven we niet de waarden van alle atomen te
weten, maar alleen van de atomen die in 𝑓 voorkomen

- We zullen daarom een model vaak gelijkstellen aan een eindige waardentoekenning

Tautologie/Logisch waar/Logisch gevolg

Als een propositie waar is in ieder model (waarheidstabel heeft alleen maar 1-en) is de propositie
logisch waar (logisch ware propositie wordt ook tautologie genoemd)

- Notatie logisch waar: ⊨ 𝑓
- Notatie niet logisch waar: ⊭ 𝑓

Logisch equivalent

Twee proposities zijn logisch equivalent als 𝑓 waar is in een model, dan en slechts dan als 𝑔 waar is in
dat model

- Notatie: 𝑓 ≡ 𝑔

Voorbeeld: 𝑎 ∧ 𝑎 is logisch equivalent met 𝑎, dus 𝑎 ∧ 𝑎 ≡ 𝑎

Wetten van De Morgan:

- ¬(𝑓 ∧ 𝑔) ≡ ¬𝑓 ∨ ¬ 𝑔
- ¬(𝑓 ∨ 𝑔) ≡ ¬𝑓 ∧ ¬ 𝑔

Is eigenlijk wiskunde papagaaienbek methode