Continuidad, derivabilidad y
diferenciabilidad
Ej:
E
=
si y EX
six,y)
si x
y =
as continuidad de fen IR2.
b) Existencia de derivadas pariales en los puntos ((X,y) e IRP/x y
=
a) (a,a) y =
x
im y
- 1 a2
=
-
1 a2
=
-
1
I
(X,y)
-
(a,a) x -
y a -
a
BUSCAMOS 8 a
-
1 0
= -
=
a1 -
a =1
=
11
=
I
calculamos el limite cuando a 1 =
ya
-
= 1
a 1 =
~
um y2 -
1 1
=
-
1 =S polares
1 1 D
(x,y)
-
(1,1) x -
y
-
X xx r.COS&
=
+
X 1 =
r.COSA
+
y y r.sent -y 1 r.sene
+
=
+
=
um (1 +
r ser e)- 1
-
um isen
1 + 2.1.usen - 1
r -
(1 r.COS 81-11 +
rsen
+
5) r = 01 rCOS 8-1-rsent
+
-
um rsen8+ 2r sent
-
uim sen + 2 sen ol
ver
rs Strcos8-rsen8 ~- "NCCOS 8-sen)
-
↳in ir sen8+2 sen 8) 7
r - Ot COS A-sen o
Sen t cDS =
8 un f(x,y) =
g(1,1)
en algun punto (x,y) -
(1,1)
No continua en 11,1)
, a =
-
1
↳im y2 -
1 1
=
-
1
-
S
71) D
(x,y) ( 1, 1)x 1
y
-
- - -
-
-
X =
-
1 rCDS
+
y
-
= 1 rsen
+
im (- 1 rsent)2-1
+
-un 1 rsen-2rsen
+
o
8 -c 1 rsent)
"
r 0 1 rCOS rst rcos8-rsent
-
- +
-
+
-
ui rsens-ersene 7
r - 0 rcos-rsen 8
↳m f(X,y) f( 1, 1) = -
-
(x,y) =
(-1.-1) No continua (-1,-1)
come pregunta sies continua en IR entonces decimos que no
10 es porque en 11,1) y (-1,-1) no es continua.
Para ser continua en IR tiene que serlo en todos sus puntos
3) Derivada en varias variables
E
1) por definicion
2) por reglas
1) f(X,y) y2
=
-
1
x
y
-
a2 -
1 - 3
ex Um um
f(a+ha)-f(a,a)
=
= ath- a
n - D n =
0 h
- 1
a
ene
-
n =Un a?- 1 a 1
=
um
-1
a S
=
n - S ↳ h - 0 n2 a =
- 1 no h
no s
D
I
D
n tiende a pero no eso.
S D
ni
07
sia 1ya +
1n
+
=
-
diferenciabilidad
Ej:
E
=
si y EX
six,y)
si x
y =
as continuidad de fen IR2.
b) Existencia de derivadas pariales en los puntos ((X,y) e IRP/x y
=
a) (a,a) y =
x
im y
- 1 a2
=
-
1 a2
=
-
1
I
(X,y)
-
(a,a) x -
y a -
a
BUSCAMOS 8 a
-
1 0
= -
=
a1 -
a =1
=
11
=
I
calculamos el limite cuando a 1 =
ya
-
= 1
a 1 =
~
um y2 -
1 1
=
-
1 =S polares
1 1 D
(x,y)
-
(1,1) x -
y
-
X xx r.COS&
=
+
X 1 =
r.COSA
+
y y r.sent -y 1 r.sene
+
=
+
=
um (1 +
r ser e)- 1
-
um isen
1 + 2.1.usen - 1
r -
(1 r.COS 81-11 +
rsen
+
5) r = 01 rCOS 8-1-rsent
+
-
um rsen8+ 2r sent
-
uim sen + 2 sen ol
ver
rs Strcos8-rsen8 ~- "NCCOS 8-sen)
-
↳in ir sen8+2 sen 8) 7
r - Ot COS A-sen o
Sen t cDS =
8 un f(x,y) =
g(1,1)
en algun punto (x,y) -
(1,1)
No continua en 11,1)
, a =
-
1
↳im y2 -
1 1
=
-
1
-
S
71) D
(x,y) ( 1, 1)x 1
y
-
- - -
-
-
X =
-
1 rCDS
+
y
-
= 1 rsen
+
im (- 1 rsent)2-1
+
-un 1 rsen-2rsen
+
o
8 -c 1 rsent)
"
r 0 1 rCOS rst rcos8-rsent
-
- +
-
+
-
ui rsens-ersene 7
r - 0 rcos-rsen 8
↳m f(X,y) f( 1, 1) = -
-
(x,y) =
(-1.-1) No continua (-1,-1)
come pregunta sies continua en IR entonces decimos que no
10 es porque en 11,1) y (-1,-1) no es continua.
Para ser continua en IR tiene que serlo en todos sus puntos
3) Derivada en varias variables
E
1) por definicion
2) por reglas
1) f(X,y) y2
=
-
1
x
y
-
a2 -
1 - 3
ex Um um
f(a+ha)-f(a,a)
=
= ath- a
n - D n =
0 h
- 1
a
ene
-
n =Un a?- 1 a 1
=
um
-1
a S
=
n - S ↳ h - 0 n2 a =
- 1 no h
no s
D
I
D
n tiende a pero no eso.
S D
ni
07
sia 1ya +
1n
+
=
-
