OWE 7: Verdiepen in rekenontwikkeling: Meten en meetkunde
Hoofdstuk 1: Samenhang meten en meetkunde
Bij meten gaat het om eigenschappen zoals lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en tijdsduur. Een
grootheid (lengte) wordt aangepast met een maat en weergeven met een maateenheid (meter). Met
een meetinstrument (liniaal) kan een meetgetal worden aangeduid (10 cm).
Bij meetkunde gaat het om verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte. Het gaat
bijvoorbeeld om plattegronden, routes, richtingen en eigenschappen van vormen en figuren en om
projecties, schaduwen, symmetrieën, patronen en om twee- en driedimensionale weergaven van de
werkelijkheid.
Didactische opbouw van activiteiten binnen meetkunde:
- Ervaren: waarnemen en concreet handelen: ik heb een schaduw die verandert.
- Verklaren: (in gedachten) beredeneren: hoe kan het dat als ik achter de muur sta, de kinderen mij niet
zien?
- Verbinden: verbinding maken met andere begrippen en verschijnselen: ik moet de kortste fietsroute
van Arnhem naar Nijmegen bepalen en met de schaal uitrekenen hoeveel km dat is.
Ruimtelijk redeneren gaat om een voorstelling kunnen maken van de ruimte, hoe iets kan bewegen en
het innemen van een standpunt. Het valt onder meetkunde, maar kan raakvlakken hebben met meten.
Kwantificeren: ergens een getal aan toekennen (kwantiteit = hoeveelheid).
Gulde snede verhouding: verhouding voor het schoonheidsideaal (meten en meetkunde).
Bezig zijn met meetkunde levert een belangrijke bijdrage aan de ontwikkeling van gecijferdheid (= kennis,
vaardigheden en kwaliteiten die iemand nodig heeft om om te gaan met de kwantitatieve kant van de
wereld om ons heen).
In het onderwijs kunnen meetkundige activiteiten zoals construeren (bouwen) en representeren
(afbeelden van de werkelijkheid zoals een plattegrond of bouwtekening) makkelijk gecombineerd worden
met meetactiviteiten: hierdoor zien leerlingen de onderlinge samenhang van meten en meetkunde.
Hoofdstuk 2: Meten
In het dagelijks leven kom je veel tegen dat met meten te maken heeft, je gebruikt veel meetreferenties.
- referentiegetal: 39 graden lichaamstemperatuur is koorts, gaat uit van referentiegetal 37.
- referentiemaat: een grote stap is ongeveer een meter, een pak sap is een liter.
Meetinstrumenten: bij sommige instrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar (een
maatbeker), andere meetinstrumenten liggen in het verlengde van het afpassen van een maat: een
rolmaat is een aaneenschakeling van meters.
Indirect meten = een bepaalde grootheid (lengte) gebruiken om een andere grootheid te meten
(gewicht), zoals bij een unster (weeghaak met trekveer).
Meetinterval: afstand tussen twee getallen waarbinnen het meetresultaat ligt.
- 19 graden Celsius, meetinterval is 18,5 tot 19,5 graden
Bij een meetonnauwkeurigheid kan ook een meetfout optreden.
- meetfout bij temperatuur kan tot 0,5 graden liggen vanaf 19,0 graden gezien.
,Natuurlijke maat: lengtemaat afgeleid van het menselijk lichaam: duim, palm, handspan, voet, el, vadem
(afstand rechter- en linkerhand).
Gebruik van natuurlijke maten zorgt voor meetonnauwkeurigheid, daarom werd er een standaard
nagestreefd. Het metriek stelsel ontstond. Aan een basiseenheid (meter) werden andere maten
gekoppeld (vierkante meter). Ook kwam er een maatverfijning: tientallige maatverfijning waarin
bijvoorbeeld centimeter om te rekenen is naar meter. De huidige internationale afspraken voor
grootheden en eenheden liggen vast in het Internationaal Stelsel van eenheden (SI-stelsel).
Bij de tientallige maatverfijning is sprake van relaties:
- decimale relatie met factor 10
- kwadratische relatie met factor 100 (10^2)
- kubische relatie met factor 1000 (10^3)
Bij snelheid is sprake van een samengestelde grootheid en maat: ... kilometer per uur.
In een aantal landen landen wordt een ander systeem van maten gehanteerd: imperiale systeem. Hierbij
worden bijvoorbeeld inch, foot, yard en mile gebruikt.
Sommige grootheden hebben een transitiviteitseigenschap, bijvoorbeeld oppervlakte: de som van de
oppervlakte van twee helften van een figuur is gelijk aan de oppervlakte van het figuur.
Afstanden in ons zonnestelsel worden aangeduid in AE (astronomische eenheid). Zo is 1 AE de afstand
van de aarde tot de zon (ongeveer 150 miljoen kilometer). Een lichtjaar is de afstand die het licht in één
jaar aflegt.
Oppervlaktematen:
- centiare: 1 x 1 meter = 1 vierkante meter
- are: 10x10 meter = 100 vierkante meter
- hectare: 100 x 100 meter = 10000 vierkante meter
Inhoudsmaten:
- een liter is gelijk aan kubieke dm
- een ton is een waterverplaatsing van een kubieke meter (begrip scheepvaart)
Gewicht en massa zijn niet hetzelfde: massa geeft de hoeveelheid materie aan, gewicht is de kracht die
de aarde uitoefent op een bepaalde massa (zwaartekracht).
Bij temperatuur is uitgegaan van het vriespunt (0 graden Celsius) en het kookpunt (100 graden Celsius).
Het absolute nulpunt is echter -273,15 graden Celsius. De eenheid Kelvin begint bij het absolute nulpunt,
0 graden Kelvin is dus gelijk aan -273,15 graden Celsius. Ook heb je de eenheid Fahrenheit.
- graden Celsius = 5/9 x (graden Fahrenheit - 32)
- graden Fahrenheit = 9/5 x graden Celsius + 32
Tijd is gebaseerd op sexagesimaal, oftewel een 60-tallig stelsel. Tijd heeft een cyclisch karakter (een dag
of seizoen) en een lineair karakter (een jaartal of eeuw).
Wereldwijd gelden tijdzones. De wereldwijde standaardtijd noemt met UTC (Universal Time
Coordinated). In Nederland geldt UTC+1, en na het verzetten naar zomertijd geldt UTC+2.
, Jaartal aanduidingen:
- lustrum is een tijdvak van 5 jaar
- decennium is een tijdvak van 10 jaar
- millennium is een tijdvak van 1000 jaar
Geluidssnelheid is 340 m/s
Lichtsnelheid is 300.000 km/s
Een hoek is een grootheid die het verschil tussen twee richtingen uitdrukt. Het stelsel is 360-tallig
opgezet. 90 graden noemt men loodrecht, een gestrekte hoek is 180 graden.
De omvang van digitale data kan tot uitdrukking worden gebracht met de eenheid bit (b). Acht bits
vormen samen één byte (B).
Hoofdstuk 3: Meten op de basisschool
Leerlijn meten
1) Ontluikend maatbesef
1.1) Vergelijken en ordenen
1.2) Afpassen
2) Inzicht in meten en maten
2.1) Standaardmaten en meetreferenties
2.2) Hanteren van meetinstrumenten
2.3) Maatverfijning
2.4) Meetnauwkeurigheid
3) Formeel redeneren en rekenen met maten en grootheden
3.1) Inzicht in het metriek stelsel
3.2) Herleiden en omrekenen van maten
3.3) Samengestelde grootheden
Jonge kinderen beheersen het conservatieprincipe nog niet: het inzicht dat verandering van vorm niet
van invloed is op de hoeveelheid.
Jonge kinderen kunnen een cognitief conflict krijgen, bijvoorbeeld als een groot voorwerp lichter blijkt te
zijn dan een kleiner voorwerp.
Soms kunnen kinderen niet direct dingen met elkaar vergelijken, bijvoorbeeld: welke boomstam is het
dikste? Kinderen worden uitgedaagd een intermediair te vinden, bijvoorbeeld het eigen lichaam. Dit is
opstap naar hanteren van meetinstrumenten.
Ordenen op grond van eigenschap wordt seriëren genoemd.
Leerlingen werken aan inzicht in en toepassen van de afrondregels, daarbij gaat het onder andere om de
vraag in welke situaties het passend is om af te ronden.
Een veel voorkomend misconceptie is de overtuiging dat 1 centiliter gelijk is aan 1 kubieke centimeter.
Dit heeft te maken met het voorvoegsel.
Kinderen leren over dichtheid en krijgen een besef in verschil in soortelijke massa.
Hoofdstuk 1: Samenhang meten en meetkunde
Bij meten gaat het om eigenschappen zoals lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en tijdsduur. Een
grootheid (lengte) wordt aangepast met een maat en weergeven met een maateenheid (meter). Met
een meetinstrument (liniaal) kan een meetgetal worden aangeduid (10 cm).
Bij meetkunde gaat het om verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte. Het gaat
bijvoorbeeld om plattegronden, routes, richtingen en eigenschappen van vormen en figuren en om
projecties, schaduwen, symmetrieën, patronen en om twee- en driedimensionale weergaven van de
werkelijkheid.
Didactische opbouw van activiteiten binnen meetkunde:
- Ervaren: waarnemen en concreet handelen: ik heb een schaduw die verandert.
- Verklaren: (in gedachten) beredeneren: hoe kan het dat als ik achter de muur sta, de kinderen mij niet
zien?
- Verbinden: verbinding maken met andere begrippen en verschijnselen: ik moet de kortste fietsroute
van Arnhem naar Nijmegen bepalen en met de schaal uitrekenen hoeveel km dat is.
Ruimtelijk redeneren gaat om een voorstelling kunnen maken van de ruimte, hoe iets kan bewegen en
het innemen van een standpunt. Het valt onder meetkunde, maar kan raakvlakken hebben met meten.
Kwantificeren: ergens een getal aan toekennen (kwantiteit = hoeveelheid).
Gulde snede verhouding: verhouding voor het schoonheidsideaal (meten en meetkunde).
Bezig zijn met meetkunde levert een belangrijke bijdrage aan de ontwikkeling van gecijferdheid (= kennis,
vaardigheden en kwaliteiten die iemand nodig heeft om om te gaan met de kwantitatieve kant van de
wereld om ons heen).
In het onderwijs kunnen meetkundige activiteiten zoals construeren (bouwen) en representeren
(afbeelden van de werkelijkheid zoals een plattegrond of bouwtekening) makkelijk gecombineerd worden
met meetactiviteiten: hierdoor zien leerlingen de onderlinge samenhang van meten en meetkunde.
Hoofdstuk 2: Meten
In het dagelijks leven kom je veel tegen dat met meten te maken heeft, je gebruikt veel meetreferenties.
- referentiegetal: 39 graden lichaamstemperatuur is koorts, gaat uit van referentiegetal 37.
- referentiemaat: een grote stap is ongeveer een meter, een pak sap is een liter.
Meetinstrumenten: bij sommige instrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar (een
maatbeker), andere meetinstrumenten liggen in het verlengde van het afpassen van een maat: een
rolmaat is een aaneenschakeling van meters.
Indirect meten = een bepaalde grootheid (lengte) gebruiken om een andere grootheid te meten
(gewicht), zoals bij een unster (weeghaak met trekveer).
Meetinterval: afstand tussen twee getallen waarbinnen het meetresultaat ligt.
- 19 graden Celsius, meetinterval is 18,5 tot 19,5 graden
Bij een meetonnauwkeurigheid kan ook een meetfout optreden.
- meetfout bij temperatuur kan tot 0,5 graden liggen vanaf 19,0 graden gezien.
,Natuurlijke maat: lengtemaat afgeleid van het menselijk lichaam: duim, palm, handspan, voet, el, vadem
(afstand rechter- en linkerhand).
Gebruik van natuurlijke maten zorgt voor meetonnauwkeurigheid, daarom werd er een standaard
nagestreefd. Het metriek stelsel ontstond. Aan een basiseenheid (meter) werden andere maten
gekoppeld (vierkante meter). Ook kwam er een maatverfijning: tientallige maatverfijning waarin
bijvoorbeeld centimeter om te rekenen is naar meter. De huidige internationale afspraken voor
grootheden en eenheden liggen vast in het Internationaal Stelsel van eenheden (SI-stelsel).
Bij de tientallige maatverfijning is sprake van relaties:
- decimale relatie met factor 10
- kwadratische relatie met factor 100 (10^2)
- kubische relatie met factor 1000 (10^3)
Bij snelheid is sprake van een samengestelde grootheid en maat: ... kilometer per uur.
In een aantal landen landen wordt een ander systeem van maten gehanteerd: imperiale systeem. Hierbij
worden bijvoorbeeld inch, foot, yard en mile gebruikt.
Sommige grootheden hebben een transitiviteitseigenschap, bijvoorbeeld oppervlakte: de som van de
oppervlakte van twee helften van een figuur is gelijk aan de oppervlakte van het figuur.
Afstanden in ons zonnestelsel worden aangeduid in AE (astronomische eenheid). Zo is 1 AE de afstand
van de aarde tot de zon (ongeveer 150 miljoen kilometer). Een lichtjaar is de afstand die het licht in één
jaar aflegt.
Oppervlaktematen:
- centiare: 1 x 1 meter = 1 vierkante meter
- are: 10x10 meter = 100 vierkante meter
- hectare: 100 x 100 meter = 10000 vierkante meter
Inhoudsmaten:
- een liter is gelijk aan kubieke dm
- een ton is een waterverplaatsing van een kubieke meter (begrip scheepvaart)
Gewicht en massa zijn niet hetzelfde: massa geeft de hoeveelheid materie aan, gewicht is de kracht die
de aarde uitoefent op een bepaalde massa (zwaartekracht).
Bij temperatuur is uitgegaan van het vriespunt (0 graden Celsius) en het kookpunt (100 graden Celsius).
Het absolute nulpunt is echter -273,15 graden Celsius. De eenheid Kelvin begint bij het absolute nulpunt,
0 graden Kelvin is dus gelijk aan -273,15 graden Celsius. Ook heb je de eenheid Fahrenheit.
- graden Celsius = 5/9 x (graden Fahrenheit - 32)
- graden Fahrenheit = 9/5 x graden Celsius + 32
Tijd is gebaseerd op sexagesimaal, oftewel een 60-tallig stelsel. Tijd heeft een cyclisch karakter (een dag
of seizoen) en een lineair karakter (een jaartal of eeuw).
Wereldwijd gelden tijdzones. De wereldwijde standaardtijd noemt met UTC (Universal Time
Coordinated). In Nederland geldt UTC+1, en na het verzetten naar zomertijd geldt UTC+2.
, Jaartal aanduidingen:
- lustrum is een tijdvak van 5 jaar
- decennium is een tijdvak van 10 jaar
- millennium is een tijdvak van 1000 jaar
Geluidssnelheid is 340 m/s
Lichtsnelheid is 300.000 km/s
Een hoek is een grootheid die het verschil tussen twee richtingen uitdrukt. Het stelsel is 360-tallig
opgezet. 90 graden noemt men loodrecht, een gestrekte hoek is 180 graden.
De omvang van digitale data kan tot uitdrukking worden gebracht met de eenheid bit (b). Acht bits
vormen samen één byte (B).
Hoofdstuk 3: Meten op de basisschool
Leerlijn meten
1) Ontluikend maatbesef
1.1) Vergelijken en ordenen
1.2) Afpassen
2) Inzicht in meten en maten
2.1) Standaardmaten en meetreferenties
2.2) Hanteren van meetinstrumenten
2.3) Maatverfijning
2.4) Meetnauwkeurigheid
3) Formeel redeneren en rekenen met maten en grootheden
3.1) Inzicht in het metriek stelsel
3.2) Herleiden en omrekenen van maten
3.3) Samengestelde grootheden
Jonge kinderen beheersen het conservatieprincipe nog niet: het inzicht dat verandering van vorm niet
van invloed is op de hoeveelheid.
Jonge kinderen kunnen een cognitief conflict krijgen, bijvoorbeeld als een groot voorwerp lichter blijkt te
zijn dan een kleiner voorwerp.
Soms kunnen kinderen niet direct dingen met elkaar vergelijken, bijvoorbeeld: welke boomstam is het
dikste? Kinderen worden uitgedaagd een intermediair te vinden, bijvoorbeeld het eigen lichaam. Dit is
opstap naar hanteren van meetinstrumenten.
Ordenen op grond van eigenschap wordt seriëren genoemd.
Leerlingen werken aan inzicht in en toepassen van de afrondregels, daarbij gaat het onder andere om de
vraag in welke situaties het passend is om af te ronden.
Een veel voorkomend misconceptie is de overtuiging dat 1 centiliter gelijk is aan 1 kubieke centimeter.
Dit heeft te maken met het voorvoegsel.
Kinderen leren over dichtheid en krijgen een besef in verschil in soortelijke massa.
