Notes de cours de réduction d’endomorphisme de MP*

, Réduction d’endomorphisme
Dans lasaike East u le-ew et Ik=1 au & au es-coups de K.


Fast stable
Définition : Sait et LIE), Fem sau de E. On dit
que pau elanque m(F) cF,
On moke:
F F
Upi -

en su(x) dit endamaphisme induit par en sun F.


Propriété : Sait F, 0 seu de Etq E= F*Get
dim Ect. Sait et 2IE).


Fstable par ec = ileniste B base adapte la Somme
à directe ta
CB BrtDa
=


concatination)
Hatz(u)=
(A·(*dimk
->

dif
A
Pas a
as, Hat/ur) of C
Hat,(r) v:6
au - >6
=




x 1 - 40u(x)
Ta projection Son GIF.
(Se giminalise alFil

Propriété : Sait u , veLIE) by now=
von. Alas Welt, Lucard) stable par a (*).

(Kav-XId) stable par a)
De in avec las images.


D:Montan(*). Sait dette, Sait actu(e-dId). Alas:
-


e() xx =
= v(e(x)) xu(x) =


E er(r) =
Xu(x) => N(R) = lecer-dId) QED.
lov=
vole



Définition : Sait re RIE).
1) elle est dite valeur propre dei lauque:JeczEKOh, er(x) da.
=
- est vocker proprecher
in layque e-AId man
injectif. associé à1.



2) On mote Spee l des valeurs propres, dit spacte deu.. Et Etenlu-Id) en des rep
associés al de Jpu. Dit espace
propre.
Propriété : Sait et LIE).
1) debpeku(e -Id) = 40_) (ny (r -Id) <dim E
Si Edim
finie

même 2) AtSpe=Ex Ke (a - Id) est stable pauer et Me
De
les
=
=
Ide,
avec

matrices 3) Of Sp =su mon
injectif.
a) X-Spe=> FRANN, 1 = Spee

5)
Fattle, Sp(e-CId) Spas = -

<




Remarque : Specke de projection:40,1)
symetive:G-1,1)

Propriété : Saitn - 2IE).
1) K
espace propres de e sant en Somme directe CREIN*
2) Une famille de vep associe al des vap zaz est libre.
3) Si
dimEts:dimich dime au -, atSp(a) Lä2t

, ISpal dimE
<

Di
5
-

Ha=k espace propre de usant en samme dirce"

1 1:Frial
=




Sait Kett* Ma. Sait -Date vapde.
to x x.+ -
=
+

dat Est- + Ente de




202 +. Six =
: Ona: = a Edi= danie un
-




deEri= ve
dans E-Auri=O de Vie DeskD, (i-da/sie Exi-Dau par ta

Fiet, kD, (i-a+1) ki 0E =
=
Fie1, kD, ci=0E
-
= 0
au
vap 22 *
D auFier,k+D, vi 0.
=
Danz les Exi Saut en samme directe.

2) Sait (ilizt Spral*au Si Läf et associés auc
Creilictet le manvide.

Ona: libre
Iailier > K5finic I,
(kg)jes
libre.


Sait J fini CI. Sait (litgelk tu s Til=O. Par (), au a directement

Fjt], 0da FjzJ, 15 0
1jj=
=




-OE

3)Se déduit de (1)



Exemple : la famille (fx) de est libe des i* ou fa: Kelre eleiM.

Car fauille de vep de Dife CT) ts f'e 2011M).


Propriété : Art B semblable =>
ngA nyB =




SpH=SpB

TrA Tr =




RA RB =




Définition : Pour At Mulle) an appelle polymone canactinistiques XA det (XIm-A)
=




Définition : Sait rt LIE), dimnEc+a.
1) On dit
que rest diaganalisable lansqu'il eseiste une base de Et Matta) est

diagonale.

2) On dit que Az Mullk) est diagonalisable lasque: JPeGm(Ik),IDeDk), A=PDP-
matrices diagonales

Propriété : Sait ne LE), dimEce et A-Mat(e) au B boxe de E.


Alas:a diagable =-
Adiagable
D Immödiat par la définition