UPHF - INSA HdF
Licence Mathématiques
2ème année - Semestre 4 année 21/22
Unité d’enseignement : Algèbre 4P
Fiche de TD n°2 : Formes linéaires, dualité
Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, E désigne un R-espace vectoriel et B une base de E.
On désigne par C la base canonique de E et par C ⋆ la base duale de C.
Exprimer la base duale B ⋆ de B dans la base C ⋆ de E ⋆ dans chacun de ces cas.
a) E = R2 , B = (v1 , v2 ) , avec v1 = (1, 1) , v2 = (1, −1).
b) E = R3 , B = (v1 , v2 , v3 ) , avec v1 = (1, 0, 0) , v2 = (1, 1, 0) , v3 = (1, 1, 1).
c) E = R2 [X] , B = (v1 , v2 , v3 ) , avec v1 = 1 − X, v2 = 1 + X , v3 = X 2 .
Exercice 2
Dans l’espace vectoriel E = R3 , muni de sa base canonique C = (e1 , e2 , e3 ), on considère les vecteurs
u1 = e2 + e3 , u2 = e2 − e3 , u3 = e1 + e2 − 2e3 .
1) Justifier le fait que B = (u1 , u2 , u3 ) soit une base de E et déterminer sa base duale.
2) On note F le sous-espace vectoriel de E engendré par les vecteurs u1 et u2 .
Justifier le fait que F soit un hyperplan de E, et déterminer l’une de ses équations.
3) Déterminer un système d’équations de G, sous-espace vectoriel de E engendré par le vecteur u3 .
Exercice 3 [DS mai 2019]
Soient E l’espace vectoriel R3 usuel, muni de sa base canonique C = (e1 , e2 , e3 ) et E ∗ l’espace dual de E.
On notera C ∗ = (e∗1 , e∗2 , e∗3 ) la base duale de C.
On considère les trois formes linéaires sur E : Φ1 , Φ2 , Φ3 , définies par
Φ1 = −e∗2 − e∗3 , Φ2 = −e∗1 − e∗3 , Φ3 = −e∗1 − e∗2 .
1) Vérifier que la famille B ∗ = (Φ1 , Φ2 , Φ3 ) est une base de E ∗ .
2) Calculer la base B = {d1 , d2 , d3 } de E, préduale de la base B ∗ de E ∗ .
Exercice 4 [DS mars 2020]
Soit le R-espace vectoriel E = R2 [X], muni de ses deux opérations habituelles.
∗
1) On note C la base canonique de E et C ∗ = (1∗ , X ∗ X 2 ) sa base duale.
Donner les images d’un polynôme P ∈ E par les formes linéaires qui composent la base C ∗ .
2) On considère les formes linéaires ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , définies par :
Z 1
∀P ∈ E , ϕ1 (P ) = P (1) , ϕ2 (P ) = P ′ (1) , ϕ3 (P ) = P (t)dt.
0
Montrer que la famille B ∗ = {ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 } est une base de l’espace dual de E, noté E ∗ .
1
Licence Mathématiques
2ème année - Semestre 4 année 21/22
Unité d’enseignement : Algèbre 4P
Fiche de TD n°2 : Formes linéaires, dualité
Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, E désigne un R-espace vectoriel et B une base de E.
On désigne par C la base canonique de E et par C ⋆ la base duale de C.
Exprimer la base duale B ⋆ de B dans la base C ⋆ de E ⋆ dans chacun de ces cas.
a) E = R2 , B = (v1 , v2 ) , avec v1 = (1, 1) , v2 = (1, −1).
b) E = R3 , B = (v1 , v2 , v3 ) , avec v1 = (1, 0, 0) , v2 = (1, 1, 0) , v3 = (1, 1, 1).
c) E = R2 [X] , B = (v1 , v2 , v3 ) , avec v1 = 1 − X, v2 = 1 + X , v3 = X 2 .
Exercice 2
Dans l’espace vectoriel E = R3 , muni de sa base canonique C = (e1 , e2 , e3 ), on considère les vecteurs
u1 = e2 + e3 , u2 = e2 − e3 , u3 = e1 + e2 − 2e3 .
1) Justifier le fait que B = (u1 , u2 , u3 ) soit une base de E et déterminer sa base duale.
2) On note F le sous-espace vectoriel de E engendré par les vecteurs u1 et u2 .
Justifier le fait que F soit un hyperplan de E, et déterminer l’une de ses équations.
3) Déterminer un système d’équations de G, sous-espace vectoriel de E engendré par le vecteur u3 .
Exercice 3 [DS mai 2019]
Soient E l’espace vectoriel R3 usuel, muni de sa base canonique C = (e1 , e2 , e3 ) et E ∗ l’espace dual de E.
On notera C ∗ = (e∗1 , e∗2 , e∗3 ) la base duale de C.
On considère les trois formes linéaires sur E : Φ1 , Φ2 , Φ3 , définies par
Φ1 = −e∗2 − e∗3 , Φ2 = −e∗1 − e∗3 , Φ3 = −e∗1 − e∗2 .
1) Vérifier que la famille B ∗ = (Φ1 , Φ2 , Φ3 ) est une base de E ∗ .
2) Calculer la base B = {d1 , d2 , d3 } de E, préduale de la base B ∗ de E ∗ .
Exercice 4 [DS mars 2020]
Soit le R-espace vectoriel E = R2 [X], muni de ses deux opérations habituelles.
∗
1) On note C la base canonique de E et C ∗ = (1∗ , X ∗ X 2 ) sa base duale.
Donner les images d’un polynôme P ∈ E par les formes linéaires qui composent la base C ∗ .
2) On considère les formes linéaires ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , définies par :
Z 1
∀P ∈ E , ϕ1 (P ) = P (1) , ϕ2 (P ) = P ′ (1) , ϕ3 (P ) = P (t)dt.
0
Montrer que la famille B ∗ = {ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 } est une base de l’espace dual de E, noté E ∗ .
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