Cours IV - Réduction des endomorphismes dans un espace euclidien

UPHF - INSA HdF Licence Mathématiques
2ème année - Semestre 4 année 21/22

Unité d’enseignement : Algèbre 4P
Cours : Chap IV
Réduction des endomorphismes dans un espace euclidien

Dans tout ce chapitre, on note (E, ⟨. , .⟩) un espace euclidien de dimension n ≥ 1.


1 Adjoint d’un endomorphisme
Théorème-Définition 1 : Soit u ∈ L(E).
Il existe un unique endomorphisme de E, appelé ::::::
adjoint::: u, et noté u∗ , tel que
de ::

∀(x, y) ∈ E 2 , ⟨u(x), y⟩ = ⟨x, u∗ (y)⟩.

Preuve :

Proposition 2 : L’application
φ : L(E) −→ L(E) , u 7−→ u∗
est linéaire et involutive. C’est-à-dire que φ ◦ φ = idL(E) .

Preuve :


Proposition 3 : Soit u un endomorphisme de E.
On a :
(i) ∀v ∈ L(E) , (u ◦ v)∗ = v ∗ ◦ u∗ .
(ii) Ker(u∗ ) = (Im(u))⊥ et Im(u∗ ) = (Ker(u))⊥ .
(iii) Les endomorphismes u et u∗ ont le même rang.

Preuve :


Proposition 4 : Soit u un endomorphisme de E.
Si B est une base orthonormale de E, alors on a :

matB (u∗ ) = tmatB (u).

Et on en déduit que u et u∗ ont le même polynôme caractéristique, et donc le même déterminant et le même
spectre.

Preuve :


2 Endomorphismes auto-adjoints (ou symétriques)
Définition 5 : Un endomorphisme u : E −→ E est dit ::::::::::
autoadjoint ou symétrique
:::::::::
si u = u∗ ,
ou encore
∀(x, y) ∈ E 2 , ⟨u(x), y⟩ = ⟨x, u(y)⟩.

Définition 6 : Un endomorphisme u : E −→ E est dit antisymétrique
:::::::::::::
si u = −u∗ , ou encore

∀(x, y) ∈ E 2 , ⟨u(x), y⟩ = −⟨x, u(y)⟩.


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