Probability Assignment

1


Probability Assingment
Question 1

(a)

P ( X ≥10 )=1−P ( X <10 )¿ 1− ( 1536
−1
x+
1
128
x + x− )
13
96
5
8
3 2




¿ 1−( ( 10 ) + (10)− )¿ ¿ 0.140625
−1 1 3 13 2 5 9
( 10 ) +
1536 128 96 8 64

(b)
d
f ( x )= ( F ( x ))
dx
For x <4 :
d
f ( x )= ( 0 )¿ 0
dx

For 4 ≤ x ≤12 :

f ( x )=
dx 1536 (
d −1 3 1 2 13
x+
128
5
x + x − ¿−
96 8
3
1536
2
x+
2
128 )
13
x + ¿−
1 2 1
96 512
x + x+
64
13
96
For x >12:
d
f ( x )= ( 1 ) ¿ 0
dx
Therefore, the probability density function for X is:


{
−1 2 1 13
x + x+ 4 ≤ x ≤12
f ( x )= 512 64 96
0 otherwise
(c)

The mean:
∞ 12 12
μ= E ( X )¿ ∫ x f ( x ) dx¿ ∫ x
−∞ 4
( −1 2 1
512
x + x+
64
13
96
dx¿ ∫
4 512
)
−1 3 1 2 13
(
x + x + x dx
64 96 )
[ ]
12
−1 4 1 3 13 2
¿ x + x+ x
4 (512 ) 3 ( 64 ) 2 ( 96 ) 4


¿
( 4 −1
( 512 )
( 12 ) +4 1
3 ( 64 )
3
( 12 ) +
13
2 ( 96 )
2
)
(12 ) −
( −1
4 ( 512 )
4
( 4) +
1
3 ( 64 )
3
(4 ) +
13
2 ( 96 )
2
) 8 24
( 4 ) ¿ 69 − 31

22
¿ ¿ 7.3333 μm
3

The standard deviation:
√
σ ( X )= E ( X ) − [ E ( X ) ]
2 2

, 2


∞ 12 12
E ( X ) =∫ x f ( x ) dx¿ ∫ x
2 2

−∞
2

4
( −1 2 1
512
x + x+
64
13
96
dx¿ ∫
4
)
512 (
−1 4 1 3 13 2
x + x + x dx
64 96 )
[ ]
12
−1 5 1 13 3
¿ x+ x4 + x
5 ( 512 ) 4 ( 64 ) 3 ( 96 ) 4


¿
(−1
5 ( 512 )
( 12 )5 +
1
4 ( 64 )
( 12 )4 +
13
3 ( 96 )
( 12 )3 −
−1
)(
5 (512 )
( 4 ) 5+
1
4 ( 64 )
( 4 )4 +
13
3 ( 96 ) )
( 4 )3 ¿ 309 − 157
5 45
2624
¿
45
Therefore:


√ ( )
2
2624 22 ≈ 2.1292
√
σ ( X )= E ( X ) −[ E ( X ) ] ¿
2 2

45
−
3




Question 2

(a)

P ( X >58 ) =0.24

P ( X >58 ) =P Z > ( 58−μ
σ )
P Z>( 58−μ
σ )
=0.24¿ 1−P Z ≤
58−μ
σ ( )
P Z≤( 58−μ
σ )
=1−0.24 ¿ 0.76

The Z score for which cumulative probability is 0.76 is:0.7063

58−μ
0.7063=
σ
μ+0.7063 σ =58(2.1)


P ( X >24 )=0.87

P Z>( 24−μ
σ )
=0.87¿ 1−P Z ≤
24−μ
σ ( )
P Z≤( 24−μ
σ )
=1−0.87¿ 0.13

The Z score for which cumulative probability is 0.13 is:−1.1264