Week 1 Steekproevenverdelingen en hypothesetoetsing
Steekproefverdeling
Een steekproefverdeling (sampling distribution) is de verdeling van een statistiek die is
afgeleid van alle mogelijke steekproeven van een bepaalde grootte (n) uit een populatie. Het
is de verdeling die we zouden krijgen als we een oneindig aantal steekproeven zouden
nemen. Het is een schatting van variabiliteit die we kunnen verwachten van een normale
steekproef in de populatie.
De stappen die nodig zijn om een steekproefverdeling te maken:
1. We beginnen met een bepaalde populatie (bv. alle eerstejaarsstudenten), neem
vervolgens alle mogelijke steekproeven uit deze populatie
2. Voor elke steekproef berekenen we een statistiek (zoals gemiddeld gewicht,
gemiddelde). Meestal berekenen we het gemiddelde, maar we kunnen ook een
andere statistiek berekenen zoals de mediaan.
3. Als we vervolgens de verdeling van al deze statistieken uitzetten, krijgen we de
steekproefverdeling. Zo plotten we bijvoorbeeld de gemiddelden van alle mogelijke
steekproeven.
Een steekproefverdeling laat zien hoeveel variabiliteit tussen steekproeven we bij toeval
kunnen verwachten als gevolg van steekproeffouten. De steekproeffout is de fout die
ontstaat doordat niet de gehele populatie wordt onderzocht maar slechts een beperkt deel
(een steekproef) daarvan.
Als we bijvoorbeeld de gemiddelde lengte van konijnenoren berekenen in een steekproef
van 20 konijnen, zal het gemiddelde waarschijnlijk door steekproeffouten afwijken van dat
van de gehele populatie. Gelukkig is de steekproefverdeling van een statistiek (van alle
mogelijke steekproeven) normaal verdeeld. Wat ons voorbeeld betreft, als we 100
verschillende steekproeven van konijnen zouden meten, zou hun gemiddelde verdeling
normaler zijn dan die van 1 steekproef (dat extreem lange of korte konijnen kan bevatten). U
kunt dit zien in de afbeelding hierboven. Dus als we bijvoorbeeld een steekproefverdeling
zouden maken van de verschillen tussen de gemiddelden van alle getrokken steekproeven
van een bepaalde grootte, dan zou deze verdeling normaal verdeeld zijn.
Een hypothese is een stelling die wordt opgesteld als basis voor een redenering. Het is een
uitspraak over populatieparameters.
Er zijn twee soorten hypothesen:
- De nulhypothese (Ho): er is geen verschil/verandering tussen bepaalde populaties
op een bepaalde variabele. Er is niets aan de hand. Voorbeeld: in beide populaties is
het gemiddelde voor de lengte van konijnenoren hetzelfde (µ, µ = 0). De
nulhypothese moet worden opgeschreven als: Ho: µ = ….
- De alternatieve hypothese (Ha ) stelt dat er verschil/verandering/relatie bestaat
tussen bepaalde populaties op een variabele. Met andere woorden, er is iets aan de
, hand. Voorbeeld: de gemiddelde oorlengte van konijnen is groter in populatie 1 dan
in populatie 2.
Eenzijdige of tweezijdige alternatieve hypothese
De alternatieve hypothese kan op twee manieren worden geformuleerd, eenzijdig of
tweezijdig. Keuze voor eenzijdig (links/rechts) of tweezijdig is afhankelijk van onze kennis
en verwachting. Als de alternatieve hypothese al een richting geeft aan het verschil
(bijvoorbeeld: mannetjes kikkers zijn groter dan vrouwtjes kikkers), mag je eenzijdig toetsen.
Als je vooraf geen verwachting hebt over de richting van het verschil moet je tweezijdig
toetsen.
Een ander voorbeeld is dat de gemiddelde lengte van konijnenoren gelijk is aan zeven, dus
Ho: µ = 7 (er is niets aan de hand, dit is de normale situatie of de nulhypothese) en onze
alternatieve hypothese zou kunnen zijn Ha: µ> 7 (we denken dus dat onze steekproef een
significant langere lengte oren heeft in vergelijking met het gemiddelde=7).
Als je dit in een normale verdeling zou tekenen, zou de Ha rechts van Họ (= rechtsdraaiende
alternatieve hypothese), omdat onze hypothese stelt dat een bepaalde waarde hoger is dan
het gemiddelde (u) in die populatie en dus rechts van µ in de verdeling.
Rechtsdraaiend: Ha > H0
Linksdraaiend: Ha < H0
p-waarde= De kans op deze of een extremere toetsstatistiek, als in werkelijkheid de
nulhypothese waar is.
De p-waarde laat de kracht van het bewijs tegen de nulhypothese zien. Als de p-waarde erg
laag is, is de data onwaarschijnlijk onder de nulhypothese, dus dan is de nulhypothese
waarschijnlijk onjuist.
Een steekproefstatistiek beschrijft de kenmerken van de steekproef, zoals het gemiddelde,
de variantie of de mediaan. Een testgrootheid is een grootheid zoals z, die een eigen
steekproefverdeling heeft.
● Het gemiddelde van een testgrootheid: X
● De standaardafwijking testgrootheid = s.
● Het gemiddelde van een populatieparameter (zoals z-scores) = μ
● Standaardafwijking populatie = σ
Afwijzingscriterium (significantieniveau): waarde die wordt gebruikt om het begrip
"onwaarschijnlijk" in een hypothesetoets weer te geven. Meestal α = 0.05.
Als het significantieniveau 0,05 is, betekent dit dat u deze statistiek slechts in 5% van de
gevallen zult vinden wanneer de nulhypothese juist is. Dit is dus zeer onwaarschijnlijk.
Omdat het zo onwaarschijnlijk is, verwerpen we de nulhypothese H0 als we een statistiek
vinden met een waarschijnlijkheid (p-waarde) van 0,05 of lager.
, Verwerpingsgebied: de grootte van dit gebied wordt bepaald door α. Alle statistieken
waarvan de waarschijnlijkheid onder Ho kleiner zijn dan of gelijk zijn aan het
afwijzingscriterium (sα), vallen in het afwijzingsgebied.
Tweezijdige toetsing: α/2! Als we aan twee kanten toetsen, wordt de alpha in tweeën
gedeeld. Dit resulteert in een alfa-niveau (significantieniveau) dat verdeeld is over beide
zijden van de verdeling, waarbij je bijvoorbeeld de laagste 2,5% en de hoogste 2,5%
verwerpt.
Fouten
- Type I fout: als Ho wordt verworpen terwijl Ho waar is. De kans dat dit gebeurt is
even groot als α.
- Type II-fout: Ho behouden terwijl Ho niet waar is. De kans op het maken van deze
fout wordt gesymboliseerd door ẞ (beta).
Vermogen
De power is de kans dat Ho wordt verworpen als Ho onjuist is. Want ẞ is de kans dat Ho
niet wordt verworpen terwijl Ha waar is.
Power = 1 - ẞ
Samenvatting
Onze conclusie: Handhaving Onze conclusie:
van Ho Verwerping van Ho
Ho is waar Juiste beslissing = 1 - α Type 1 fout = α
Ho is niet waar Type II fout = ẞ Juiste beslissing = power =
1- ẞ
Stappenplan voor hypothesetests:
1. Formuleer de nulhypothese en de alternatieve hypothese
2. Bepaal de steekproefverdeling van de teststatistiek onder de aanname dat Ho waar is.
3. Teststatistiek (van steekproefstatistiek → teststatistiek)
4. Verwerpingsgebied
5. Statistische conclusie: verwerp of behoud de nulhypothese.
6. Inhoudelijke conclusie: geef een antwoord op de onderzoeksvraag.
Voorbeeld hypothesetest: De konijnen in je tuin lijken langere oren te hebben dan normale
konijnen, dus voer je een statistische test uit om te zien of ze inderdaad significant grotere
oren hebben.
1. Nulhypothese: Er is geen verschil tussen onze steekproef van konijnen en normale
konijnen in de populatie. (μ₁-μ₂ = 0)
Alternatieve hypothese: Onze konijnen hebben grotere oren dan normale konijnen in
de populatie (u1 >u2)
2. De steekproefverdeling is wat we zouden krijgen als we de oren van elk konijn in de
populatie zouden meten en een verdeling zouden maken.
Steekproefverdeling
Een steekproefverdeling (sampling distribution) is de verdeling van een statistiek die is
afgeleid van alle mogelijke steekproeven van een bepaalde grootte (n) uit een populatie. Het
is de verdeling die we zouden krijgen als we een oneindig aantal steekproeven zouden
nemen. Het is een schatting van variabiliteit die we kunnen verwachten van een normale
steekproef in de populatie.
De stappen die nodig zijn om een steekproefverdeling te maken:
1. We beginnen met een bepaalde populatie (bv. alle eerstejaarsstudenten), neem
vervolgens alle mogelijke steekproeven uit deze populatie
2. Voor elke steekproef berekenen we een statistiek (zoals gemiddeld gewicht,
gemiddelde). Meestal berekenen we het gemiddelde, maar we kunnen ook een
andere statistiek berekenen zoals de mediaan.
3. Als we vervolgens de verdeling van al deze statistieken uitzetten, krijgen we de
steekproefverdeling. Zo plotten we bijvoorbeeld de gemiddelden van alle mogelijke
steekproeven.
Een steekproefverdeling laat zien hoeveel variabiliteit tussen steekproeven we bij toeval
kunnen verwachten als gevolg van steekproeffouten. De steekproeffout is de fout die
ontstaat doordat niet de gehele populatie wordt onderzocht maar slechts een beperkt deel
(een steekproef) daarvan.
Als we bijvoorbeeld de gemiddelde lengte van konijnenoren berekenen in een steekproef
van 20 konijnen, zal het gemiddelde waarschijnlijk door steekproeffouten afwijken van dat
van de gehele populatie. Gelukkig is de steekproefverdeling van een statistiek (van alle
mogelijke steekproeven) normaal verdeeld. Wat ons voorbeeld betreft, als we 100
verschillende steekproeven van konijnen zouden meten, zou hun gemiddelde verdeling
normaler zijn dan die van 1 steekproef (dat extreem lange of korte konijnen kan bevatten). U
kunt dit zien in de afbeelding hierboven. Dus als we bijvoorbeeld een steekproefverdeling
zouden maken van de verschillen tussen de gemiddelden van alle getrokken steekproeven
van een bepaalde grootte, dan zou deze verdeling normaal verdeeld zijn.
Een hypothese is een stelling die wordt opgesteld als basis voor een redenering. Het is een
uitspraak over populatieparameters.
Er zijn twee soorten hypothesen:
- De nulhypothese (Ho): er is geen verschil/verandering tussen bepaalde populaties
op een bepaalde variabele. Er is niets aan de hand. Voorbeeld: in beide populaties is
het gemiddelde voor de lengte van konijnenoren hetzelfde (µ, µ = 0). De
nulhypothese moet worden opgeschreven als: Ho: µ = ….
- De alternatieve hypothese (Ha ) stelt dat er verschil/verandering/relatie bestaat
tussen bepaalde populaties op een variabele. Met andere woorden, er is iets aan de
, hand. Voorbeeld: de gemiddelde oorlengte van konijnen is groter in populatie 1 dan
in populatie 2.
Eenzijdige of tweezijdige alternatieve hypothese
De alternatieve hypothese kan op twee manieren worden geformuleerd, eenzijdig of
tweezijdig. Keuze voor eenzijdig (links/rechts) of tweezijdig is afhankelijk van onze kennis
en verwachting. Als de alternatieve hypothese al een richting geeft aan het verschil
(bijvoorbeeld: mannetjes kikkers zijn groter dan vrouwtjes kikkers), mag je eenzijdig toetsen.
Als je vooraf geen verwachting hebt over de richting van het verschil moet je tweezijdig
toetsen.
Een ander voorbeeld is dat de gemiddelde lengte van konijnenoren gelijk is aan zeven, dus
Ho: µ = 7 (er is niets aan de hand, dit is de normale situatie of de nulhypothese) en onze
alternatieve hypothese zou kunnen zijn Ha: µ> 7 (we denken dus dat onze steekproef een
significant langere lengte oren heeft in vergelijking met het gemiddelde=7).
Als je dit in een normale verdeling zou tekenen, zou de Ha rechts van Họ (= rechtsdraaiende
alternatieve hypothese), omdat onze hypothese stelt dat een bepaalde waarde hoger is dan
het gemiddelde (u) in die populatie en dus rechts van µ in de verdeling.
Rechtsdraaiend: Ha > H0
Linksdraaiend: Ha < H0
p-waarde= De kans op deze of een extremere toetsstatistiek, als in werkelijkheid de
nulhypothese waar is.
De p-waarde laat de kracht van het bewijs tegen de nulhypothese zien. Als de p-waarde erg
laag is, is de data onwaarschijnlijk onder de nulhypothese, dus dan is de nulhypothese
waarschijnlijk onjuist.
Een steekproefstatistiek beschrijft de kenmerken van de steekproef, zoals het gemiddelde,
de variantie of de mediaan. Een testgrootheid is een grootheid zoals z, die een eigen
steekproefverdeling heeft.
● Het gemiddelde van een testgrootheid: X
● De standaardafwijking testgrootheid = s.
● Het gemiddelde van een populatieparameter (zoals z-scores) = μ
● Standaardafwijking populatie = σ
Afwijzingscriterium (significantieniveau): waarde die wordt gebruikt om het begrip
"onwaarschijnlijk" in een hypothesetoets weer te geven. Meestal α = 0.05.
Als het significantieniveau 0,05 is, betekent dit dat u deze statistiek slechts in 5% van de
gevallen zult vinden wanneer de nulhypothese juist is. Dit is dus zeer onwaarschijnlijk.
Omdat het zo onwaarschijnlijk is, verwerpen we de nulhypothese H0 als we een statistiek
vinden met een waarschijnlijkheid (p-waarde) van 0,05 of lager.
, Verwerpingsgebied: de grootte van dit gebied wordt bepaald door α. Alle statistieken
waarvan de waarschijnlijkheid onder Ho kleiner zijn dan of gelijk zijn aan het
afwijzingscriterium (sα), vallen in het afwijzingsgebied.
Tweezijdige toetsing: α/2! Als we aan twee kanten toetsen, wordt de alpha in tweeën
gedeeld. Dit resulteert in een alfa-niveau (significantieniveau) dat verdeeld is over beide
zijden van de verdeling, waarbij je bijvoorbeeld de laagste 2,5% en de hoogste 2,5%
verwerpt.
Fouten
- Type I fout: als Ho wordt verworpen terwijl Ho waar is. De kans dat dit gebeurt is
even groot als α.
- Type II-fout: Ho behouden terwijl Ho niet waar is. De kans op het maken van deze
fout wordt gesymboliseerd door ẞ (beta).
Vermogen
De power is de kans dat Ho wordt verworpen als Ho onjuist is. Want ẞ is de kans dat Ho
niet wordt verworpen terwijl Ha waar is.
Power = 1 - ẞ
Samenvatting
Onze conclusie: Handhaving Onze conclusie:
van Ho Verwerping van Ho
Ho is waar Juiste beslissing = 1 - α Type 1 fout = α
Ho is niet waar Type II fout = ẞ Juiste beslissing = power =
1- ẞ
Stappenplan voor hypothesetests:
1. Formuleer de nulhypothese en de alternatieve hypothese
2. Bepaal de steekproefverdeling van de teststatistiek onder de aanname dat Ho waar is.
3. Teststatistiek (van steekproefstatistiek → teststatistiek)
4. Verwerpingsgebied
5. Statistische conclusie: verwerp of behoud de nulhypothese.
6. Inhoudelijke conclusie: geef een antwoord op de onderzoeksvraag.
Voorbeeld hypothesetest: De konijnen in je tuin lijken langere oren te hebben dan normale
konijnen, dus voer je een statistische test uit om te zien of ze inderdaad significant grotere
oren hebben.
1. Nulhypothese: Er is geen verschil tussen onze steekproef van konijnen en normale
konijnen in de populatie. (μ₁-μ₂ = 0)
Alternatieve hypothese: Onze konijnen hebben grotere oren dan normale konijnen in
de populatie (u1 >u2)
2. De steekproefverdeling is wat we zouden krijgen als we de oren van elk konijn in de
populatie zouden meten en een verdeling zouden maken.
