L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas
Module 5:
Les fonctions Exponentielle et Puissance
Table des matières
Unité 1 - La fonction exponentielle .......................................................................................... 2
I - Définition ....................................................................................................................................... 2
II - Représentation graphique .......................................................................................................... 3
III - Etude de la fonction exp(x) ....................................................................................................... 3
1 ) Etude de la dérivabilité et calcul de la dérivée ........................................................................................... 3
2 ) Signe de la dérivée et variations de la fonction exponentielle ................................................................... 4
3 ) Calcul des limites de la fonction exponentielle.......................................................................................... 4
4 ) Tableau de variations de la fonction exponentielle .................................................................................... 5
IV - Propriétés .................................................................................................................................... 5
V - Autres limites ............................................................................................................................... 7
VI - Dérivée de l’exponentielle d’une fonction ................................................................................ 8
VII - Différentes utilisations de l’exponentielle ............................................................................... 9
1 ) Résolutions d’équations avec exponentielle .............................................................................................. 9
2 ) Dériver à moindre frais un quotient d’exponentielles .............................................................................. 10
3 ) Déterminer des limites de fonctions avec exponentielles ........................................................................ 11
Unité 2 - La fonction puissance .............................................................................................. 13
I - Définition ..................................................................................................................................... 13
II - Propriétés ................................................................................................................................... 13
III - Etude de la fonction puissance réelle ..................................................................................... 15
1 ) Première étape : La dérivabilité et le sens de variations .......................................................................... 15
2 ) Limites en 0 et en + ∞ .............................................................................................................................. 15
IV - Les diverses fonctions exponentielles ..................................................................................... 17
V - Quelques exemples d’application ............................................................................................. 17
1 ) Résolutions d’équations avec des inconnus en exposant ......................................................................... 17
2 ) Détermination de limites de certaines fonctions à l’infini ....................................................................... 19
Unité 3 - Croissances comparées ............................................................................................ 21
I - La croissance comparée .............................................................................................................. 21
II - Exemples .................................................................................................................................... 21
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Unité 1 - La fonction exponentielle
Nous avons étudié la fonction ln au chapitre précédent et nous avons montré que cette fonction
était une bijection de 0; + sur −; + et qu’elle admettait une fonction réciproque.
Cette dernière est appelée : fonction exponentielle.
Ce paragraphe est consacré à la découverte de la fonction exponentielle à partir des
connaissances acquises sur la fonction logarithme.
I - Définition
Définition de l'exponentielle :
La fonction exponentielle qui est notée exp, est la réciproque de la fonction logarithme
népérien. Ainsi :
• Exp est définie sur l'intervalle ]- ; + [.
• Exp est une bijection de ]- ; + [ sur ]0 ; + [ dont la réciproque est ln.
Donc l'exponentielle de tout réel x est toujours strictement positive.
• Dire que exp(x) = y signifie que x = ln(y)
Exp(x) est le plus souvent noté e x : notation puissance.
Remarques :
- Les fonctions ln et exp s'annihilent, donc pour tout réel x , ln exp( x) = x et, pour
tout réel x 0 , exp ln( x) = x
- Le nombre e est l'image de 1 par la fonction exponentielle, ce qui signifie
que : e = exp(1) = e1 .
Une valeur approchée de ce nombre e est 2,718.
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II - Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction exponentielle se déduit de celle de la fonction
logarithme népérien par symétrie par rapport à la droite d’équation y = x .
III - Etude de la fonction exp(x)
Nous allons, dans cette partie, procéder à l’étude de la fonction exponentielle sur l’intervalle
−; + .
Cette étude ne se ferra pas de manière classique, mais s’appuiera principalement sur le fait que
la fonction exponentielle est la réciproque de la fonction logarithme népérien.
1 ) Etude de la dérivabilité et calcul de la dérivée
Comme la fonction logarithme népérien est dérivable sur l'intervalle 0; + et que la fonction
exponentielle ne s'annule pas sur −; + , alors la fonction exponentielle est dérivable sur
l’intervalle ]- ; + [.
On peut donc calculer sa dérivée pour tout réel x , en appliquant la formule de la dérivée d’une
1
fonction réciproque : ( f −1 ) ' =
f ' f −1
Dans notre situation, on a les données suivantes :
1 −1
f ( x) = ln x donc f '( x) = et f ( x) = exp( x)
x
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Les fonctions Exponentielle et Puissance
Table des matières
Unité 1 - La fonction exponentielle .......................................................................................... 2
I - Définition ....................................................................................................................................... 2
II - Représentation graphique .......................................................................................................... 3
III - Etude de la fonction exp(x) ....................................................................................................... 3
1 ) Etude de la dérivabilité et calcul de la dérivée ........................................................................................... 3
2 ) Signe de la dérivée et variations de la fonction exponentielle ................................................................... 4
3 ) Calcul des limites de la fonction exponentielle.......................................................................................... 4
4 ) Tableau de variations de la fonction exponentielle .................................................................................... 5
IV - Propriétés .................................................................................................................................... 5
V - Autres limites ............................................................................................................................... 7
VI - Dérivée de l’exponentielle d’une fonction ................................................................................ 8
VII - Différentes utilisations de l’exponentielle ............................................................................... 9
1 ) Résolutions d’équations avec exponentielle .............................................................................................. 9
2 ) Dériver à moindre frais un quotient d’exponentielles .............................................................................. 10
3 ) Déterminer des limites de fonctions avec exponentielles ........................................................................ 11
Unité 2 - La fonction puissance .............................................................................................. 13
I - Définition ..................................................................................................................................... 13
II - Propriétés ................................................................................................................................... 13
III - Etude de la fonction puissance réelle ..................................................................................... 15
1 ) Première étape : La dérivabilité et le sens de variations .......................................................................... 15
2 ) Limites en 0 et en + ∞ .............................................................................................................................. 15
IV - Les diverses fonctions exponentielles ..................................................................................... 17
V - Quelques exemples d’application ............................................................................................. 17
1 ) Résolutions d’équations avec des inconnus en exposant ......................................................................... 17
2 ) Détermination de limites de certaines fonctions à l’infini ....................................................................... 19
Unité 3 - Croissances comparées ............................................................................................ 21
I - La croissance comparée .............................................................................................................. 21
II - Exemples .................................................................................................................................... 21
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Unité 1 - La fonction exponentielle
Nous avons étudié la fonction ln au chapitre précédent et nous avons montré que cette fonction
était une bijection de 0; + sur −; + et qu’elle admettait une fonction réciproque.
Cette dernière est appelée : fonction exponentielle.
Ce paragraphe est consacré à la découverte de la fonction exponentielle à partir des
connaissances acquises sur la fonction logarithme.
I - Définition
Définition de l'exponentielle :
La fonction exponentielle qui est notée exp, est la réciproque de la fonction logarithme
népérien. Ainsi :
• Exp est définie sur l'intervalle ]- ; + [.
• Exp est une bijection de ]- ; + [ sur ]0 ; + [ dont la réciproque est ln.
Donc l'exponentielle de tout réel x est toujours strictement positive.
• Dire que exp(x) = y signifie que x = ln(y)
Exp(x) est le plus souvent noté e x : notation puissance.
Remarques :
- Les fonctions ln et exp s'annihilent, donc pour tout réel x , ln exp( x) = x et, pour
tout réel x 0 , exp ln( x) = x
- Le nombre e est l'image de 1 par la fonction exponentielle, ce qui signifie
que : e = exp(1) = e1 .
Une valeur approchée de ce nombre e est 2,718.
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II - Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction exponentielle se déduit de celle de la fonction
logarithme népérien par symétrie par rapport à la droite d’équation y = x .
III - Etude de la fonction exp(x)
Nous allons, dans cette partie, procéder à l’étude de la fonction exponentielle sur l’intervalle
−; + .
Cette étude ne se ferra pas de manière classique, mais s’appuiera principalement sur le fait que
la fonction exponentielle est la réciproque de la fonction logarithme népérien.
1 ) Etude de la dérivabilité et calcul de la dérivée
Comme la fonction logarithme népérien est dérivable sur l'intervalle 0; + et que la fonction
exponentielle ne s'annule pas sur −; + , alors la fonction exponentielle est dérivable sur
l’intervalle ]- ; + [.
On peut donc calculer sa dérivée pour tout réel x , en appliquant la formule de la dérivée d’une
1
fonction réciproque : ( f −1 ) ' =
f ' f −1
Dans notre situation, on a les données suivantes :
1 −1
f ( x) = ln x donc f '( x) = et f ( x) = exp( x)
x
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