L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas
Module 2:
Dérivabilité
Table des matières
Unité 1 - Approche graphique et nombre dérivé ...................................................................... 2
I - Introduction ................................................................................................................................. 2
II - Approche graphique................................................................................................................... 3
III - Nombre dérivé ........................................................................................................................... 4
1 ) Définition............................................................................................................................................... 4
2 ) Interprétation graphique : équation d’une tangente ................................................................................. 5
3 ) Nombre dérivé à gauche, nombre dérivé à droite .................................................................................... 6
Unité 2 - Fonction dérivée......................................................................................................... 7
I - Dérivation sur un intervalle ........................................................................................................ 7
II - Dérivées des fonctions usuelles .................................................................................................. 7
III - Règles de dérivation .................................................................................................................. 8
1 ) Forme f+g .............................................................................................................................................. 8
2 ) Forme kf (k réel) .................................................................................................................................... 8
3 ) Forme f x g ............................................................................................................................................ 9
4 ) Forme f x f ............................................................................................................................................. 9
5 ) Forme 1/f ............................................................................................................................................. 10
6 ) Forme f/g ............................................................................................................................................. 10
7 ) Tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables :......................................................... 11
8 ) Exemples de dérivation nécessitant l’utilisation de différentes opérations ............................................. 12
IV - Dérivée d’une fonction composée ........................................................................................... 13
V - Dérivées et variations ............................................................................................................... 14
VI - Recherche des extrema d’une fonction .................................................................................. 14
1 ) Définitions et propriétés ....................................................................................................................... 14
2 ) Exemple d’application.......................................................................................................................... 16
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Module 2:
Dérivabilité
Unité 1 - Approche graphique et nombre dérivé
I - Introduction
Le « taux de variation » mesure la variation relative entre deux grandeurs, il peut représenter
par exemple un taux d'évolution entre deux dates.
Mathématiquement, c'est l'écart entre deux valeurs prises par une fonction rapporté à l'écart
qui existe entre leurs deux antécédents.
f ( x) − f (a)
taux de variation =
x−a
Donc, ici, a et x correspondent à deux abscisses.
Il est équivalent de raisonner directement avec l'écart entre a et x, qu'on appelle généralement
h , soit : h = x − a ce qui permet d’écrire : x = a + h
f ( a + h) − f ( a )
taux de variation =
h
Pourquoi évoquer ces notions ici ?
Parce que la définition de la dérivée en un point a , f ( a ) ,fait intervenir le taux de
variation.
C'est la limite de celui-ci lorsque h tend vers zéro.
f ( a + h) − f ( a )
f '(a) = lim
h →0 h
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II - Approche graphique
La dérivée est un outil mathématique qui permet de déterminer la pente d'une courbe.
Prenons une fonction f et un point a sur l'axe des abscisses et essayons de mesurer la pente de
la courbe au point M d'abscisse a.
Cette pente est égale à la pente de sa tangente au même point.
On sait calculer la pente c d'une droite qui passe par deux points A et B avec la formule :
yB − y A
c=
xB − xA
Mais ici nous n'avons qu'un point M.
Prenons donc un nombre h au hasard et plaçons sur la courbe le point N d'abscisse a+h.
Les points M et N ont pour coordonnées :
M (a, f (a))
N(a+ h, f (a+ h))
La droite (MN) a donc pour coefficient directeur :
f (a+ h) - f (a) f (a+ h) - f (a)
c= =
(a+ h) - a h
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Dérivabilité
Table des matières
Unité 1 - Approche graphique et nombre dérivé ...................................................................... 2
I - Introduction ................................................................................................................................. 2
II - Approche graphique................................................................................................................... 3
III - Nombre dérivé ........................................................................................................................... 4
1 ) Définition............................................................................................................................................... 4
2 ) Interprétation graphique : équation d’une tangente ................................................................................. 5
3 ) Nombre dérivé à gauche, nombre dérivé à droite .................................................................................... 6
Unité 2 - Fonction dérivée......................................................................................................... 7
I - Dérivation sur un intervalle ........................................................................................................ 7
II - Dérivées des fonctions usuelles .................................................................................................. 7
III - Règles de dérivation .................................................................................................................. 8
1 ) Forme f+g .............................................................................................................................................. 8
2 ) Forme kf (k réel) .................................................................................................................................... 8
3 ) Forme f x g ............................................................................................................................................ 9
4 ) Forme f x f ............................................................................................................................................. 9
5 ) Forme 1/f ............................................................................................................................................. 10
6 ) Forme f/g ............................................................................................................................................. 10
7 ) Tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables :......................................................... 11
8 ) Exemples de dérivation nécessitant l’utilisation de différentes opérations ............................................. 12
IV - Dérivée d’une fonction composée ........................................................................................... 13
V - Dérivées et variations ............................................................................................................... 14
VI - Recherche des extrema d’une fonction .................................................................................. 14
1 ) Définitions et propriétés ....................................................................................................................... 14
2 ) Exemple d’application.......................................................................................................................... 16
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Module 2:
Dérivabilité
Unité 1 - Approche graphique et nombre dérivé
I - Introduction
Le « taux de variation » mesure la variation relative entre deux grandeurs, il peut représenter
par exemple un taux d'évolution entre deux dates.
Mathématiquement, c'est l'écart entre deux valeurs prises par une fonction rapporté à l'écart
qui existe entre leurs deux antécédents.
f ( x) − f (a)
taux de variation =
x−a
Donc, ici, a et x correspondent à deux abscisses.
Il est équivalent de raisonner directement avec l'écart entre a et x, qu'on appelle généralement
h , soit : h = x − a ce qui permet d’écrire : x = a + h
f ( a + h) − f ( a )
taux de variation =
h
Pourquoi évoquer ces notions ici ?
Parce que la définition de la dérivée en un point a , f ( a ) ,fait intervenir le taux de
variation.
C'est la limite de celui-ci lorsque h tend vers zéro.
f ( a + h) − f ( a )
f '(a) = lim
h →0 h
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II - Approche graphique
La dérivée est un outil mathématique qui permet de déterminer la pente d'une courbe.
Prenons une fonction f et un point a sur l'axe des abscisses et essayons de mesurer la pente de
la courbe au point M d'abscisse a.
Cette pente est égale à la pente de sa tangente au même point.
On sait calculer la pente c d'une droite qui passe par deux points A et B avec la formule :
yB − y A
c=
xB − xA
Mais ici nous n'avons qu'un point M.
Prenons donc un nombre h au hasard et plaçons sur la courbe le point N d'abscisse a+h.
Les points M et N ont pour coordonnées :
M (a, f (a))
N(a+ h, f (a+ h))
La droite (MN) a donc pour coefficient directeur :
f (a+ h) - f (a) f (a+ h) - f (a)
c= =
(a+ h) - a h
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