Cinemática del sólido

1-1
ÍE , *
*
O O
Ei
s
u '
E
s
o
t E E
1 5 ñ
É
O
E- &
'' '
→ -
N n s
1)
=
N O
°
o
§
°
'
Et E
N
l
o
s
O

N
ri
'
'
s
O § E
°
O
y , o E
T " et -
. ÷
¥
ÉÉ
a
§ on is is
§
'
+÷%
E
N → s
.
- ÷
o r
→
o
E
'
'-
Á o
☐ →
I ás n
I a - 8
i.EE
1) O a
5 O
o =
o
or n
O
n
S - → -
s -
N
ÉÉ
O '- O =
° O
÷
Ü =
÷ s
÷
÷
=
→
° "
* =
A- ° N
ÉÉ
"
. -
O
ÉI
E
Ei
O -
E
o
a
t
o
E Ei
§
ÉÉ
↑
E-
in in
¥
.
÷ .
¥
.
☒
¿
E
,
¥
=
ir '
s ri E- i
'
f-
'
° o ni ' £ ' I
es |
LE SÉ E +
¥
o
÷
°
u ir ,
→ ' to °
→
. . =
-
=
*
S
I .- S
a ir -8
É E ES
¡¿Í
N U S '
-
'
f-
J +
o ¥ o
"
is I ' Ñ
-0£
o ' Es
• o + IE
§
O
E ir 1¥
° = s Á
a
IÉ El §
-
' .gg
ÉÉ
o ,
ÉI
. .
&
E-
÷
" +
ÉÉ
• o →
u
s IE 8- £
Í
'-
j m s E ' tú
-
-
÷
"
÷ .
E ° n s
ÉÉ
^ a
8
É
→ ×
&
I¡ÉÉ
S "
^ ó
÷
o
}
É ÷
→ .
e ¥ o
a
%
-
_
s
ir E-
= =
E
°
¥
s U
° E ÷ mi
o
U s p IIS
§
¿EÉ
U °
s
¥ °
ÉÉ ? €
o
i
• n
'
o
¥
- ' '
- -
Ñ ° i
o
-
← r
°
= o n s s E
E-
IÉ
t o a-
Ñ 1N
'
? 1-5
O -
- tú
.GE ¿ÉÉ
IÉ
s = °
s
É
o o
É É
'
°
8 °
° o
a
TE °
O
E E
a - o •
≠ o
"
" " ←
E- E ¥ no nit
>
≠
IÉ E- E-
-
_
N
. no §

,INTERPRETACIÓN DE 1.) COMO CAMBIO DE DOS POSICIONES

✗ 2-2=71
LOS ejes 0×2%2-2 Coinciden con OXIY, -2, así :
M
•

"
ÍIM :
"
Xa Íit YaMj, + Za É,


Ya > Y,
↳ Inicial
+




1-

Xz = X,
El
%
✗
M FF = XIMI, + Y,
"
j,
+ z,
"
E,
py,
↳ Final
•

p




" "
Y, Donde Xi , YIM , -2 se obtienen de G) :
≥

✗µ ✗a "


Y, M = 0112 .
Ya " Y [ rpm ] 0112 [ TIM ] = .




✓ 1- X2
Z, M -22M
X,
T N



Coordenadas de M a los ejes 1 Coordenadas de M a los ejes 1

en la posición final .
en la posición inicial .




MATRIZ DE GIRO : TEOREMA DE EULER


*
Propiedades de la matriz de giro /rotación :




{
En un sólido no cambia la distancia entre sus puntos .




1- Se cumple : QIÍ
"
=
12T " QIÍ .
0112 = I

Tampoco los ángulos entre rectas del sólido .




Sean MYN dos puntos de 0×2%2-2 :


Entonces :
✗ ZÍZZ
M
•
IIÓMHYHÓNII Tienen el mismo valor en
N
•
-




Ángulo entre HÓMIIYIIÓNH cualquier posición del sólido .




>
% % =


O
ÓM ÓN. =
constante para cualquier posición del sólido .




" " "
M
1- Demostración : ri
.

VI =
ti . .
A- →

✗2M
X, X2
[ TI MÍ / FIN]
=

"
-22M£ :(✗a" )
" " " "
/ ✗Mi, + YaMj, + ZAMÉ, ) / ✗Ii, + yávyi + ZANE /
"
.

,
= ×, XAN -1% ya -1 , ya za .
YAM =



-22M
FIN FIN :[ ii.
. MÍ / ti .
.
"
] →
[ ir ] / FIN ] :[ ii. | /iii. /
,
"
.
"
.
N →
[ÍI"]? / FI ] :[ A- "| ? QIÍ Qiz [ FIM/
"
.
.
→
→


QR?
'
12
= I

/i /Á / /FIN] ?
[ ri ] "
= Qia / ÍI .
"
:
"
= QR [ RIM]? I. [ FIN] →
[ ÍIM] / I -
Q,Í Qiz ). .
[ FIN] :O
:

, 2- Se tiene que :/ Qiz / = 1


Ia 1-1
-

ja 1-1
.
Éa -1, .




Qiz Ia 1-1 ja j, Ea j 1-1 11-1 ÍK ) = 1
Componentes de 1-1 É, la base { ir ja KÍE
según
= →
j,
: - . .
-

, , ,


¡2. Í , ja -
É, Ez É,
.




3- Autovalores de Qiz :



3 reales → 3 autovectores

Qiz es una matriz cuadrada > Puedo calcular sus autovalores →
Hay 3 autovalores
-




Un par de complejos -




* Características de los autovalores : conjugados Y un real .




•
Si XR es un autovalor real , entonces IXRI = 1 " Es decir AR = 1 ÓIR = -1



Demostración :
J :
cualquier vector
"
0112 -
[ JJ : Transformado de ti en el cambio de
✗ -22=2 ,

M
posición
•
¡
-
.




J

>
E- % Los módulos no cambian en el cambio de posición ' 11012 TI/ IIÑH
- =


O



1-

✗z = X,



Sea ✗ R un autovalor real y ir un autovector asociado a ✗R : ①12 -
Ú = IIRÚ


Se tiene que : 11012 ÚII HÚII .
: ' IHR ñll =/tuit → HRIHÚII = llñll '
1hr 1=1




/ tí : conjugado complejo
*
•
si ti y ✗ < de ti ) son una pareja de autovalores complejos conjugados :




Util/ =/ HE 11-1 .




.




El autovalor restante es real Y vale 1 .




i
Demostración : 11h11 ? / HE /12
1



Se tiene :/ Q 12 / = producto de sus autovalores s1://c.to#.tR
↳ vale 1- Ó -1

Para cumplirse lo anterior AR debe ser 1 .
→ 1- = dc.de#.1 → de te# 1
-
= '
ll ti 11=11×1*11--1


#
Es decir ti Y te son de la forma :

"


"
de =
e = cosa + isent
(i IR)
-

: -1 ,
✗ C-

YE Éi ? =
cosa -
isen a