Lecture notes
Kenneth L. Kuttler
Multivariable
Advanced
Calculus 2020.
,Multivariable Advanced Calculus
Kenneth Kuttler
February 7, 2016
,2
, Contents
1 Introduction 9
2 Some Fundamental Concepts 11
2.1 Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 The Schroder Bernstein Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 lim sup And lim inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Double Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Basic Linear Algebra 25
3.1 Algebra in Fn , Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Subspaces Spans And Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Block Multiplication Of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.1 The Determinant Of A Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.2 The Determinant Of A Linear Transformation . . . . . . . . . . 50
3.6 Eigenvalues And Eigenvectors Of Linear Transformations . . . . . . . . 51
3.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.8 Inner Product And Normed Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.8.1 The Inner Product In Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.8.2 General Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.8.3 Normed Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8.4 The p Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8.5 Orthonormal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.8.6 The Adjoint Of A Linear Transformation . . . . . . . . . . . . . 61
3.8.7 Schur’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.9 Polar Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Sequences 73
4.1 Vector Valued Sequences And Their Limits . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Sequential Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Closed And Open Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4 Cauchy Sequences And Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5 Shrinking Diameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
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Kenneth L. Kuttler
Multivariable
Advanced
Calculus 2020.
,Multivariable Advanced Calculus
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February 7, 2016
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1 Introduction 9
2 Some Fundamental Concepts 11
2.1 Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 The Schroder Bernstein Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 lim sup And lim inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Double Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Basic Linear Algebra 25
3.1 Algebra in Fn , Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Subspaces Spans And Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Block Multiplication Of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.1 The Determinant Of A Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.2 The Determinant Of A Linear Transformation . . . . . . . . . . 50
3.6 Eigenvalues And Eigenvectors Of Linear Transformations . . . . . . . . 51
3.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.8 Inner Product And Normed Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.8.1 The Inner Product In Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.8.2 General Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.8.3 Normed Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8.4 The p Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8.5 Orthonormal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.8.6 The Adjoint Of A Linear Transformation . . . . . . . . . . . . . 61
3.8.7 Schur’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.9 Polar Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Sequences 73
4.1 Vector Valued Sequences And Their Limits . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Sequential Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Closed And Open Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4 Cauchy Sequences And Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5 Shrinking Diameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
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