Stappenplan voor het berekenen van integralen
1. Is het een fundamentele integraal? ( vb. ∫ sinx dx=−cosx+c )
2. Splitsen van de integraal (m.b.v. lineariteit)
3. Substitutie: stel u = “iets” zodat de afgeleide hiervan in de integraal voorkomt
4. Bij exponentiele functie stel u = exponent
5. Formules voor Bgsin, Bgtan of ln (|x + √ x2 +k|)
6. Partiele integratie: (substitutie biedt geen oplossing)
a. Eenvoudige integrand: ln (x) of cyclometrische functie aanwezig
b. Integrand is een product: veeltermfunctie met goniometrische functie/veeltermfunctie met
exponentiele functie.
c. Integrand komt terug: product van exponentiele en goniometrische functie
7. Splitsen in partieel breuken (SIP)
a. Graad van de teller ≥ graad van de noemer?
JA NEE
b. Opstarten van euclidische deling b. zie stap 8
T (x) R(x )
=Q ( x )+
N ( x) N (x)
8. Soort breuk?
A p
a. Type 1: Stel u = N (x ) ln (| px +q|) +c
px +q a
A
b. Type 2: Stel u = px+ q verder oplossen
( px +q )n
Bx+ C A ( D [ N ( x ) ]) + B
c. Type 3: Herschrijf als: én N ( x ) OIF
p x 2 +qx +r 2
p x +qx +r
Bx+ C
d. Type 4: 2 n ICT
( p x + qx+r )
9. Integratie van goniometrische formules: ∫ sin x . cos x
m n
2 1−cos ( 2 x )
sin x=
a. m en n = even graadverlaging 2
b. m en n = oneven afsplitsen sin/cos 1+cos ( 2 x )
cox 2 x=
2
10. Omgekeerde formules van Simpson: en Goniometrische substitutie:
i. √ a −u2 u = asin ( x ) (¿ acos ( x))
2
1
sin mx . cos nx= (sin ( mx−nx )+ sin(mx+ nx) ¿ ) ¿
2 ii. √ a2 +u2 u = atan( x)
a
1 iii. √ u2−a2 u = asec ( x )=
cos mx .cos nx= (cos ( mx−nx )+ cos(mx +nx) ¿ ) ¿ cos (x)
2
1
sin mx . sin nx= ( cos ( mx−nx )−cos ( mx+nx ))
2
11. t- formules:
2t 1−t
2
sin ( x )= 2 cos ( x )=
(1+t ) 1+t 2
2t 2
tan ( x )= 2 met dx = 2
1. Is het een fundamentele integraal? ( vb. ∫ sinx dx=−cosx+c )
2. Splitsen van de integraal (m.b.v. lineariteit)
3. Substitutie: stel u = “iets” zodat de afgeleide hiervan in de integraal voorkomt
4. Bij exponentiele functie stel u = exponent
5. Formules voor Bgsin, Bgtan of ln (|x + √ x2 +k|)
6. Partiele integratie: (substitutie biedt geen oplossing)
a. Eenvoudige integrand: ln (x) of cyclometrische functie aanwezig
b. Integrand is een product: veeltermfunctie met goniometrische functie/veeltermfunctie met
exponentiele functie.
c. Integrand komt terug: product van exponentiele en goniometrische functie
7. Splitsen in partieel breuken (SIP)
a. Graad van de teller ≥ graad van de noemer?
JA NEE
b. Opstarten van euclidische deling b. zie stap 8
T (x) R(x )
=Q ( x )+
N ( x) N (x)
8. Soort breuk?
A p
a. Type 1: Stel u = N (x ) ln (| px +q|) +c
px +q a
A
b. Type 2: Stel u = px+ q verder oplossen
( px +q )n
Bx+ C A ( D [ N ( x ) ]) + B
c. Type 3: Herschrijf als: én N ( x ) OIF
p x 2 +qx +r 2
p x +qx +r
Bx+ C
d. Type 4: 2 n ICT
( p x + qx+r )
9. Integratie van goniometrische formules: ∫ sin x . cos x
m n
2 1−cos ( 2 x )
sin x=
a. m en n = even graadverlaging 2
b. m en n = oneven afsplitsen sin/cos 1+cos ( 2 x )
cox 2 x=
2
10. Omgekeerde formules van Simpson: en Goniometrische substitutie:
i. √ a −u2 u = asin ( x ) (¿ acos ( x))
2
1
sin mx . cos nx= (sin ( mx−nx )+ sin(mx+ nx) ¿ ) ¿
2 ii. √ a2 +u2 u = atan( x)
a
1 iii. √ u2−a2 u = asec ( x )=
cos mx .cos nx= (cos ( mx−nx )+ cos(mx +nx) ¿ ) ¿ cos (x)
2
1
sin mx . sin nx= ( cos ( mx−nx )−cos ( mx+nx ))
2
11. t- formules:
2t 1−t
2
sin ( x )= 2 cos ( x )=
(1+t ) 1+t 2
2t 2
tan ( x )= 2 met dx = 2
