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Résolution chap03 - Corrigé du chapitre 3 de benson
Physique 2
Principes de physique II (University of Ottawa)
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Chapitre 3 : Le théorème de Gauss
Exercices
→
− →
−
E1. On donne r = 0,12 m et E = 450 i N/C. L’aire de la plaque est A = πr2 = 0,0452 m2 .
→
−
Selon la figure 3.22, l’angle entre un vecteur A perpendiculaire à la plaque et le champ
→
−
E est θ = 90◦ − 30◦ = 60◦ . Selon l’équation 3.1,
→ −
− →
ΦE = E · A = EA cos θ = 450 (0,0452) cos (60◦ ) = 10,2 N·m2 /C
→
− −
→
E2. On donne A = (0,04) (0,06) = 2,40 × 10−3 m2 et E = −600 j N/C. Selon la figure 3.23,
→
− −
→
l’angle entre un vecteur A perpendiculaire à la plaque et le champ E est
θ = 90◦ − 37◦ = 53◦ . Selon l’équation 3.1,
→ −
− → ¡ ¢
ΦE = E · A = EA cos θ = 600 2,40 × 10−3 cos (53◦ ) = 0,867 N·m2 /C
E3. Selon l’énoncé que l’on trouve à la page 56 du manuel, le flux électrique traversant une
surface est proportionnel au nombre de lignes de champ passant par cette surface. Comme
chacune des lignes de champ traversant la base de l’hémisphère traverse aussi ce dernier,
on peut affirmer que le flux électrique est le même à travers la base et à travers l’hé-
−
→
misphère. À partir de l’équation 3.1, si Abase = πR2 et que θ = 0◦ si le champ E est
→
−
parallèle à un vecteur A perpendiculaire à la base, alors
→ −
− → ¡ ¢
ΦE = E · A = EAbase cos θ = E πR2 cos 0◦ = πR2 E
→ ³ −
− → →´
−
E4. On donne A = (0,12 m)2 = 1,44×10−2 m2 et E = 70 i + 90 k N/C. La figure montre
→
−
le vecteur champ électrique et un vecteur A perpendiculaire à la plaque :
→
− →
−
On constate que A = 1,44 × 10−2 k m2 et, avec l’équation 3.1, on obtient
→ −
− → ¡ ¢
ΦE = E · A = Ex Ax + Ey Ay + Ez Az = 0 + 0 + 90 1,44 × 10−2 = 1,30 N·m2 /C
On a utilisé l’équation 2.11 du tome 1 pour le calcul du produit scalaire.
v4 Électricité et magnétisme, Chapitre 3 : Le théorème de Gauss 1
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E5. On donne q1 = 6×10−6 C et q2 = −8×10−6 C. Le rayon de la surface n’a pas d’importance
dans la mesure où les charges sont à l’intérieur. La charge totale est
Q = q1 + q2 = −2,00 × 10−6 C et, d’après le côté droit de l’équation 3.3,
Q −2,00×10−6
ΦE = ε0 = 8,85×10−12 = −2,26 × 105 N·m2 /C
E6. On donne Φface = 3 × 104 N·m2 /C. Le flux électrique total à travers les six faces du cube
¡ ¢
est ΦE = 6Φface = 6 3 × 104 = 18 × 104 N·m2 /C. Au moyen du côté droit de l’équation
3.3, on calcule la charge totale à l’intérieur du cube :
¡ ¢¡ ¢
ΦE = εQ0 =⇒ Q = ΦE ε0 = 18 × 104 8,85 × 10−12 = 1,59 µC
E7. (a) La réponse à cette question est indépendante de la surface du cube, dans la mesure où
la charge Q = 60 × 10−6 C est à l’intérieur. D’après le côté droit de l’équation 3.3,
Q 60×10−6
ΦE = ε0 = 8,85×10−12
= 6,78 × 106 N·m2 /C
(b) Si la charge est au centre du cube, la symétrie impose que le champ électrique qu’elle
crée traverse chacune des faces du cube de la même manière. Le flux électrique à travers
chacune des six faces est donc le même et
ΦE
Φface = 6 = 1,13 × 106 N·m2 /C
(c) La réponse de la question (a) ne change pas puisque le flux total ne dépend pas de la
position de la charge à l’intérieur. Toutefois, la position de la charge a des conséquences
sur la symétrie. Si la charge n’est plus au centre, le flux n’est plus le même à travers
chaque face, et l’on ne peut pas répondre à la question (b).
Donc, non pour (a) et oui pour (b) .
E8. La figure montre la charge Q placée à l’origine d’un système d’axes et, en traits pleins,
le cube dont elle constitue l’un des sommets :
Trois des faces de ce cube coïncident avec les plans xy, xz et yz et ne sont pas traversées
par le champ électrique de la charge. Le flux électrique à travers ces faces est nul. Les
2 Électricité et magnétisme, Chapitre 3 : Le théorème de Gauss v4
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Exercices
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E1. On donne r = 0,12 m et E = 450 i N/C. L’aire de la plaque est A = πr2 = 0,0452 m2 .
→
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Selon la figure 3.22, l’angle entre un vecteur A perpendiculaire à la plaque et le champ
→
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E est θ = 90◦ − 30◦ = 60◦ . Selon l’équation 3.1,
→ −
− →
ΦE = E · A = EA cos θ = 450 (0,0452) cos (60◦ ) = 10,2 N·m2 /C
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E2. On donne A = (0,04) (0,06) = 2,40 × 10−3 m2 et E = −600 j N/C. Selon la figure 3.23,
→
− −
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l’angle entre un vecteur A perpendiculaire à la plaque et le champ E est
θ = 90◦ − 37◦ = 53◦ . Selon l’équation 3.1,
→ −
− → ¡ ¢
ΦE = E · A = EA cos θ = 600 2,40 × 10−3 cos (53◦ ) = 0,867 N·m2 /C
E3. Selon l’énoncé que l’on trouve à la page 56 du manuel, le flux électrique traversant une
surface est proportionnel au nombre de lignes de champ passant par cette surface. Comme
chacune des lignes de champ traversant la base de l’hémisphère traverse aussi ce dernier,
on peut affirmer que le flux électrique est le même à travers la base et à travers l’hé-
−
→
misphère. À partir de l’équation 3.1, si Abase = πR2 et que θ = 0◦ si le champ E est
→
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parallèle à un vecteur A perpendiculaire à la base, alors
→ −
− → ¡ ¢
ΦE = E · A = EAbase cos θ = E πR2 cos 0◦ = πR2 E
→ ³ −
− → →´
−
E4. On donne A = (0,12 m)2 = 1,44×10−2 m2 et E = 70 i + 90 k N/C. La figure montre
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le vecteur champ électrique et un vecteur A perpendiculaire à la plaque :
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On constate que A = 1,44 × 10−2 k m2 et, avec l’équation 3.1, on obtient
→ −
− → ¡ ¢
ΦE = E · A = Ex Ax + Ey Ay + Ez Az = 0 + 0 + 90 1,44 × 10−2 = 1,30 N·m2 /C
On a utilisé l’équation 2.11 du tome 1 pour le calcul du produit scalaire.
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E5. On donne q1 = 6×10−6 C et q2 = −8×10−6 C. Le rayon de la surface n’a pas d’importance
dans la mesure où les charges sont à l’intérieur. La charge totale est
Q = q1 + q2 = −2,00 × 10−6 C et, d’après le côté droit de l’équation 3.3,
Q −2,00×10−6
ΦE = ε0 = 8,85×10−12 = −2,26 × 105 N·m2 /C
E6. On donne Φface = 3 × 104 N·m2 /C. Le flux électrique total à travers les six faces du cube
¡ ¢
est ΦE = 6Φface = 6 3 × 104 = 18 × 104 N·m2 /C. Au moyen du côté droit de l’équation
3.3, on calcule la charge totale à l’intérieur du cube :
¡ ¢¡ ¢
ΦE = εQ0 =⇒ Q = ΦE ε0 = 18 × 104 8,85 × 10−12 = 1,59 µC
E7. (a) La réponse à cette question est indépendante de la surface du cube, dans la mesure où
la charge Q = 60 × 10−6 C est à l’intérieur. D’après le côté droit de l’équation 3.3,
Q 60×10−6
ΦE = ε0 = 8,85×10−12
= 6,78 × 106 N·m2 /C
(b) Si la charge est au centre du cube, la symétrie impose que le champ électrique qu’elle
crée traverse chacune des faces du cube de la même manière. Le flux électrique à travers
chacune des six faces est donc le même et
ΦE
Φface = 6 = 1,13 × 106 N·m2 /C
(c) La réponse de la question (a) ne change pas puisque le flux total ne dépend pas de la
position de la charge à l’intérieur. Toutefois, la position de la charge a des conséquences
sur la symétrie. Si la charge n’est plus au centre, le flux n’est plus le même à travers
chaque face, et l’on ne peut pas répondre à la question (b).
Donc, non pour (a) et oui pour (b) .
E8. La figure montre la charge Q placée à l’origine d’un système d’axes et, en traits pleins,
le cube dont elle constitue l’un des sommets :
Trois des faces de ce cube coïncident avec les plans xy, xz et yz et ne sont pas traversées
par le champ électrique de la charge. Le flux électrique à travers ces faces est nul. Les
2 Électricité et magnétisme, Chapitre 3 : Le théorème de Gauss v4
© ERPI
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