Unvariate Optimierung
Input-Kombination, Kapital und Arbeit, die den Gewinn oder die Kosten minimieren
·
wie maximieren
systematische Untersuchung eines
Optimierungsproblems dieser Art
verlangt ein mathematisches Model
·
·Maximierungs- oder
Minimierungsproblem einer Funktion einer
einzigen Variablen führen
Extremstellen /Extrema
·
Diejenige Stellen im Definitionsbereich einer Funktion, in denen sie ihren
größten (Maximum) und kleinsten (Minimum
Wert annimmt
Wenn f(x) den Definitionsbereich hat, so definieren wir:
C E D ist eine Maximumstelle für fif(x)1flc) für alle XeD
& ED ist "Minimumstelle für fie f(x)1f(d) für alle x ED
-> Wenn der Wert fand. Stelle jeder Dist Maximum Stelle
von strikt
größer als an anderen stelle in - strikte
-> d strikte Minimumstelle->Wenn f(x)>f(d) für alle XeD, xed
·
Falls feine Funktion mit Dist, dann-f auf Ddefiniert durch(f)kx)=- f(x)
↳f(x)<f(c) für alle XinD
genau dann, wenn-f(x)_-f(c) für alle x in D
Daher maximiert Funktion find die Funktion -- inD minimiert
genau dann,
die
·
wenn
in
f(x
-
f(x
Quiz S
A Bestimmen Sie die für f(x) 3-(x-2)
s
mög Maximum-Minimumstellen =
d
-> Do (x-1)? für allex, folgt f(x)13 für alle Er
& (x) = 3 Wenn (x-2R = 0 für x =
2 O
=
i
j i 3
=2->
x Maximum für f
↑
-
Da f(x) ->-
co, wenn xtu, hat f kein Minimum
·
Wenn Funktion F differenzierbar ist, ein Maximum oder Minimum in einem Punkt ihres Dhat, dann muss
Tangente
in diesem Punkt horizontal sein (parallel zur x-Achsel
-> f'c) = 0 - stationäre Stellen
, Theorem: Eine Funktion f sei differenzierbar in einem Intervall und ein innerer Punkt von 1. Damit x =
eine Maximum-oder Minimumstelle fürf in 1 ist, ist es eine notwendige Bedingung, dass X = c eine stationäre Stelle
fürf ist, d. h. X =c ist eine
Lösung von fx)= O
↑
·
"
↑
x
2 b d b
a a a No n Xab
-> 2 stationäre Stellen keine Stationäre Stelle
->
-> keine inneren Extrema
Einfache Tests auf extremstellen
·
Angenommen, dass flxl differenzierbar im Intervall ist und dass sie nur eine Stationäre Stelle x = c hat
f'lx 10 für 1 X, währenf'(x)
Angenommen, alle X in mit 10 für alle (mit Xc
·
-> Dann flx) monoton wachsend links von und monoton fallend rechts von C
-> f(x) = f(c) für alle Xc und flc1f(x) für allexc
-> Daher x = Maximumstelle für fin
i 3:f(x)
-x = Maximumstelle -> x = d ninimstelle
Theorem: Angenommen, dass die Funktion fl differenzierbar ist in einem Intervall, das enthält.
-> Falls f'x)10 für x =c und f'lx) 0 für X2C, dann ist x = eine Maximumstelle
für fin I
-> Wenn f'lx) 0 für X1C und fx10 für X1c, dann = eine Minimumstelle
für f in I
·Angenommen, fkonkar(Rechtskurve) ist mitt" (x)
so für allex in einem Intervall I
-> f'(x) dann monoto fallend in 1
·Fallsf'(c) für inneren Punkt des Intervalls, dann f'lx links und nichtpositiv
einen
nichtnegativ von
=
a
rechts von a sein.
-> Funktion links von monoton wachsend und rechts von monoton fallend
-> x =
Maximumstelle im Intervall für f
-> Resultat: Minimum einer Konvexen Funktion
Input-Kombination, Kapital und Arbeit, die den Gewinn oder die Kosten minimieren
·
wie maximieren
systematische Untersuchung eines
Optimierungsproblems dieser Art
verlangt ein mathematisches Model
·
·Maximierungs- oder
Minimierungsproblem einer Funktion einer
einzigen Variablen führen
Extremstellen /Extrema
·
Diejenige Stellen im Definitionsbereich einer Funktion, in denen sie ihren
größten (Maximum) und kleinsten (Minimum
Wert annimmt
Wenn f(x) den Definitionsbereich hat, so definieren wir:
C E D ist eine Maximumstelle für fif(x)1flc) für alle XeD
& ED ist "Minimumstelle für fie f(x)1f(d) für alle x ED
-> Wenn der Wert fand. Stelle jeder Dist Maximum Stelle
von strikt
größer als an anderen stelle in - strikte
-> d strikte Minimumstelle->Wenn f(x)>f(d) für alle XeD, xed
·
Falls feine Funktion mit Dist, dann-f auf Ddefiniert durch(f)kx)=- f(x)
↳f(x)<f(c) für alle XinD
genau dann, wenn-f(x)_-f(c) für alle x in D
Daher maximiert Funktion find die Funktion -- inD minimiert
genau dann,
die
·
wenn
in
f(x
-
f(x
Quiz S
A Bestimmen Sie die für f(x) 3-(x-2)
s
mög Maximum-Minimumstellen =
d
-> Do (x-1)? für allex, folgt f(x)13 für alle Er
& (x) = 3 Wenn (x-2R = 0 für x =
2 O
=
i
j i 3
=2->
x Maximum für f
↑
-
Da f(x) ->-
co, wenn xtu, hat f kein Minimum
·
Wenn Funktion F differenzierbar ist, ein Maximum oder Minimum in einem Punkt ihres Dhat, dann muss
Tangente
in diesem Punkt horizontal sein (parallel zur x-Achsel
-> f'c) = 0 - stationäre Stellen
, Theorem: Eine Funktion f sei differenzierbar in einem Intervall und ein innerer Punkt von 1. Damit x =
eine Maximum-oder Minimumstelle fürf in 1 ist, ist es eine notwendige Bedingung, dass X = c eine stationäre Stelle
fürf ist, d. h. X =c ist eine
Lösung von fx)= O
↑
·
"
↑
x
2 b d b
a a a No n Xab
-> 2 stationäre Stellen keine Stationäre Stelle
->
-> keine inneren Extrema
Einfache Tests auf extremstellen
·
Angenommen, dass flxl differenzierbar im Intervall ist und dass sie nur eine Stationäre Stelle x = c hat
f'lx 10 für 1 X, währenf'(x)
Angenommen, alle X in mit 10 für alle (mit Xc
·
-> Dann flx) monoton wachsend links von und monoton fallend rechts von C
-> f(x) = f(c) für alle Xc und flc1f(x) für allexc
-> Daher x = Maximumstelle für fin
i 3:f(x)
-x = Maximumstelle -> x = d ninimstelle
Theorem: Angenommen, dass die Funktion fl differenzierbar ist in einem Intervall, das enthält.
-> Falls f'x)10 für x =c und f'lx) 0 für X2C, dann ist x = eine Maximumstelle
für fin I
-> Wenn f'lx) 0 für X1C und fx10 für X1c, dann = eine Minimumstelle
für f in I
·Angenommen, fkonkar(Rechtskurve) ist mitt" (x)
so für allex in einem Intervall I
-> f'(x) dann monoto fallend in 1
·Fallsf'(c) für inneren Punkt des Intervalls, dann f'lx links und nichtpositiv
einen
nichtnegativ von
=
a
rechts von a sein.
-> Funktion links von monoton wachsend und rechts von monoton fallend
-> x =
Maximumstelle im Intervall für f
-> Resultat: Minimum einer Konvexen Funktion
