Apuntes Tema 3 ALGII Latex

ALG2. José Martı́nez Suárez



Tema 3
Hipercuádricas. Polaridad. Estudio geométrico de las cónicas y las cuádricas.



1. Formas bilineales simétricas
Esta sección contiene un breve resumen de resultados básicos sobre formas bilineales
simétricas.

Definición
Una aplicación f : V × V −→ K es una forma bilineal simétrica si verifica:

1. f (v1 , v2 ) = f (v2 , v1 )

2. f (v1 + v2 , w) = f (v1 , w) + f (v2 , w)

3. f (λv1 , v2 ) = λf (v1 , v2 )

para todos v1 , v2 , w ∈ V y todo λ ∈ K.

Nota. Si f es una forma bilineal simétrica entonces se verifican:

1. f (v1 + v2 , w1 + w2 ) = f (v1 , w1 ) + f (v1 , w2 ) + f (v2 , w1 ) + f (v2 , w2 )

2. f (λv1 , v2 ) = f (v1 , λv2 ) = λf (v1 , v2 )

para todos v1 , v2 , w1 , w2 ∈ V y todo λ ∈ K.

Teorema
El conjunto de las formas bilineales simétricas sobre V , denotado BS(V ), tiene
estructura de K-espacio vectorial.

Ecuación de una forma bilineal simétrica respecto de una base.

Sea B = {u0 , . . . , un } una base de V . Se llama matriz de f respecto de B y se denota
MB (f ) a la matriz simétrica de orden (n + 1) × (n + 1) cuyo elemento (i, j)- ésimo
es f (ui , uj ). Si las coordenadas de un vector u ∈ V son uB = (x0 , . . . , xn ) y las de
v ∈ V son v B = (y0 , . . . , yn ), entonces, siendo A = (aij ) = MB (f ), se tiene
  
a0 0 · · · a0 n y0
t  .. .
.   .. 
f (u, v) = uB Av B = (x0 , . . . , xn )  . .  . 
a0 n · · · an n yn

La expresión anterior es la ecuación de f respecto de B. Recordemos que xAxt
es la expresión, respecto de B, de la forma cuadrática asociada a f .



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Nota 2. Sea B ′ otra base de V , recordemos que la igualdad utB = M(B ′ , B)utB ′ , representa
las ecuaciones del cambio de base. Entonces se tiene

MB′ (f ) = M(B ′ , B)t MB (f )M(B ′ , B)

Definición
Llamaremos rango de una forma bilineal simétrica f sobre V , y lo notaremos
rango(f ), al de la matriz MB (f ), para cierta base B de V .

Nota 3. El rango de f no depende de la base elegida. El conjunto de las matrices simétricas
de orden (n + 1) con coeficientes en K será denotado por M S(n + 1, K).

Lema
El conjunto M S(n + 1, K) es un K-espacio vectorial. Para cada base B de V la
aplicación
MB : BS(V ) −→ M S(n + 1, K)
que a cada forma bilineal simétrica f asocia la matriz MB (f ) es un isomorfismo de
K-espacios vectoriales. En particular,

dim(BS(V )) = dim(M S(n + 1, K)) = (n + 2)(n + 1)/2

Si ϕ : V −→ V es un endomorfismo de V , se denota por ϕ × ϕ la aplicación de V × V en
V × V definida por (ϕ × ϕ)(u, v) = (ϕ(u), ϕ(v)).

Definición
Sean f, g dos formas bilineales simétricas en V . Diremos que f es linealmente
equivalente a g y lo notaremos f ∼ g, si existe un automorfismo ϕ de V tal que
f ◦ (ϕ × ϕ) = g. Es decir, si f (ϕ(u), ϕ(v)) = g(u, v) para todo par de vectores
u, v ∈ V .

Proposición
La relación ∼ definida anteriormente es una relación de equivalencia en el conjunto
BS(V ).

Nota 4. Utilizaremos las notaciones anteriores. Sea B una base de V . Notemos A =
MB (f ), B = MB (g) y C = MB (ϕ). La igualdad f ◦ (ϕ × ϕ) = g es equivalente a la
igualdad de matrices C t AC = B. Se dice entonces que las matrices A y B son congruen-
tes.

Proposición

La relación de congruencia es una relación de equivalencia en el conjunto M S(n +
1, K)




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