Apuntes Tema 4 ALGII Latex

ALG2. José Martı́nez Suárez



Tema 4
Haces de hipercuádricas. Clasificación de los haces de cónicas. Determinación de cónicas.



Recordemos que, dado un K-espacio vectorial V , el K-espacio vectorial de las formas
bilineales simétricas sobre V es denotado por BS(V ). Suponemos que la caracterı́stica
del cuerpo K es distinta de 2 y que la dimensión de V es n + 1 con n un entero positivo.
Si Q es una hipercuádrica en el espacio proyectivo X = P(V ), si R es un sistema de
referencia en X y si A es una matriz tal que MR (Q) = [A], diremos que A es una matriz
representante de Q respecto de R.


1. Definición y ecuaciones
Definición
Un haz de hipercuádricas en X es una recta del espacio proyectivo de las hiper-
cuádricas P(BS(V )).

Sean Q y Q′ dos hipercuádricas distintas de X. El haz definido por Q y Q′ se denotara
H(Q, Q′ ). Por definición, H = H(Q, Q′ ) es la recta proyectiva que pasa por los puntos Q y
Q′ . El haz H está formado por el conjunto de hipercuádricas proyectivamente linealmente
dependientes de {Q, Q′ }. Si f, f ′ ∈ BS(V ), Q = [f ] y Q′ = [f ′ ], entonces las hipercuádri-
cas de H están definidas por las formas bilineales simétricas de la forma λf + λ′ f ′ con
(λ : λ′ ) ∈ P1 (K).

Ası́, fijado un sistema de referencia R en X, el haz de hipercuádricas H es la familia de
hipercuádricas con clase-matriz, respecto de R, de la forma [λA + λ′ A′ ], donde A y A′ son
matrices representantes de Q y Q′ respecto de R.

Nota 1. De la definición se sigue inmediatamente que el haz definido por dos hipercuádri-
cas distintas de un haz H coincide con H y que dos haces H, H′ son iguales si y solo si
tienen en común dos hipercuádricas distintas.

Ejemplo. En P2 (R) se consideran las cónicas Q1 y Q2 de ecuaciones respectivas x1 x2 = 0,
x21 − x22 = 0 respecto de cierto sistema de referencia fijado. La clase matriz de una cónica
genérica del haz H(Q1 , Q2 ) está definida por
     
0 0 0 0 0 0 0 0 0
A = λ 0 0 1 + λ′ 0 1 0  = 0 λ′ λ 
0 1 0 0 0 −1 0 λ −λ′

con (λ, λ′ ) ∈ K2 no ambos nulos.




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Definición
Se llama base de un haz H al conjunto
\
B(H) = L(Q)
Q∈H


Es decir al conjunto de puntos de X que pertenecen a todas las hipercuádricas-lugar
del haz H.

Nota 2. En adelante diremos que un punto P ∈ X pertenece a una hipercuádrica si P
pertenece a la hipercuádrica-lugar correspondiente.

Lema
Si H es un haz de hipercuádricas, se tiene:

B(H) = L(Q) ∩ L(Q′ )

donde Q y Q′ son dos hipercuádricas cualesquiera (distintas) del haz.

Ejemplo. Sean Q y Q′ las cónicas en P2 (R) con ecuaciones, respecto de Re , x0 (x1 −x2 ) = 0
y x2 (x0 −x1 ) = 0 respectivamente. La cónica lugar L(Q) (resp. L(Q′ )) es la reunión r1 ∪r2
(resp. s1 ∪ s2 ) siendo r1 la recta x0 = 0 y r2 la recta x1 = x2 (resp. s1 la recta x0 = x1 y
s2 la recta x2 = 0). Los puntos base del haz H(Q, Q′ ) son R0 = (1 : 0 : 0), R1 = (0 : 1 :
0), R2 = (0 : 0 : 1), R3 = (1 : 1 : 1) dado que L(Q)∩s1 = {R2 , R3 } y L(Q)∩s2 = {R0 , R1 }.

Lema
Si P ∈ X no es un punto base de un haz H, entonces existe una única hipercuádrica
Q de H que pasa por P .

Nota 3. En resumen, dado un punto P ∈ X, o está en todas las hipercuádricas de un haz
(cuando P es un punto base) o está solamente en una de ellas (cuando P no es un punto
base).

Ejemplo. Sea H el haz del ejemplo anterior. El punto P = (1 : −1 : 1) no es un
punto base del haz. Una cónica genérica del haz tiene una ecuación de la forma λx0 (x1 −
x2 ) + µx2 (x0 − x1 ) = 0, con (λ : µ) ∈ P1 (R). Esta cónica pasa por P si y sólo si
λ1(−1 − 1) + µ1(1 − (−1)) = 0. Es decir, si y sólo si −2λ + 2µ = 0 y por tanto la única
cónica del haz que pasa por P es la de ecuación x0 (x1 −x2 )+x2 (x0 −x1 ) = x1 (x0 −x2 ) = 0
(λ = µ = 1).

Definición
Un haz se dice degenerado si todas las hipercuádricas que lo componen son dege-
neradas.

Recordemos que dim(X) = n ≥ 1.




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