Apuntes Tema 5 ALGII Latex

ALG2. José Martı́nez Suárez



Tema 5
Hipercuádricas afines. Clasificación. Interpretación proyectiva de propiedades afines y
euclı́deas. Elementos de las cónicas y cuádricas euclı́deas.



1. Hipercuádricas en el espacio afı́n
Consideremos la inmersión habitual φ : An −→ Pn y denotemos H∞ : x0 = 0 el hiperplano
del infinito en Pn , respecto de φ.

Tomaremos Ra = {O; B} un sistema de referencia afı́n en An y Rp el sistema de referencia
proyectivo asociado.

Sean f y g dos polinomios de grado 2 del anillo K[x1 , . . . , xn ]. Diremos que f y g son
(linealmente) equivalentes, f ∼ g, si existe un escalar λ ∈ K\{0} tal que f = λg. Es-
ta relación es de equivalencia en el conjunto de los polinomios de grado 2 en el anillo
K[x1 , . . . , xn ].

Definición
Una hipercuádrica afı́n Q del espacio afı́n n-dimensional An es una clase de
equivalencia, por la relación anterior, de un polinomio f de grado 2 en n variables.
Notaremos Q = [f ] y diremos que f = 0 es una ecuación de Q respecto del sistema
de referencia Ra fijado.

La hipercuádrica-lugar de Q, notada La (Q) es el conjunto

L⊣ (Q) = {P = (a1 , . . . , an ) ∈ An : f (a1 , . . . , an ) = 0}.

Nota. Consideremos un polinomio
X X
f (x1 , . . . , xn ) = aij xi xj + ai0 xi + a00
1≤i≤j≤n 1≤i≤n


de grado 2. Existe una matriz simétrica A con coeficientes en K tal que

f (x1 , . . . , xn ) = (1, x1 , . . . , xn )A(1, x1 , . . . , xn )t

El conjunto La (Q) se puede describir como el conjunto de puntos P = (x1 , . . . , xn ) tales
que   
a00 a01 /2 · · · a0n /2 1
 a01 /2 a11 · · · a1n /2  x1 
 
(1 x1 · · · xn )  .. ..   ..  = 0,
 
.. ...
 . . .  . 
a0n /2 a1n /2 · · · ann xn
Se define la clase-matriz de Q respecto de Ra como MRa (Q) = [A].


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, ALG2. José Martı́nez Suárez

Si R′a = {O′ ; B ′ } es otro sistema de referencia afı́n, entonces

MR′a (Q) = M(R′a , Ra )t MRa (Q)M(R′a , Ra )

Definición
La hipercuádrica proyectiva en Pn que tiene clase-matriz [A] respecto de Rp se
denomina clausura proyectiva de Q y se denota por Q.

La restricción de Q al hiperplano H∞ se denomina hipercuádrica del infinito de Q,
y se denota Q∞ (o también Q∞ ).

Nota. Siempre existe la hipercuádrica del infinito asociada a una hipercuádrica afı́n dada.
Nota. Algunas conclusiones obvias son:

1. Lp (Q) ∩ An = La (Q).

2. Lp (Q) = La (Q) ⊔ Lp (Q∞ ).

3. Si f = 0 es una ecuación de Q respecto de Ra , entonces una ecuación de Q respecto
de Rp se obtiene homogeneizando f , esto es, añadiendo la variable x0 (al cuadrado)
en los sumandos de f que lo necesiten hasta lograr una forma cuadrática.

4. Si f = 0 es una ecuación de Q respecto de Ra , entonces una ecuación de Q∞
respecto de RH∞ = {(0 : 1 : 0 : · · · : 0)Rp , . . . , (0 : · · · : 0 : 1)Rp , (0 : 1 : 1 : · · · : 1)Rp }
se halla eliminando de f todos los términos que no son de grado 2, y una matriz
representante de Q∞ es la submatriz complementaria del primer elemento diagonal
a00 de A. Denotaremos esta submatriz habitualmente como A00 .

Definición
Diremos que dos hipercuádricas afines Q y Q′ en An son afı́nmente equivalentes
′
si Q y Q son proyectivamente equivalentes, mediante una homografı́a Ψ de Pn
compatible con φ. Es decir, Q y Q′ son afı́nmente equivalentes si existe Ψ homografı́a
′
de Pn tal que Q = Ψ.Q y Ψ(H∞ ) = H∞ .

Teorema
Sean Q y Q′ dos hipercuádricas afines en An . Entonces son equivalentes:

1. Q y Q′ son afı́nmente equivalentes.
′
2. Q y Q son proyectivamente equivalentes en Pn y Q∞ y Q′∞ lo son en H∞ ≃
Pn−1 .


2. Elementos afines de las hipercuádricas
En las tres definiciones que siguen, Q es una hipercuádrica afı́n en An , Q su clausura
proyectiva en Pn y Q∞ su hipercuádrica del infinito.


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