Inleiding
Logica = redeneerkunde
Symbolische logica = formele logica
Grondlegger formele logica: Aristoteles, leerling van de grote wijsgeer Plato, was de eerste
om de wetten van het denken te systematiseren en onder te brengen in een aparte
discipline.
Basisprincipe Aristoteles: een bewering is ‘ofwel waar ofwel vals’ (wet van uitgesloten derde)
maar dat ze ‘niet tegelijkertijd waar en vals kan zijn’ (wet van de niet-tegenstrijdigheid)
We behandelen 4 onderwerpen uit de formele logica:
• Propositielogica
o Steunend op de waarheidstafels
o Los van de waarheidstafels
• Predicatenlogica
o Steunend op de verzamelingenleer
o Los van de verzamelingenleer
• De begrippen ‘definitie, stelling, bewijs van een stelling’
• De soorten bewijsvormen
1
, 1. De propositielogica
1. Inleiding
In de wiskunde maar ook in het dagelijks leven spreken we voortdurend beweringen uit. Het
redeneren is in feite een aaneenschakeling van beweringen (p, q, r,…).
𝛼 alfa
𝛽 bèta
𝛾 gamma
𝜅 kappa
𝜋 pi
𝜏 tau
𝜑 fi
𝜓 psi
Vb. beweringen:
• w(p) = 1
o Parijs is de hoofdstad van Frankrijk.
o België is een federale staat.
o Als Kris een katholiek priester is, dan is Kris een jongen.
▪ Als en dan → wijst erop dat deze uitspraak een samenstelling is van 2
enkelvoudige uitspraken, deze vorm van uitspraak is echter wel altijd waar
(redenering) = tautologieën
o Zangeres Adèle is een vrouwelijke artieste en ze is ouder dan twintig jaar.
▪ En → wijst erop dat deze uitspraak een samenstelling is van 2 enkelvoudige
uitspraken, de uitspraak is pas waar als beide uitspraken waar zijn
o Kris is een jongen of Kris is niet een jongen.
▪ Samenstelling die altijd waar is
o Els gaat morgen naar de Zoo of Els gaat morgen niet naar de Zoo.
▪ Samenstelling die altijd waar is.
• w(p) = 0
o België grenst aan China.
• geen propositie, wel een predicaat (er is een onbekende)
o In de verzameling der natuurlijke getallen is 4x deelbaar door 24.
2
,2. De propositielogica steunend op de waarheidstafels
De formalisering van de uitspraken in de propositielogica kunnen we opdelen in 2 stukken: de syntax
(taal) en de semantiek (interpretatie).
2.1 De syntax = alfabet
De syntax geeft betekenis aan de semantiek.
We beginnen met aan te geven wat het alfabet is en hoe we vanaf dit alfabet woorden (uitspraken)
kunnen vormen. Alfabet en woorden vormen samen de taal van de propositielogica.
Definitie alfabet
Het alfabet van de propositielogica is een verzameling met als elementen:
(1) de propositiesymbolen: p, q, r,…
(2) de logische symbolen of voegtekens: ˄, ˅, ¬, →, ↔
(3) de haken: ( )
Het alfabet bestaat dus enkel uit symbolen. De propositiesymbolen zijn oneindig in aantal en kunnen,
indien nodig, genoteerd worden door pi. Ze spelen een analoge rol als de letters x, y, z,… in de
algebra. Pas in de semantiek zullen deze symbolen een betekenis krijgen.
Symbool Naam Betekenis
¬ De winkelhaak/ negatieteken Niet
˄ De sleutel/ conjunctieteken En
˅ De wig/ disjunctieteken Of
→ De pijl/ implicatieteken Als dan
↔ De dubbele pijl/ bi-implicatieteken Als en slechts als
“p of q” = ofwel p ofwel q of allebei waar
Woorden gemaakt m.b.v. het alfabet noemen we uitspraken of proposities en duiden we aan met
een Griekse letter.
Definitie uitspraak
Een uitspraak of propositie verkrijgen we door een eindig aantal elementen van het alfabet naast
elkaar te plaatsen volgende de volgende regels:
(1) elk propositiesymbool is een uitspraak
(2) als 𝜑 een uitspraak is, dan is (¬𝜑) ook een uitspraak.
(3) Als 𝜑 en 𝜓 uitspraken zijn, dan zijn (𝜑˄𝜓), (𝜑˅𝜓), (𝜑 → 𝜓), (𝜑 ↔ 𝜓) ook uitspraken.
Opgelet! Eindigen met een voegwoord kan niet! In dat geval is het geen uitspraak.
3
, Aantal haken weglaten volgens volgende regels:
- Buitenste haken verdwijnen
- ¬ primeert op ˅ en ˄
- ˄ en ˅ primeren op → en ↔
Atomische of enkelvoudige uitspraak een uitspraak die alleen uit een propositiesymbool bestaat.
De andere zijn samengestelde uitspraken.
2.2 De semantiek
De interpretatie van een uitspraak gebeurt door aan deze uitspraak een waarheidswaarde te
verbinden, die ons in staat stelt uit te maken of die uitspraak waar of vals is.
w(p) = 1 → waarheidswaarde van p is waar
w(p) = 0 → waarheidswaarde van p is vals
Het toekennen van de waarheidswaarde gebeurt volgens 6 axioma’s.
2.3 Axioma’s van de waarheidswaarde
1. Het axioma van de uitgesloten derde en de niet-strijdigheid
Als ϕ een uitspraak is, dan is w(ϕ) = 1 of w(ϕ) = 0 maar niet allebei tegelijkertijd. (formeel)
D.w.z. dat een uitspraak uit de propositielogica geïnterpreteerd wordt als een bewering die ofwel
waar is ofwel vals maar niet de twee tegelijkertijd. (informeel)
2. Het axioma van de negatie
Als ϕ een uitspraak is, dan is w(¬ϕ) = 0 als w(ϕ) = 1
w(¬ϕ) = 1 als w(ϕ) = 0 (formeel)
Informeel: een uitspraak uit de propositielogica is waar als de negatie van de uitspraak vals is en een
uitspraak is vals als de negatie van die uitspraak waar is.
D.w.z. dat de winkelhaak ¬ geïnterpreteerd wordt als ‘niet’.
Vb. p: de zon schijnt w(p) = 0
¬p: de zon schijnt niet w(p) = 1
Waarheidstabel:
p ¬p
1 0
0 1
4
Logica = redeneerkunde
Symbolische logica = formele logica
Grondlegger formele logica: Aristoteles, leerling van de grote wijsgeer Plato, was de eerste
om de wetten van het denken te systematiseren en onder te brengen in een aparte
discipline.
Basisprincipe Aristoteles: een bewering is ‘ofwel waar ofwel vals’ (wet van uitgesloten derde)
maar dat ze ‘niet tegelijkertijd waar en vals kan zijn’ (wet van de niet-tegenstrijdigheid)
We behandelen 4 onderwerpen uit de formele logica:
• Propositielogica
o Steunend op de waarheidstafels
o Los van de waarheidstafels
• Predicatenlogica
o Steunend op de verzamelingenleer
o Los van de verzamelingenleer
• De begrippen ‘definitie, stelling, bewijs van een stelling’
• De soorten bewijsvormen
1
, 1. De propositielogica
1. Inleiding
In de wiskunde maar ook in het dagelijks leven spreken we voortdurend beweringen uit. Het
redeneren is in feite een aaneenschakeling van beweringen (p, q, r,…).
𝛼 alfa
𝛽 bèta
𝛾 gamma
𝜅 kappa
𝜋 pi
𝜏 tau
𝜑 fi
𝜓 psi
Vb. beweringen:
• w(p) = 1
o Parijs is de hoofdstad van Frankrijk.
o België is een federale staat.
o Als Kris een katholiek priester is, dan is Kris een jongen.
▪ Als en dan → wijst erop dat deze uitspraak een samenstelling is van 2
enkelvoudige uitspraken, deze vorm van uitspraak is echter wel altijd waar
(redenering) = tautologieën
o Zangeres Adèle is een vrouwelijke artieste en ze is ouder dan twintig jaar.
▪ En → wijst erop dat deze uitspraak een samenstelling is van 2 enkelvoudige
uitspraken, de uitspraak is pas waar als beide uitspraken waar zijn
o Kris is een jongen of Kris is niet een jongen.
▪ Samenstelling die altijd waar is
o Els gaat morgen naar de Zoo of Els gaat morgen niet naar de Zoo.
▪ Samenstelling die altijd waar is.
• w(p) = 0
o België grenst aan China.
• geen propositie, wel een predicaat (er is een onbekende)
o In de verzameling der natuurlijke getallen is 4x deelbaar door 24.
2
,2. De propositielogica steunend op de waarheidstafels
De formalisering van de uitspraken in de propositielogica kunnen we opdelen in 2 stukken: de syntax
(taal) en de semantiek (interpretatie).
2.1 De syntax = alfabet
De syntax geeft betekenis aan de semantiek.
We beginnen met aan te geven wat het alfabet is en hoe we vanaf dit alfabet woorden (uitspraken)
kunnen vormen. Alfabet en woorden vormen samen de taal van de propositielogica.
Definitie alfabet
Het alfabet van de propositielogica is een verzameling met als elementen:
(1) de propositiesymbolen: p, q, r,…
(2) de logische symbolen of voegtekens: ˄, ˅, ¬, →, ↔
(3) de haken: ( )
Het alfabet bestaat dus enkel uit symbolen. De propositiesymbolen zijn oneindig in aantal en kunnen,
indien nodig, genoteerd worden door pi. Ze spelen een analoge rol als de letters x, y, z,… in de
algebra. Pas in de semantiek zullen deze symbolen een betekenis krijgen.
Symbool Naam Betekenis
¬ De winkelhaak/ negatieteken Niet
˄ De sleutel/ conjunctieteken En
˅ De wig/ disjunctieteken Of
→ De pijl/ implicatieteken Als dan
↔ De dubbele pijl/ bi-implicatieteken Als en slechts als
“p of q” = ofwel p ofwel q of allebei waar
Woorden gemaakt m.b.v. het alfabet noemen we uitspraken of proposities en duiden we aan met
een Griekse letter.
Definitie uitspraak
Een uitspraak of propositie verkrijgen we door een eindig aantal elementen van het alfabet naast
elkaar te plaatsen volgende de volgende regels:
(1) elk propositiesymbool is een uitspraak
(2) als 𝜑 een uitspraak is, dan is (¬𝜑) ook een uitspraak.
(3) Als 𝜑 en 𝜓 uitspraken zijn, dan zijn (𝜑˄𝜓), (𝜑˅𝜓), (𝜑 → 𝜓), (𝜑 ↔ 𝜓) ook uitspraken.
Opgelet! Eindigen met een voegwoord kan niet! In dat geval is het geen uitspraak.
3
, Aantal haken weglaten volgens volgende regels:
- Buitenste haken verdwijnen
- ¬ primeert op ˅ en ˄
- ˄ en ˅ primeren op → en ↔
Atomische of enkelvoudige uitspraak een uitspraak die alleen uit een propositiesymbool bestaat.
De andere zijn samengestelde uitspraken.
2.2 De semantiek
De interpretatie van een uitspraak gebeurt door aan deze uitspraak een waarheidswaarde te
verbinden, die ons in staat stelt uit te maken of die uitspraak waar of vals is.
w(p) = 1 → waarheidswaarde van p is waar
w(p) = 0 → waarheidswaarde van p is vals
Het toekennen van de waarheidswaarde gebeurt volgens 6 axioma’s.
2.3 Axioma’s van de waarheidswaarde
1. Het axioma van de uitgesloten derde en de niet-strijdigheid
Als ϕ een uitspraak is, dan is w(ϕ) = 1 of w(ϕ) = 0 maar niet allebei tegelijkertijd. (formeel)
D.w.z. dat een uitspraak uit de propositielogica geïnterpreteerd wordt als een bewering die ofwel
waar is ofwel vals maar niet de twee tegelijkertijd. (informeel)
2. Het axioma van de negatie
Als ϕ een uitspraak is, dan is w(¬ϕ) = 0 als w(ϕ) = 1
w(¬ϕ) = 1 als w(ϕ) = 0 (formeel)
Informeel: een uitspraak uit de propositielogica is waar als de negatie van de uitspraak vals is en een
uitspraak is vals als de negatie van die uitspraak waar is.
D.w.z. dat de winkelhaak ¬ geïnterpreteerd wordt als ‘niet’.
Vb. p: de zon schijnt w(p) = 0
¬p: de zon schijnt niet w(p) = 1
Waarheidstabel:
p ¬p
1 0
0 1
4
