Breuken, kommagetallen en procenten
1. RATIONALE GETALLEN
1.1 De verzameling van rationale getallen
N = verzameling van de natuurlijke getallen
= 0, 1, 2, 3, …
Z = verzameling van de gehele getallen
= 0, 1, -1, …
Q = verzameling van de rationale getallen
Definitie:
Een rationaal getal is een getal dat uitgedrukt kan worden als een deling a : b (of als een
breuk a/b) waarbij a en b ∈ Z en b ≠ 0.
∈ = “is een element van..”
Soorten symbolische representaties:
- Breuken
- Kommagetallen
- Procenten
à voorgesteld worden op getallenas
Elk rationaal getal kan voorgesteld worden op oneindig veel manieren.
1.2 De overgang van natuurlijke naar rationale getallen
Rationale getallen = moeilijk voor leerlingen
à kennis over natuurlijke getallen en rekenregels met natuurlijke getallen kunnen onterecht
worden toegepast op de bewerkingen met rationale getallen.
1.2.1 Verschillen in aantal representaties
N: zolang de kennis van lln beperkt is tot de natuurlijke getallen kennen ze slechts één
mogelijke representatie voor elk natuurlijk getal.
Q: lln ontdeken dat elk rationaal getal drie verschillende representaties heeft: breuk,
kommagetal en procent.
1.2.2 Verschillen in vergelijken en ordenen
N: je kan nagaan welk getal je in de telrij als eerste tegenkomt
Q: je kan niet vergelijken en ordenen d.m.v. een telrij
1.2.3 Discreet versus dicht
N: verzameling is discreet
Q: verzameling is dicht
1.2.4 Verschillen in bewerkingen
Optellen
N: je moet de termen met elkaar optellen
Q: je mag bij breuken de overeenkomstige delen niet bij elkaar optellen (teller vs. noemer)
Aftrekken
N: je moet de termen van elkaar aftrekken
Q: je mag bij breuken de overeenkomstige delen niet bij elkaar aftrekken (teller vs. noemer)
Vakdidactiek Wiskunde Caitlin Knockaert
, Vermenigvuldigen
N: je bekomt altijd een product dat groter is dan beide natuurlijke getallen
Q: je kan een product bekomen dat kleiner is dan (één van) beide rationale getallen
Delen
N: je bekomt altijd een quotiënt dat kleiner is dan het deeltal
Q: je kan een quotiënt bekomen dat groter is dan het deeltal
1.3 De verzameling van de irrationale getallen
Irrationale getallen = getallen die je niet kunt uitdrukken in een breuk
Rationale getallen + irrationale getallen = Reële getallen (R)
2. BREUKCONCEPT
Breuken bestaan uit 3 onderdelen:
- De teller van de breuk
- De noemer van de breuk
- Gescheiden door een breukstreep
à gezien als moeilijk, niet leuk door te weinig begripsvorming en te vlug abstract rekenen
2.1 CSA-model
Concreet à Schematisch à Abstract
2.2 Soorten breuken
Echte breuk Teller is kleiner dan de noemer. 2/5
Absolute waarde van de teller is groter of gelijk
Onechte breuk -3/2
aan de noemer.
Teller is een veelvoud van de noemer
Oneigenlijke breuk -9/3
(vereenvoudigen tot gehele getallen).
Stambreuk Absolute waarde van de teller is gelijk aan 1. -1/7
Decimale breuk De noemer is van de vorm 10n met n ∈ N0+ 215/100
Gemengd getal Samenstelling van een geheel getal en een breuk. 1 2/5
2.3 Verschijningsvormen van een breuk
Deel-geheel … van de … gelijke delen
Operator Neem … van …
Maat De inhoud bedraagt … liter
Verhouding/ kans De klas bestaat voor … uit meisjes
½ op de getallenas
Getal
(als quotiënt van een deling en plaats op getallenas)
2.3.1 Deel-geheel
= het eerlijk verdelen waarbij iedereen een zo gelijk mogelijk deel krijgt
- Eén geheel verdelen: deel nemen
- Eén geheel verdelen: meerdere delen nemen
- Meerdere gehelen eerlijk verdelen
Wezenlijke aspecten van een breuk:
- Het geheel verdeel je in ‘gelijke’ delen
- De noemer geeft het aantal gelijke delen aan waarin het geheel verdeeld is
- De teller geeft het aantal delen aan dat je van het geheel neemt
Vakdidactiek Wiskunde Caitlin Knockaert
1. RATIONALE GETALLEN
1.1 De verzameling van rationale getallen
N = verzameling van de natuurlijke getallen
= 0, 1, 2, 3, …
Z = verzameling van de gehele getallen
= 0, 1, -1, …
Q = verzameling van de rationale getallen
Definitie:
Een rationaal getal is een getal dat uitgedrukt kan worden als een deling a : b (of als een
breuk a/b) waarbij a en b ∈ Z en b ≠ 0.
∈ = “is een element van..”
Soorten symbolische representaties:
- Breuken
- Kommagetallen
- Procenten
à voorgesteld worden op getallenas
Elk rationaal getal kan voorgesteld worden op oneindig veel manieren.
1.2 De overgang van natuurlijke naar rationale getallen
Rationale getallen = moeilijk voor leerlingen
à kennis over natuurlijke getallen en rekenregels met natuurlijke getallen kunnen onterecht
worden toegepast op de bewerkingen met rationale getallen.
1.2.1 Verschillen in aantal representaties
N: zolang de kennis van lln beperkt is tot de natuurlijke getallen kennen ze slechts één
mogelijke representatie voor elk natuurlijk getal.
Q: lln ontdeken dat elk rationaal getal drie verschillende representaties heeft: breuk,
kommagetal en procent.
1.2.2 Verschillen in vergelijken en ordenen
N: je kan nagaan welk getal je in de telrij als eerste tegenkomt
Q: je kan niet vergelijken en ordenen d.m.v. een telrij
1.2.3 Discreet versus dicht
N: verzameling is discreet
Q: verzameling is dicht
1.2.4 Verschillen in bewerkingen
Optellen
N: je moet de termen met elkaar optellen
Q: je mag bij breuken de overeenkomstige delen niet bij elkaar optellen (teller vs. noemer)
Aftrekken
N: je moet de termen van elkaar aftrekken
Q: je mag bij breuken de overeenkomstige delen niet bij elkaar aftrekken (teller vs. noemer)
Vakdidactiek Wiskunde Caitlin Knockaert
, Vermenigvuldigen
N: je bekomt altijd een product dat groter is dan beide natuurlijke getallen
Q: je kan een product bekomen dat kleiner is dan (één van) beide rationale getallen
Delen
N: je bekomt altijd een quotiënt dat kleiner is dan het deeltal
Q: je kan een quotiënt bekomen dat groter is dan het deeltal
1.3 De verzameling van de irrationale getallen
Irrationale getallen = getallen die je niet kunt uitdrukken in een breuk
Rationale getallen + irrationale getallen = Reële getallen (R)
2. BREUKCONCEPT
Breuken bestaan uit 3 onderdelen:
- De teller van de breuk
- De noemer van de breuk
- Gescheiden door een breukstreep
à gezien als moeilijk, niet leuk door te weinig begripsvorming en te vlug abstract rekenen
2.1 CSA-model
Concreet à Schematisch à Abstract
2.2 Soorten breuken
Echte breuk Teller is kleiner dan de noemer. 2/5
Absolute waarde van de teller is groter of gelijk
Onechte breuk -3/2
aan de noemer.
Teller is een veelvoud van de noemer
Oneigenlijke breuk -9/3
(vereenvoudigen tot gehele getallen).
Stambreuk Absolute waarde van de teller is gelijk aan 1. -1/7
Decimale breuk De noemer is van de vorm 10n met n ∈ N0+ 215/100
Gemengd getal Samenstelling van een geheel getal en een breuk. 1 2/5
2.3 Verschijningsvormen van een breuk
Deel-geheel … van de … gelijke delen
Operator Neem … van …
Maat De inhoud bedraagt … liter
Verhouding/ kans De klas bestaat voor … uit meisjes
½ op de getallenas
Getal
(als quotiënt van een deling en plaats op getallenas)
2.3.1 Deel-geheel
= het eerlijk verdelen waarbij iedereen een zo gelijk mogelijk deel krijgt
- Eén geheel verdelen: deel nemen
- Eén geheel verdelen: meerdere delen nemen
- Meerdere gehelen eerlijk verdelen
Wezenlijke aspecten van een breuk:
- Het geheel verdeel je in ‘gelijke’ delen
- De noemer geeft het aantal gelijke delen aan waarin het geheel verdeeld is
- De teller geeft het aantal delen aan dat je van het geheel neemt
Vakdidactiek Wiskunde Caitlin Knockaert
