LINEAIRE KINEMATICA
Plaatsbepaling
→ via orthogonaal rechtshandig assenstelsel
→
→ via plaatsvector r
→
verplaatsingsvector AB
!! Vectoren zijn grootheden met grootte, richting, zin en aangrijpingspunt
→ het begrip baan duidt op de verzameling punten die een lichaam doorloopt tijdens de beweging
!! VERPLAATSING en BAAN vallen niet noodzakelijk samen
Vectoren
1. Componenten van een vector
→ de loodrechte projecties van de vector op de assen van een coördinatenstelsel
componenten zijn georiënteerde lijnstukken (met tekens dus)
A. Tweedimensionaal geval
→ →
→ de eenheidsvector is een vector langs een coördinatenas met grootte 1 zijn i en j
→
→ de componenten van de vector a langs de x – as en y – as zijn ax en ay
𝑎𝑥 = 𝑎 cos ∅
𝑎𝑦 = 𝑎 sin ∅
𝑎2 = 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2
𝑎𝑦
tan ∅ =
𝑎𝑥
→ → →
𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗
B. Driedimensionaal geval
→ → → →
→ de eenheidsvectoren in de richting van a zijn ua , i , j en k
→
→ de componenten van de vector a langs de x – as, y – as en z – as zijn ax, ay en az
→ → → →
a = axi+ay j+azk
a2 = ax2 + ay2 + az2
1
,2. Som en verschil van vectoren
→ via componenten van de verschillende vectoren
→ → →
𝑐 =𝑎+𝑏
𝑐𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥
𝑐𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦
𝑐 = √𝑐𝑥2 + 𝑐𝑦2
𝑐𝑦
Tan ∅ = 𝑐
𝑥
3. Product van vectoren
A. Product scalair en vector
→ →
→ het product van een getal k (scalair) met een vector a is ka
→
bv: a k=3 k = -3
B. Scalair product van vectoren
→ →
→ bij definitie is het scalair product van vectoren a en b gelijk aan
→ →
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠∅
!! Het puntje tussen beide vectoren moet altijd getekend worden!
→ resultaat is dus altijd scalaire grootheid
→ →
→ geometrische interpretatie: het product van vector a op vector b
vermenigvuldigd met de grootte van
→
vector b
→ → → →
!! Indien de vectoren a en b evenwijdig zijn 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏
→ →
!! Indien a loodrecht op b staat 𝑎 ∙ 𝑏 = 0 (ℎ𝑜𝑒𝑘 ∅ = 90°)
→ →
→ analytische uitwerking: 𝑎 ∙ →
𝑏 = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 𝑏𝑧
→ → →
→ eigenschappen: 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎
→ → → → → →
𝑘(𝑎 ∙ 𝑏) = (𝑘𝑎) ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ (𝑘𝑏)
→ → → → → → →
(𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐
C. Vectorproduct van vectoren
→
→ bij definitie is het vectorproduct van de vectoren a en b gelijk aan
→ → →
𝑎 ⨂𝑏 = 𝑐
→ →
→ het resultaat is dus een nieuwe vector c waarvan de grootte, de
richting en de zin bij definitie als volgt gedefinieerd worden:
→
I. GROOTTE: 𝑐 = 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛∅ met ∅ de kleinste hoek om van a
→
naar b te draaien
→ → →
II. RICHTING: c staat loodrecht op het vlak bepaald door a en b
III. ZIN: wordt gegeven door de regel van de kurkentrekker toe te
→ →
passen bij de draaiing over de kleinste hoek van a naar b
!! Het puntje tussen beide vectoren moet altijd getekend worden!
→ → →
!! Indien de vectoren a en b evenwijdig zijn 𝑎→∙ 𝑏 = 0
→ →
!! Indien a loodrecht op b staat 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏
2
,Snelheid
De snelheid wordt gedefinieerd als het tempo waarmee de plaats van het deeltje verandert id tijd.
De gemiddelde snelheid over een tijdsinterval (t1 , t2) wordt gegeven door de verhouding van de
→
→ ∆𝑟
verplaatsing van het deeltje en de tijd die nodig is voor deze verplaatsing: < 𝑣 > = ∆𝑡
→ valt B in A (gesloten traject) dan is < 𝑣 > = 0
De ogenblikkelijke snelheid bekomen we als we het tijdsinterval verkleinen (∆𝑡 → 0)
→ →
∆𝑟
→ algemeen: 𝑣 = lim →
∆𝑡→`0 ∆𝑡
→ de snelheid is dus de afgeleide van de plaatsvector naar de tijd
→ →
∆𝑟
Snelheid is dus een vector met GROOTTE 𝑣 = lim → en RICHTING rakend aan de baan
∆𝑡→`0 ∆𝑡
→ beweging ééndimensionaal
→ beweging in een vlak
Versnelling
De versnelling is het tempo waarmee de snelheid van het deeltje/lichaam verandert id tijd.
→ → →
De gemiddelde versnelling ober het tijdsinterval (t1 , t2) wordt < → 2 1 𝑣 −𝑣 ∆𝑣
𝑎 >=→ → =
𝑡 −𝑡 2 1 ∆𝑡
→ → →
→ a = 0 als v1 = v2 in grootte en richting
De ogenblikkelijke versnelling bekomen we als we het tijdsinterval verkleinen (∆𝑡 → 0)
→
→ ∆𝑟
→ algemeen: 𝑎 = lim →
∆𝑡→`0 ∆𝑡
→ de versnelling is dus de afgeleide van de snelheidsvector naar de tijd!
→
→ ∆𝑣
Versnelling is dus een vector met GROOTTE 𝑎 = lim en
∆𝑡→`0 ∆𝑡
RICHTING rakend aan de hodograaf
!! Door vanuit een oorsprong O de snelheden op verschillende tijdstippen uit te zetten
bekomt men een hodograaf: de fictieve baan van het snelheidspunt.
3
, De ééndimensionale beweging
1. Plaats – snelheid – versnelling – grafische interpretatie
I. De plaats of de positie van het deeltje is éénduidig bepaald
door de x – coördinaat van het deeltje
→ ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
→ de verplaatsing is een vectoriële grootheid en heeft dus
een GROOTTE, RICHTING en ZIN
II. De snelheid waarmee een deeltje zich verplaatst, wordt bepaald a.d.h.v de kennis
van de plaats in functie van de tijd
→ de gemiddelde snelheid wordt gedefinieerd als de verhouding van de verplaatsing
∆𝑥
tot het tijdsinterval nodig voor die verplaatsing: < 𝑣 >= ∆𝑡
2. De éénparige rechtlijnige beweging (ERB)
→ een rechtlijnige beweging waarvan de snelheid constant is
→ →
als v = cte ⇔ a = 0
→ kan beschreven worden in 1D met de x-as gekozen in de RICHTING van de beweging
De helling in de (x,t) grafiek is v
x=x0 +vt
3. De éénparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB)
→ rechtlijnige beweging waarvan de versnelling constant is
→ kan beschreven worden in 1D met de x-as gekozen in de RICHTING van de beweging
Beschouw: x0 positie van het deeltje op t = 0
v0 snelheid van het deeltje op t = 0
a is constant
𝑡 𝑡 𝑑𝑣 𝑡
𝑣 − 𝑣0 = ∫𝑡=𝑂 𝑑𝑣 = ∫𝑡=0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = ∫𝑡=0 𝑎𝑑𝑡 = 𝑎𝑡
⇒ 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 (1) Helling in (v,t)grafiek: a
𝑑𝑥
Beweging gebeurt langs de x-as; 𝑣 = 𝑑𝑡
𝑡 𝑡 𝑡
𝑥− 𝑥0 = ∫𝑡=𝑂 𝑑𝑥 = ∫𝑡=0 𝑣 𝑑𝑡 = ∫𝑡=0(𝑣0 + 𝑎𝑡)𝑑𝑡
1
= 𝑣0 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2
1
⇒𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2 (2)
Eliminatie van t uit (1) en (2) Richtingscoëfficiënt van de raaklijn
⇒ 𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) (3) gegeven door tan 𝛼 =
𝑑𝑥
=𝑣
𝑑𝑡
4
Plaatsbepaling
→ via orthogonaal rechtshandig assenstelsel
→
→ via plaatsvector r
→
verplaatsingsvector AB
!! Vectoren zijn grootheden met grootte, richting, zin en aangrijpingspunt
→ het begrip baan duidt op de verzameling punten die een lichaam doorloopt tijdens de beweging
!! VERPLAATSING en BAAN vallen niet noodzakelijk samen
Vectoren
1. Componenten van een vector
→ de loodrechte projecties van de vector op de assen van een coördinatenstelsel
componenten zijn georiënteerde lijnstukken (met tekens dus)
A. Tweedimensionaal geval
→ →
→ de eenheidsvector is een vector langs een coördinatenas met grootte 1 zijn i en j
→
→ de componenten van de vector a langs de x – as en y – as zijn ax en ay
𝑎𝑥 = 𝑎 cos ∅
𝑎𝑦 = 𝑎 sin ∅
𝑎2 = 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2
𝑎𝑦
tan ∅ =
𝑎𝑥
→ → →
𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗
B. Driedimensionaal geval
→ → → →
→ de eenheidsvectoren in de richting van a zijn ua , i , j en k
→
→ de componenten van de vector a langs de x – as, y – as en z – as zijn ax, ay en az
→ → → →
a = axi+ay j+azk
a2 = ax2 + ay2 + az2
1
,2. Som en verschil van vectoren
→ via componenten van de verschillende vectoren
→ → →
𝑐 =𝑎+𝑏
𝑐𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥
𝑐𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦
𝑐 = √𝑐𝑥2 + 𝑐𝑦2
𝑐𝑦
Tan ∅ = 𝑐
𝑥
3. Product van vectoren
A. Product scalair en vector
→ →
→ het product van een getal k (scalair) met een vector a is ka
→
bv: a k=3 k = -3
B. Scalair product van vectoren
→ →
→ bij definitie is het scalair product van vectoren a en b gelijk aan
→ →
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠∅
!! Het puntje tussen beide vectoren moet altijd getekend worden!
→ resultaat is dus altijd scalaire grootheid
→ →
→ geometrische interpretatie: het product van vector a op vector b
vermenigvuldigd met de grootte van
→
vector b
→ → → →
!! Indien de vectoren a en b evenwijdig zijn 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏
→ →
!! Indien a loodrecht op b staat 𝑎 ∙ 𝑏 = 0 (ℎ𝑜𝑒𝑘 ∅ = 90°)
→ →
→ analytische uitwerking: 𝑎 ∙ →
𝑏 = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 𝑏𝑧
→ → →
→ eigenschappen: 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎
→ → → → → →
𝑘(𝑎 ∙ 𝑏) = (𝑘𝑎) ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ (𝑘𝑏)
→ → → → → → →
(𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐
C. Vectorproduct van vectoren
→
→ bij definitie is het vectorproduct van de vectoren a en b gelijk aan
→ → →
𝑎 ⨂𝑏 = 𝑐
→ →
→ het resultaat is dus een nieuwe vector c waarvan de grootte, de
richting en de zin bij definitie als volgt gedefinieerd worden:
→
I. GROOTTE: 𝑐 = 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛∅ met ∅ de kleinste hoek om van a
→
naar b te draaien
→ → →
II. RICHTING: c staat loodrecht op het vlak bepaald door a en b
III. ZIN: wordt gegeven door de regel van de kurkentrekker toe te
→ →
passen bij de draaiing over de kleinste hoek van a naar b
!! Het puntje tussen beide vectoren moet altijd getekend worden!
→ → →
!! Indien de vectoren a en b evenwijdig zijn 𝑎→∙ 𝑏 = 0
→ →
!! Indien a loodrecht op b staat 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏
2
,Snelheid
De snelheid wordt gedefinieerd als het tempo waarmee de plaats van het deeltje verandert id tijd.
De gemiddelde snelheid over een tijdsinterval (t1 , t2) wordt gegeven door de verhouding van de
→
→ ∆𝑟
verplaatsing van het deeltje en de tijd die nodig is voor deze verplaatsing: < 𝑣 > = ∆𝑡
→ valt B in A (gesloten traject) dan is < 𝑣 > = 0
De ogenblikkelijke snelheid bekomen we als we het tijdsinterval verkleinen (∆𝑡 → 0)
→ →
∆𝑟
→ algemeen: 𝑣 = lim →
∆𝑡→`0 ∆𝑡
→ de snelheid is dus de afgeleide van de plaatsvector naar de tijd
→ →
∆𝑟
Snelheid is dus een vector met GROOTTE 𝑣 = lim → en RICHTING rakend aan de baan
∆𝑡→`0 ∆𝑡
→ beweging ééndimensionaal
→ beweging in een vlak
Versnelling
De versnelling is het tempo waarmee de snelheid van het deeltje/lichaam verandert id tijd.
→ → →
De gemiddelde versnelling ober het tijdsinterval (t1 , t2) wordt < → 2 1 𝑣 −𝑣 ∆𝑣
𝑎 >=→ → =
𝑡 −𝑡 2 1 ∆𝑡
→ → →
→ a = 0 als v1 = v2 in grootte en richting
De ogenblikkelijke versnelling bekomen we als we het tijdsinterval verkleinen (∆𝑡 → 0)
→
→ ∆𝑟
→ algemeen: 𝑎 = lim →
∆𝑡→`0 ∆𝑡
→ de versnelling is dus de afgeleide van de snelheidsvector naar de tijd!
→
→ ∆𝑣
Versnelling is dus een vector met GROOTTE 𝑎 = lim en
∆𝑡→`0 ∆𝑡
RICHTING rakend aan de hodograaf
!! Door vanuit een oorsprong O de snelheden op verschillende tijdstippen uit te zetten
bekomt men een hodograaf: de fictieve baan van het snelheidspunt.
3
, De ééndimensionale beweging
1. Plaats – snelheid – versnelling – grafische interpretatie
I. De plaats of de positie van het deeltje is éénduidig bepaald
door de x – coördinaat van het deeltje
→ ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
→ de verplaatsing is een vectoriële grootheid en heeft dus
een GROOTTE, RICHTING en ZIN
II. De snelheid waarmee een deeltje zich verplaatst, wordt bepaald a.d.h.v de kennis
van de plaats in functie van de tijd
→ de gemiddelde snelheid wordt gedefinieerd als de verhouding van de verplaatsing
∆𝑥
tot het tijdsinterval nodig voor die verplaatsing: < 𝑣 >= ∆𝑡
2. De éénparige rechtlijnige beweging (ERB)
→ een rechtlijnige beweging waarvan de snelheid constant is
→ →
als v = cte ⇔ a = 0
→ kan beschreven worden in 1D met de x-as gekozen in de RICHTING van de beweging
De helling in de (x,t) grafiek is v
x=x0 +vt
3. De éénparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB)
→ rechtlijnige beweging waarvan de versnelling constant is
→ kan beschreven worden in 1D met de x-as gekozen in de RICHTING van de beweging
Beschouw: x0 positie van het deeltje op t = 0
v0 snelheid van het deeltje op t = 0
a is constant
𝑡 𝑡 𝑑𝑣 𝑡
𝑣 − 𝑣0 = ∫𝑡=𝑂 𝑑𝑣 = ∫𝑡=0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = ∫𝑡=0 𝑎𝑑𝑡 = 𝑎𝑡
⇒ 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 (1) Helling in (v,t)grafiek: a
𝑑𝑥
Beweging gebeurt langs de x-as; 𝑣 = 𝑑𝑡
𝑡 𝑡 𝑡
𝑥− 𝑥0 = ∫𝑡=𝑂 𝑑𝑥 = ∫𝑡=0 𝑣 𝑑𝑡 = ∫𝑡=0(𝑣0 + 𝑎𝑡)𝑑𝑡
1
= 𝑣0 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2
1
⇒𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2 (2)
Eliminatie van t uit (1) en (2) Richtingscoëfficiënt van de raaklijn
⇒ 𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) (3) gegeven door tan 𝛼 =
𝑑𝑥
=𝑣
𝑑𝑡
4
