samenvatting fysica miv wiskunde: 1e orde differentiaal

Fysica miv wiskunde: wiskunde – 1E ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN


Terminologie
Orde: de hoogste afgeleide die voorkomt in de vergelijking
Graad: de macht van de hoogste afgeleide
Lineair: lineair in y als zowel y als zijn afgeleide van graad 1 zijn
Homogeen: als elke term een afhankelijke variabele bevat of een afgeleide daarvan

2x(y’)2 + x = 6 orde = 1 graad = 2 /
y’’ – 6y’ + y = x orde = 2 graad = 1 lineair
y’ + y = 0 orde = 1 graad = 1 lineair en homogeen

Lineair, 1e orde DV
Scheiden der veranderlijken
dy dy
F(x,y) = g(x)h(y)  = g(x)h(y)  = g(x)dx  H(y) = G(x) + C
dx h( y )

dy 2 x ( y −1) dy 2x dy 2x
Vb : =  = 2 ∫ = ∫ 2  lnIy-1I = lnIx2+1I + C
dx 2
x +1 y−1 x +1 y−1 x +1
Iy-1I = Ix2+1I.eC  y – 1 = ±eC(x2+1) => y = K(x2+1) + 1

Lineair, 1e orde DV, inhomogeen
dy
Algemene vorm : + P(x)y = Q(x)
dx

Homogeen: Q(x) = 0
dy
+ P(x)y = 0
dx

dy
Scheiden van veranderlijken : = -P(x)dx
y
Integratie: lnIyI = -∫ P( x ) dx + C
eInIyI = e−∫ P ( x ) dx+C  IyI = e−∫ P ( x ) dx .ec

algemeen: y = Ce−∫ P ( x ) dx met C = ±eC

inhomogeen Q(x) ≠ 0
algemene vorm: y(x) = e−∫ P ( x ) dx ( Γ + ∫ Q( x )e∫
P ( x ) dx
dx




1e orde differentiaalvergelijkingen - 1